1、第12章 多元函數微分學的MATLAB求解編者 Outlinen12.1 多元函數的基本概念多元函數的基本概念n12.2 偏導數偏導數n12.3 全微分全微分n12.4 多元函數微分學的幾何應用多元函數微分學的幾何應用n12.5 方向導數與梯度方向導數與梯度n12.6 多元函數的極值多元函數的極值n12.7 多元函數的泰勒公式多元函數的泰勒公式n12.8 最小二乘法及其最小二乘法及其MATLAB實現實現12.1 多元函數的基本概念1.1.平面點集與平面點集與n元空間元空間 坐標平面上具有某種性質 P 的點的集合，稱為平面點集，記作 我們用 表示 n 元有序實數組 的全體所構成的集合，為了在集合

2、 中的元素之間建立聯系，在 中定義線性運算如下：設 為 中任意兩個元素， ，規定這樣定義了線性運算的集合 稱為 n 維空間。2.2.多元函數的定義多元函數的定義設 D D 是 的一個非空子集,稱映射 為定義在 D D 上的二元函數，通常記為 ，或其中點集 D D 稱為該函數的定義域，x，y 稱為自變量，z 稱為因變量。一般地，將上述定義中的平面點集 D D 換成 n 維空間 內的點集 D D ，映射 就稱為定義在 D D 上的 n 元函數，通常記為或簡記為 3.3.多元函數的極限多元函數的極限 設二元函數 在點 的某鄰域內有定義（ 可以除外），如果對于任意給定的正數 ，總存在一個正數 ，使當

3、時，恒有 成立，則稱當 時，函數 以常數 A 為極限，記作 或 為了區別于一元函數的極限，我們將二元函數的極限叫做二重極限。4.4.多元函數的連續性多元函數的連續性 設二元函數 滿足以下條件：在點 的某鄰域內有定義；極限 存在；則稱函數 在點 連續。如果函數 在其定義域 D 的每一點都連續，那么就成函數 在 D 上連續，或者稱 是 D 上的連續函數。二元連續函數在圖形上表現為一個無空隙、無裂縫的曲面。與閉區間上一元連續函數的性質相類似，在有界閉區域上連續的多元函數具有如下性質。有界性與最大最小值定理有界性與最大最小值定理 在有界閉區域 上的多元連續函數，必定在 上有界，且能取得它的最大值和最小

4、值。介值定理介值定理 在有界閉區域 上的多元連續函數必取得介于最大值和最小值之間的任何值。12.2 偏導數1.1.偏導數的定義偏導數的定義 設函數 在點 的某一領域內有定義，當 固定在 而 在 處有增量 時，相應的函數有增量如果 存在，則稱此極限為函數 在點 處對 x 的偏導數，記作 或 2.2.偏導數的幾何意義偏導數的幾何意義 以二元函數 為例，其在點 的偏導數有下屬幾何意義。設 為曲面 上的一點，過 作平面 ，截此曲面得一曲線，此曲線在平面 上的方程為 ，則導數 ，即偏導數 ，就是這曲線在點 處的切線 對 x 軸的斜率如圖所示。 圖 偏導數的幾何意義 3.3.偏導數的偏導數的MATLABM

5、ATLAB符號求解符號求解在MATLAB中，求解多元函數的偏導數仍然采用diff函數。例：例：設 ，求 及 。 如果函數 的兩個二階混合偏導數 在區域 內連續，那么在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等。4.4. 隱函數的偏導數隱函數的偏導數 設函數 在點 的某一鄰域內具有連續偏導數，且 ， 則方程 在點 的某一領域內能唯一確定一個連續且具有連續偏導數的函數 ，它滿足條件 ，并且類似地，擴展到 n 元隱函數 ，則可以通過隱函數求出自變量之間的偏導數。具體可以用下面的公式求出 ：12.3 全微分1.1. 全微分的定義全微分的定義 設函數 在點 的某鄰域內有定義，如果函數在點 , 的全增量 可表示為

6、其中 不依賴于 而僅與 有關， ，則稱函數 在點 可微分，而 稱為函數 在點 的全微分，記作 ，即 如果函數 在區域 內各點處都可微，那么稱這函數在 內可微分。下面討論函數 ， 在點 可微分的必要條件和充分條件。必要條件必要條件 如果函數 在點 可微分，則該函數在點 的偏導數 必存在，且函數 在點 的全微分為充分條件充分條件 如果函數 的偏導數 在點 連續，則函數在該點可微分。2.2.全微分的應用全微分的應用 由二元函數的全微分的定義及關于全微分存在的充分條件可知，當二元函數 在點 的兩個偏導數 連續，并且 都較小時，就有近似等式上式也可以寫成12.4 全微分1.1.空間曲線的切線與法平面空間

7、曲線的切線與法平面 設空間曲線 的參數方程為 這里假定上述方程的三個函數都在 上可導，且三個導數不同時為零。現在要求曲線 在其上一點 處的切線及法平面方程。設與點 對應的參數為 ，記 ，則向量 就是曲線 在點 處的一個切向量，從而曲線 在點 ， 處的切線方程為 通過點 且與切線垂直的平面稱為曲線 在點 的法平面，它是通過點 且以 為法向量的平面，因此法平面方程為 2.2.曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 我們先討論由隱式給出曲面方程 的情形。設曲面 由上述隱式方程給出， 是該曲面 上的一點，并設函數 的偏導數在該點連續且不同時為零。在該曲面 上，通過點 M任意引一條曲線 。曲線上通過點 M

8、 的一切曲線在點 M 的切線都在同一個平面上，這個平面稱為曲面 在點 M 的切平面。通過點 M 且垂直于上述切平面的直線稱為曲面在該點的法線。切平面方程：法線方程 ： 12.5 方向導數與梯度1.1.方向導數方向導數 設 是 平面上以 為始點的一條射線， 是與 同方向的單位向量，射線 的參數方程為設函數 在點 的某個鄰域內有定義， 為 上另一點，且 P 在該鄰域內。如果函數增量： 與 P 到 的距離 的比值 當 P 沿著 趨向于 時極限存在，則稱此極限為函數 在點 沿方向 的方向導數，記作 則：2.2.梯度梯度 與方向導數有關聯的一個概念是函數的梯度，在二元函數的情形，設函數 ： 在平面區域

9、D 內具有一階連續偏導數，則對于每一點 ，都可定義出一個向量 這向量稱為函數 在點 的梯度記作 或 即12.6 多元函數的極值1.1.多元函數的極值及其求法多元函數的極值及其求法 設函數 的定義域為 D ， 為 D內一點，若存在 的某個鄰域 ，使得對于該鄰域內異于 的任何點 ，都有則稱函數 在點 有極大（小）值 ，點 稱為函數 的極大（小）值點。極大值、極小值統稱為極值，使得函數取得極值的點稱為極值點。具有二階連續偏導數的函數 的極值的求法：第一步 解方程 求得一切實數解，即求得一切駐點；第二步 對于每一個駐點 ，求出二階偏導數的值 ；第三步 定出 的符號，按照函數取得極值的充分條件判定 是不是極值，是極大值還是極小值。2.2.條件極值條件極值 對于對自變量有附加條件的極值稱為條件極值。對于有些條件極值，我們可以通過代入手段將其化為無條件極值，但很大一部分是不能轉化的，此時我們可以采用拉格朗日乘數法求解。要找函數 在附加條件 下的可能極值點，可以先作拉格朗日函數 其中 為參數，求其對 的一階偏導數，并使之為零，然后與 聯立起來： 由該方程組解出 及 ，這樣得到的 就是函數 在附加條件 的可能極值點12.7 多元函數的泰勒公式設 在點 的某一鄰域內連續且有直到 階的連續偏導數， 為該鄰域內任一點, 則有其中