1、二、第二類換元法二、第二類換元法第二節一、第一類換元法一、第一類換元法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 換元積分法 第五五章 第二類換元法第二類換元法第一類換元法第一類換元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設, )()(ufuF)(xu可導,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(則有一、第一類換元法一、第一類換元法定理定理1.,)(有原函數設uf,)(可導xu則有換元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也稱配元法配元法即xxxfd)()(, 湊微分法湊微分法)機

2、動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 求).1(d)(mxbxam解解: 令,bxau則,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC注注: 當1m時bxaxdCbxaaln1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 22)(1d1axxa例例2. 求.d22xax解解:22dxax,axu 令則xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21duuCu arctan)(ax機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax)(d)(xxf(

3、直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 類似Caxaxaln21例例5. 求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( d機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 常用的幾種配元形式常

4、用的幾種配元形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1萬能湊冪法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd例例6. 求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21l

5、n21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 求.d3xxex解解: 原式 =xexd23)3d(323xexCex332例例8. 求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例9. 求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee兩法結果一樣機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xxs

6、in11sin1121例例10. 求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln同樣可證xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln(P194 例18)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 222d)(2123xax例例11. 求.d)(23223x

7、axx解解: 原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )2cos2cos21 (241xx 例例12 . 求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例13.

8、求.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1 (81x原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321C機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xxexex111xexexxxdd xexxd) 1(例例14. 求.d)1 (1xexxxx解解: 原式=xexxxxd)1 () 1(xexe)1 (1xxxexe)(d)111(xxxe

9、xexex)1 (1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnCCexxxx1lnln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 分析分析: 例例15. 求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )()(xfxf小結小結常用簡化技巧:(1) 分項積分:(2) 降低冪次:(3) 統一函數: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙換元或配元等xx22cossin1; )2cos

10、1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx萬能湊冪法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 利用積化和差; 分式分項;利用倍角公式 , 如思考與練習思考與練習1. 下列各題求積方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xxxd) 1(1102. 求.) 1(d10 xx

11、x提示提示:法法1法法2法法3 ) 1(d10 xxx10)x ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x10dx101作業 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、第二類換元法二、第二類換元法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第一類換元法解決的問題難求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求積分xxxfd)()(易求,則得第二類換元積分法 .難求，uufd)(CxF)()()()(ttft定理定理2 . 設)(tx是單調可導函數 , 且,0)( t)()(ttf具有原函數 ,)(1d)()(d)(xtttt

12、fxxf.)()(1的反函數是其中txxt證證:的原函數為設)()(ttf, )(t令 )()(1xxF則)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則有換元公式例例16. 求. )0(d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax則taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22機動 目錄 上頁 下頁 返

13、回 結束 例例17. 求. )0(d22aaxx解解: 令, ),(,tan22ttax則22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22ln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xa1C例例18. 求. )0(d22aaxx解解:,時當ax 令, ),0(,sec2ttax則22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln

14、(1aCC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 22ax axa,時當ax令,ux,au 則于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，時ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明:被積函數含有22ax 時, 除采用1shch22tt采用雙曲代換taxsh消去根式 , 所得結果一致 . ( 參考書上 P201-P202 )taxch或22ax 或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三角代換外, 還可利用公式原式21) 1(22ta221a例例19. 求.d422xxxa解解: 令,1

15、tx 則txtdd21原式ttd12tttad) 1(2122,0時當x42112tta Cata2223) 1(23當 x 0 時, 類似可得同樣結果 .Cxaxa32223)(23) 1(d22ta機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 小結小結:1. 第二類換元法常見類型第二類換元法常見類型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch機動 目錄 上頁 下頁 返回 結

16、束 第四節講xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 常用基本積分公式的補充 (P197)(7) 分母中因子次數較高時, 可試用倒代換倒代換 ,d)()6(xafx令xat xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .32d2 xxx解解:

17、原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC(P197公式 (20) )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例20. 求例例21. 求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln212(P197 公式 (23) )例例22. 求.1d2xxx解解: 原式 =22)()()(d21x(P197 公式 (22) )2521xCx512arcsin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例23. 求.1d2xex解解: 原式xxee21dCexarcsin(P197公式 (22) )例例24. 求.d222 axxx解解: 令,1tx 得原式ttat

18、d1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ttttd)1(12132例例25. 求.2) 1(d23xxxx解解: 原式1) 1() 1(d23xxx令tx11tttd122tttd11)1 (22tt d12ttd112例例16tttarcsin121221Ct arcsinCxxxx1121) 1(221arcsin22例16 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1. 下列積分應如何換元才使積分簡便 ?xxxd1) 1 (25xex1d)2( )2(d)3(7xxx令21xt令xet1令xt1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 已知,1d)(25Cxxxfx求.d)(xxf解解: 兩邊求導, 得)(5xfx,12xx則1dd)(24xxxxxf)1(xt 令231dttt222d121ttt1(1)1 (d)1 (212221tt)1 (d)1 (212221tt23)1 (312tCt21)1 (2(代回原變量代回原變量) 機動