1、無窮級數整理一、數項級數一數項級數的根本性質1收斂的必要條件：收斂級數的一般項必趨于0.2收斂的充要條件柯西收斂原理：對任意給定的正數，總存在N使得對于任何兩個 N大于的正整數 m和n總有Sm Sn.即局部和數列收斂3收斂級數具有線性性即收斂級數進行線性運算得到的級數仍然收斂，而一個收斂級數和一個發散級數的和與差必發散4對收斂級數的項任意加括號所成級數仍然收斂，且其和不變5在一個數項級數內去掉或添上有限項不會影響斂散性二數項級數的性質及斂散性判斷1正項級數的斂散性判斷方法1正項級數根本定理：如果正項級數的局部和數列有上界，那么正項級數收斂2比擬判別法放縮法：假設兩個正項級數Un和 Vn之間自某

2、項以后成立著關系:n 1n 1存在常數c 0，使un cvn(n 1,2,)，那么i當級數Vn收斂時，級數Un亦收斂;n 1n 1ii當級數Un發散時，級數Vn亦發散n 1n 1推論:U n 1V n 1設兩個正項級數Un和Vn，且自某項以后有，那么n 1n 1UnVni當級數Vn收斂時，級數Un亦收斂;n 1n 1ii當級數 Un發散時，級數Vn亦發散n 1n 13比擬判別法的極限形 式比階法：給定兩個正項級數 Un和Vn，假設n 1n 1lim Un l 0，那么這兩個級數斂散性相同注：可以利用無窮小階的理論和等價無窮小 nVn的內容另外，假設I 0 ,那么當級數Vn收斂時，級數 Un亦收

3、斂；假設I ,那么當級數Unn 1n 1n 1發散時，級數Vn亦發散.n 1常用度量： 等比級數：qn，當q 1時收斂，當q 1時發散；n 01 P-級數：丄，當p 1時收斂，當p 1時發散p 1時稱調和級數;n 1 np1 廣義P-級數：p，當p 1時收斂，當p 1時發散n 2 n In n 交錯p-級數：1n 1 ，當p 1時絕對收斂，當Op 1時條件收斂n 1npu4達朗貝爾判別法的極限形式商值法：對于正項級數 un，當lim 口 r 1時n 1n Un級數 Un收斂；當lim 山 r 1時級數 Un發散；當r 1或r 1時需進一步判斷. n 1n unn 15柯西判別法的極限形式根值法

4、：對于正項級數 un，設r lim n un，那么r 1 n 1n時此級數必為收斂，r 1時發散，而當r 1時需進一步判斷.6柯西積分判別法：設un為正項級數，非負的連續函數f x在區間a,上單調n 1Un與積分° fXdX同斂散.n 1下降，且自某項以后成立著關系：fUn Un，那么級數2任意項級數的理論與性質1絕對收斂與條件收斂：絕對收斂級數必為收斂級數，反之不然;對于級數Un，將它的所有正項保存而將負項換為n 10，組成一個正項級數Vn，其中1VnUn2Un一；將它的所有負項變號而將正項換為0,也組成一個正項級數Wn，其中WnUnUn一，那么假設級數Un絕對收斂，那么級數n 1

5、vn和 wn都收斂；假設級數n 1n 1Un條件收斂，那么級數Vn和 Wn都發散n 1n 1n 1 絕對收斂級數的更序級數將其項重新排列后得到的級數仍絕對收斂，且其和相同 假設級數Un和 Vn都絕對收斂，它們的和分別為 U和V ,那么它們各項之積按照任何n 1n 1方式排列所構成的級數也絕對收斂，且和為UV .特別地，在上述條件下，它們的柯西乘積unvn也絕對收斂，且和也為 UV n 1n 1注：cnUnVn，這里Cn5VnU2Vn 1Un 1V2 UnV1n 1n 1n 12交錯級數的斂散性判斷萊布尼茲判別法：假設交錯級數(1)n 1un滿足lim un 0，n 1n且Un單調減少即Un U

6、n 1，貝U ( 1)" 'n收斂，其和不超過第一項，且余和的符號n 1與第一項符號相同，余和的值不超過余和第一項的絕對值二、函數項級數一幕級數1幕級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域1柯西-阿達馬定理：幕級數 an(x x0)n在x xoR內絕對收斂，在 x x0Rn 0內發散，其中R為幕級數的收斂半徑2丨阿貝爾第一定理：假設幕級數an(x x0)n在x 處收斂，那么它必在n 0x x0X0內絕對收斂；又假設an(x x0)n在x 處發散，那么它必在n 0x x0X0也發散推論1：假設幕級數a“xn在x (0)處收斂，那么它必在 x 內絕對收斂；又假n 0設幕級數anXn在x

7、(n 00)處發散，那么它必在 x 時發散.推論2:假設幕級數an(x X0)n在x處條件收斂，那么其收斂半徑 RX0，假設又有an 0 ,那么可以確定此幕級數的收斂域3收斂域的求法：令lim an1(x) 1解出收斂區間再單獨討論端點處的斂散性,nan(x)2幕級數的運算性質1幕級數進行加減運算時，收斂域取交集，滿足各項相加；進行乘法運算時，有:nanXn bnXnab i xn，收斂域仍取交集n 0n 0n 0 i 02幕級數的和函數S(x)在收斂域內處處連續，且假設幕級數 an(xn 0x X0 R處收斂，那么S(x)在X。 R,x。 R內連續；又假設幕級數an(x取并集.X°

8、) 在心廣在xx°R處收斂，那么S(x)在x0 R, x0 R內連續.3幕級數的和函數 S(x)在收斂域內可以逐項微分和逐項積分，收斂半徑不變3函數的幕級數展開以及幕級數的求和1常用的幕級數展開: ex 1 x x22!1 n x n!nx，xn 0 n!).1,x ( 1, 1).=1+x+x2+ - - +xn+ 1 xnx)，n 2n(1) x0 sin x13x 3!1 5 x 5!2n 1n x(1)-(2n1)!2n 1n x1)- (2n1)! cosx1 2x2!1 4x4!2n72n0(怙，x ( ln(1x)n(1)n1xn 1，+ ).1, 1.(1 x)x -

9、x22!(1)( n 1)xn ，x ( 1, 1).n! arcsinx(2n 1)! x2n 1(2n)! 2n 1(2 n)!2n 1n2xn o4n(n!)2(2n 1)x 1, 1. arctanx(1)nx2n12n 1八 n12n 1，x1,1.2常用的求和經驗規律: 級數符號里的局部 x可以提到級數外;cn和xn合并為(cx)n ； 系數中常數的幕中假設含有n，可以與x的幕合并，如將 對anXn求導可消去an分母因式里的n,對anXn積分可消去a.分子因式里的n 1 ；n 0n 0 系數分母含n!可考慮ex的展開，含(2n)!或(2n 1)!等可考慮正余弦函數的展開； 有些和函

10、數滿足特定的微分方程，可以考慮通過求導發現這個微分方程并求解二傅里葉級數1狄利克雷收斂定理本定理為套話，不需真正驗證，條件在命題人手下必然成立假設f(x)以21為周期，且在I, I上滿足： 連續或只有有限個第一類間斷點； 只有有限個極值點；那么f (x)誘導出的傅里葉級數在I, I上處處收斂.2.傅里葉級數S(x)與f(x)的關系：f (x)，X為連續點;S(x) f(x °)f(x °),x 為間斷點;2f( 1 °)f(l °),x為邊界點23.以2I為周期的函數的傅里葉展開展開：f(x)S(x)bn sinn x an cos n1Ia。1lll

11、f(x)dx1在1,1上展開：an1lln1 f (x) cosx dx ；lbn1ll f(x)sin lxdx2正弦級數與余弦級數:奇函數或在非對稱區間上作奇延拓展開成正弦級數:on n a a bo 0 2- f (x)s in偶函數或在非對稱區間上作偶延拓展開成余弦級數:aoanbnf(x)dxf (x)cosS dx ；l4一些在展開時常用的積分:1sin nxdx0(1)n1 1n0 cosnxdx 0；22 sin nxdx02 cosnxdx01 . n sin - n5o xsin nxdxaxe sin nxdxaxe cos n xdxsin axsin nxdx1)n10 xcos nxdx1axe (asin nxa n12aax /e (n sin nx n(1)n2nn cos nx)a cos nx)1si n(a n)x2(a n)x