1、關于切向和法向分量現在學習的是第一頁，共20頁概述概述：質點沿曲線運動時的速度相切于其運動路徑，：質點沿曲線運動時的速度相切于其運動路徑，但加速度并不如此。而把其加速度分解到其運動但加速度并不如此。而把其加速度分解到其運動路徑的切向和法向時可以對其加速度進行方便的路徑的切向和法向時可以對其加速度進行方便的研究。研究。本節內容本節內容質點的平面運動質點的平面運動質點的空間運動質點的空間運動11.13.11.13.切向和法向分量切向和法向分量現在學習的是第二頁，共20頁質點的平面運動質點的平面運動 首先設想一個質點如圖首先設想一個質點如圖所示的平面上做曲線運所示的平面上做曲線運動。設動。設P P為

2、某時刻的位置，為某時刻的位置，在在P P點，記單位矢量點，記單位矢量e et t與與運動軌跡相切，指向運運動軌跡相切，指向運動方向（圖動方向（圖11.21a11.21a），），記記e et t為為P P相對應的單位相對應的單位矢量。矢量。 y x OPenetetP圖11.21a現在學習的是第三頁，共20頁將將e et t 和和e et t移于同一坐標原點移于同一坐標原點O O，如圖，如圖11.21b11.21b得得 e et t 大小為大小為2sin(2sin(/2)/2)，且，且由由 得得由于質點的速度由于質點的速度v v與運動路徑相切則與運動路徑相切則對其兩邊關于對其兩邊關于t 求導得求

3、導得002sin/ 2sin(/2)lim= lim=1/2（）tn=ddee0limtnee（11.35）V=vet(11.36)O/2retetet圖11.21b現在學習的是第四頁，共20頁由于由于 其中其中ds/dt=v,ds/dt=v, de det t/d/d=e=en n，d/ds=1/d/ds=1/( (為曲率半徑，圖為曲率半徑，圖11.22)11.22)ttdddvvdtdtdtevaettdede ddsdtdds dt（11.37）yxO圓心圓心sPetet=s/P圖11.22現在學習的是第五頁，共20頁所以所以將公式代入將公式代入 得得因此兩分量分別為因此兩分量分別為綜上

4、綜上：加速度的切向分量反應質點運動速率變化的加速度的切向分量反應質點運動速率變化的快慢，而法向分量反應質點運動方向的變化。只快慢，而法向分量反應質點運動方向的變化。只有當加速度的兩個分量都為零時，加速度才會為有當加速度的兩個分量都為零時，加速度才會為零。零。 tndvdteettdddvvdtdtdtevae2tndvvdtaeetdvadt2nva（11.38）（11.39）（11.40）現在學習的是第六頁，共20頁應用應用：質點運動的加速度的法向分量與路徑的曲率半徑有關，質點運動的加速度的法向分量與路徑的曲率半徑有關，這一點在設計飛機機翼、火車鐵軌以及凸輪的結構或這一點在設計飛機機翼、火車

5、鐵軌以及凸輪的結構或尺寸時常被考慮在內，為了避免空氣流過機翼是加速尺寸時常被考慮在內，為了避免空氣流過機翼是加速度的突然變化，機翼的輪廓常常設計成流線形的，同度的突然變化，機翼的輪廓常常設計成流線形的，同樣對于火車鐵軌，為避免加速度的突然變化（不利于樣對于火車鐵軌，為避免加速度的突然變化（不利于設備和旅客）常常在直鐵軌和圓弧鐵軌間加過渡性的設備和旅客）常常在直鐵軌和圓弧鐵軌間加過渡性的特殊鐵軌。通過過渡曲線防止了加速度的突變，是加特殊鐵軌。通過過渡曲線防止了加速度的突變，是加速度連續的變化。速度連續的變化。如下圖：如下圖：現在學習的是第七頁，共20頁凸輪凸輪 鐵軌鐵軌機翼機翼現在學習的是第八頁

6、，共20頁質點的空間運動質點的空間運動 和和 、 的關系在空間的質點的關系在空間的質點的移動中同樣適用的移動中同樣適用 , 然而然而由于空間曲線在由于空間曲線在P P點有無點有無數條直線與數條直線與P P點的切線方向垂直點的切線方向垂直（圖圖11.24a11.24a） ，因，因此，有必要更準確的定義單位矢量此，有必要更準確的定義單位矢量e en n。 2tndvvdtaeetdvadt2nvaxzyPPetet切面切面xzyetet et現在學習的是第九頁，共20頁密切面密切面xzyPPetet密切面密切面etxzyPeten（在密切面內）（在密切面內）密切面密切面eb（垂直于（垂直于密切面）

7、密切面）結論：質點在：質點在P處的處的加速度可以分解為兩加速度可以分解為兩個分量，一個沿切線個分量，一個沿切線方向，另一個沿主法方向，另一個沿主法線線eb方向。方向。 xoy面內曲線的密面內曲線的密切面是不是切面是不是xoy面？面？肯定是！現在學習的是第十頁，共20頁11.1411.14徑向和橫向分量徑向和橫向分量在某些平面運動中，質點在某些平面運動中，質點P P的位置，由極坐標的位置，由極坐標r r和和（圖（圖11.25a11.25a）確定。這樣就可以將質點的速度和加）確定。這樣就可以將質點的速度和加速度方便的分解到平行于垂直于速度方便的分解到平行于垂直于OPOP的方向上（圖的方向上（圖11

8、.25b11.25b） 。分量。分量e er r和和e e分別稱為徑向分量和橫向分別稱為徑向分量和橫向分量的單位向量。分量的單位向量。圖11.25arPOPO圖11.25br=rereer現在學習的是第十一頁，共20頁與與11.1311.13相似通過求導得到：相似通過求導得到： -e-er r代表與代表與e er r反向的單位向量（圖反向的單位向量（圖11.25c11.25c）通過微分的）通過微分的連鎖規則，我們對連鎖規則，我們對e er r， e e關于時間關于時間t t求導求導 rddeerdd ee（11.41）rrdddddtddtdteeerdddddtddtdteeeee e er

9、ererO現在學習的是第十二頁，共20頁用點來代替關于用點來代替關于t t的導數的導數 為獲得質點為獲得質點P P的速度的速度v v，P P點的位置矢量點的位置矢量r r可由標量可由標量r r和單和單位矢量位矢量e er r表示，對其兩邊關于表示，對其兩邊關于t t求導得求導得或由（或由（11.4211.42）得）得為獲得加速度再次對其關于時間為獲得加速度再次對其關于時間t t求導求導 reeree（11.42）()rrrdrrrdtveee （11.43）erervr現在學習的是第十三頁，共20頁聯立聯立 和和 ，提出，提出e er r和和e e得得速度和加速度在徑向和橫向的分量的大小為速度

10、和加速度在徑向和橫向的分量的大小為 特別的注意到特別的注意到a ar r不等于不等于v vr r對時間的導數，對時間的導數，a a也也不等于不等于v v對時間的導數對時間的導數 rrdrrrrrdtvaeeeee2(2)rrrrra)ee（11.44）rvr vr2arr2arr（11.45）（11.46）ee ree現在學習的是第十四頁，共20頁在質點繞圓心在質點繞圓心O O做圓周運動中，由于做圓周運動中，由于r r為常量，為常量， 公式公式（11.4311.43）和（）和（11.4411.44）分別變為）分別變為 0 rr rve2rrraee以下內容 為擴 展現在學習的是第十五頁，共20

11、頁質點運動的空間擴展：柱面坐標質點運動的空間擴展：柱面坐標 質點質點P P的空間的空間位置，有時通位置，有時通過它的柱面坐過它的柱面坐標標R,R,，z z（圖（圖11.26a11.26a）表示表示xzyPRz圖11.26a現在學習的是第十六頁，共20頁方便的用單位向量方便的用單位向量 ， 和和 k k （圖（圖11.26b11.26b）將質點）將質點P P的位置矢量的位置矢量r r分解到這些單位矢量的方向上，得到分解到這些單位矢量的方向上，得到 和和 分別表示在水平面分別表示在水平面xyxy平面上的徑向矢量和平面上的徑向矢量和橫向矢量，矢量橫向矢量，矢量k k 代表軸的方向在方向和大小上的常代表軸的方向在方向和大小上的常量，我們容