1、初一奧數復習題1.計算111555十3335.2 .設 a, b, c 為實數，且 I a I +a=0, I ab I =ab, Ic I -c=0,求代數式 I b I - I a+b I - I c-b I + I a-c I 的值.3若 mVO, n>0, I m I < I n I ,且1x+m I + I x-n I =m+n,求 x 的取值范圍.4,設(3x-1)7=a7x7+a6x6+aix+ao，試求 ao+az+aj+ae 的值.5 .已知方程組(1 + lc) y = 0,，Cl-k) z+ky = l + k,(1 + lc) (12-k) y = - (1

2、 + k)有解，求k的值.6 .解方程 2 I x+1 I + I x-3 I =6.7 .解方程組(-y =2,(I 1 + I y I =4.8 .解不等式 I lx+3 I - I x-1 I I >2.9 .比較下面兩個數的大小：9999nli 十 199992222 + 1A- 99992222 +T B- 99993333 + 1 -10 . x, y, z均是非負實數，且滿足:x+3y+2z=3, 3x+3y+z=4,求u=3x-2y+4z的最大值與最小值.11 .x<2x3+x2+2x- l除以x?+x+1的商式和余式.12 .如圖188所示.小柱住在甲村，奶奶住在

3、乙村，星期日小柱去看望奶奶.先在北山 坡打捆草，又在南山坡砍捆柴給奶奶送去.請問：小柱應該選擇怎樣的路線才能使路程最短？13 .如圖1一89所示.AOB是條直線,OC, 0E分別是NAOD和NDOB的平分線,ZCOD=55°.求NDOE的補角.因 1-8914 .如圖 190 所示.BE 平分NABC. ZCBF=ZCFB=55° , NEDF=70° .求證：BC/7AE.圖 1-9015 .如圖 1一91 所示.在AABC 中，EF±AB, CD1AB, ZCDG=ZBEF.求證：ZAGD=ZACB.16.如圖1一92所示.在AABC 中，NB=NC

4、, BDLAC 于 D.求證：Zdbc=Za.17.如圖1一93所示.在aABC中，E為AC的中點，D在BC上，且BD ： DC= I ： 2, AD與BE交于F,求4BDF與四邊形FDCE的而積之比.18 .如圖1一94所示.四邊形ABCD兩組對邊延長相交于K及L,對角線AC:KL, BD延長 線交KL于F.求證：KF=FL.19 .任意改變某三位數數碼順序所得之數與原數之和能否為999?說明理由.20 .設有張8行、8列的方格紙，隨便把其中32個方格涂上黑色，剩下的32個方格涂上 白色.下面對涂了色的方格紙施行“操作”，每次操作是把任意橫行或者豎列上的各個方格同時 改變顏色.問能否最終得到

5、恰有一個黑色方格的方格紙？21 .如果正整數p和p+2都是大于3的素數，求證：6 I (p+1).22 .設n是滿足下列條件的最小正整數，它們是75的倍數，且恰有”個正整數因子(包括1和其本身)，求必.23 .房間里凳廣和椅廣若干個，每個凳子有3條腿，每把椅子有4條腿，當它們全被人坐 上后，共有43條腿(包括每個人的兩條腿)，問房間里有幾個人？24 .求不定方程49x-56y+ l4z=35的整數解.25 .男、女各8人跳集體舞.(I)如果男女分站兩列：(2)如果男女分站兩列，不考慮先后次序，只考慮男女如何結成舞伴.問各有多少種不同情況？26 .由1, 2, 3, 4, 5這5個數字組成的沒有

6、重復數字的五位數中，有多少個大于34152?27 .甲火車長92米,乙火車長84米,若相向而行，相遇后經過1.5秒(s)兩車錯過,若同 向而行相遇后經6秒兩車錯過，求甲乙兩火車的速度.28 .甲乙兩生產小隊共同種菜，種了 4天后，由甲隊單獨完成剩下的，又用2天完成.若 甲單獨完成比乙單獨完成全部任務快3天.求甲乙單獨完成各用多少天？29 . 船向相距240海里的某港出發，到達目的地前48海里處，速度每小時減少10海里, 到達后所用的全部時間與原速度每小時減少4海里航行全程所用的時間相等，求原來的速度.30 .某工廠甲乙兩個車間，去年計劃完成稅利750萬元，結果甲車間超額15%完成計劃， 乙車間

7、超額10%完成計劃，兩車間共同完成稅利845萬元，求去年這兩個車間分別完成稅利多 少萬元？31 .已知甲乙兩種商品的原價之和為150元.因市場變化，甲商品降價10%,乙商品提價 20%,調價后甲乙兩種商品的單價之和比原單價之和降低了 1%,求甲乙兩種商品原單價各是多 少？32 .小紅去年暑假在商店買了 2把兒童牙刷和3支牙膏，正好把帶去的錢用完.已知每支 牙膏比每把牙刷多1元，今年暑假她又帶同樣的錢去該商店買同樣的牙刷和牙膏，因為今年的牙 刷每把漲到1.68元,牙膏每支漲價30%,小紅只好買2把牙刷和2支牙膏,結果找回4角錢.試 問去年暑假每把牙刷多少錢？每支牙膏多少錢？33 .某商場如果將進

8、貨單價為8元的商品，按每件12元賣出，每天可售出400件，據經驗, 若每件少賣1元，則每天可多賣出200件，問每件應減價多少元才可獲得最好的效益？34 .從A鎮到B鎮的距離是28千米，今有甲駙自行車用0. 4千米/分鐘的速度，從A鎮出 發駛向B鎮，25分鐘以后，乙騎自行車，用0. 6千米/分鐘的速度追甲，試問多少分鐘后追上 甲？35 .現有三種合金：第種含銅60%,含缽40%：第二種含鈦10%,含鍥90%：第三種 含銅20%,含缽50%,含鍥30%.現各取適當重量的這三種合金，組成塊含銀45%的新合 金，重量為I千克.(I)試用新合金中第種合金的重量衣示第二種合金的重量；36 )求新合金中含第

9、二種合金的重量范圍：37 )求新合金中含鎰的重量范圍.初一奧數復習題解答1.令x = ll1,200011原式=C111000 + 555）+3335如0。個 L 2000 個。 2000151妙9 個？=幺（10次0 +5）+（3w+2）=x（999+ 1 + 5）=（3z + 2）i., 20CD 個 9=x（9x + 6）-（3x+2）=3x= 33'" 3. > 2tmy2 .因為I a I =-a,所以aWO,又因為I ab I =ab,所以bWO,因為I c I =c,所以ceO.所 以 a+bWO, cbeO, a-cO.所以原式=b+(a+b)(cb)(

10、ac)=b.3 因為 mVO, n>0,所以 Im I =-m, I n I =n.所以 I m I < I n I 可變為 m+n>0.當 x+m>0 時，I x+m I =x+m：當 x-nWO 時，I x-n I =n-x.故當-mWxWn 時，I x-m I + I x-n I =x-m-x+n=m -n.4 .分別令x=1, x=-1,代入已知等式中，得(3X1-1) 7 =a7 4-a H4-aj + a0,®3M (-0 -1'= -%+%-藥+,_為+即，十尸侍ao+a2+a4+a6=-8128.5 .+整理得x=6y,代入得(k-5)

11、y=O.當k=5時，y有無窮多解，所以原方程組有無窮多組解：當k關5時，y=0,代入得(l-k)x=l +k,因為x=6y=0,所以1+k=0,所以k=-為6 k=5或k=- l時原方程組有解.6 .當幺4-1時，有-2 (幺+1)-(義-3)=6,所以當-1VxW3時,有2(x+1)(x-3)=6,所以x=1：當x>3時,有2 （k + 1）+（幺-3）=6,所以x=因為w =不在義）3的范圍內33，所以應舍去.故原方程的解為裂=，叼=1.7 .由I xy I =2得xy=2, 或xy=2,所以x-y = 2,Ixl + I” =4;由前個方程組得I 2+y ! + I y | =4.

12、當yv2時，（y+2）y=4,所以y=-3, x=-1；當2WyV0時，（y+1）y=4,無解：當yNO 時，（2+y）+y=4,所以 y=1, x=3.同理，可由后個方程組解得所以解為尸 <Ki,或 (I 0+3)+(K-1) I >2；/0 + 3)- G-l) I >2.'解得xW-3；解得-3VxV-2 或 0Vx1：解得x>1.所以原不等式解為xV-2或x>0. 9.令a = 9999"3 則A = B =,a2 + 1 a5 + 1干是A'二二-E(a4 + a3 + 軟 +1) - (a4 + 2a2 + 1)= OQi)a

13、s - 2a2 + a一(1+1)(.十1)_ a(a -1)2=1)引7)顯然有a>L所以A-B>0,即A>B.10.由已知可解出y和zfy=1 a%) ,z = 2區-1.因為y，z為非負實數，所以有j j （1-幺）0,所以;4&1,所以 乙u=3x-2y+4z= 3n-2X | （It）+ 4（2z-l）=1（4%-22）.1* - 6當w = l時，晚大包=7;當w = 5時，U姓小值 11.-2 - 3x + 3x2 + e + l）z4 - 2旗 3 + 乂。+ 24一 14.3.2X +X + X-3x3 十 0 十 2z-3x2 - 3x2 - 3x

14、3x2 + 5x - 13x2 +3x+32x7所以商式為x2-3x+3,余式為2x412.小柱的路線是由三條線段組成的折線（如圖197所示）.我們用“對稱”的辦法將小柱的這條折線的路線轉化成兩點之間的段“連線”（它 是線段）.設甲村關于北山坡（將山坡看成條直線）的對稱點是甲：乙村關于南山坡的對稱點是乙，連接甲'乙'，設甲'乙所連得的線段分別與北山坡和南山坡的交點是A, B,則從甲A-B-乙的路線的選擇是最好的選擇（即路線最短）.wd顯然，路線甲乙的長度恰好等于線段甲'乙'的長度.而從甲村到乙村的 其他任何路線，利用上面的對稱方法，都可以化成條連接甲&#

15、39;與乙'之間的折線.它們的長度都大于線段甲'乙',所以，從甲一A-Bf乙的路程最短.圖 1-98國 1-9913.如圖1一98所示.因為OC, 0E分別是NAOD, NDOB的角平分線，又ZAOD+ Z DOB= ZAOB= 180° ,所以 ZCOE=90° .因為 ZCOD=55° ,所以NDOE=900 55°=350 .因此，NDOE的補角為180° -35° =145° .14 .如圖1-99所示.因為BE平分NABC,所以ZCBF=ZABF,又因為 ZCBF=ZCFB,所以 ZABF=

16、ZCFB.從而ABCD（內錯角相等，兩直線平行）.由NCBF=55°及BE平分NABC,所以ZABC=2X550 =110。, 由上證知ABCD,所以ZEDF=ZA=70° ,由，知BC/AE（同側內角互補，兩直線平行）.15 .如圖1100所示.EF1AB, CD±AB,所以AB E C圖 1-100ZEFB=ZCDB=90° ,所以EFCD（同位角相等，兩直線平行）.所以NBEF=NBCD（兩直線平行，同位角相等）.又由已知ZCDG=ZBEF.由， ZBCD=ZCDG.所以BCDG（內錯角相等，兩直線平行）.所以NAGD=NACB（兩直線平行，同位角

17、相等）.16 .在4BCD 中，ZDBC+ZC=90° （因為NBDC=90） ）,又在ABC中，ZB=ZC,所以ZA+ZB+ZC=ZA+2ZC=180 , 所以Nc二.(180° -Na) =90。-<Na，乙乙由，ZDBC+(90° -/A)=90。，所以ZBBC=|ZA.17 .如圖1 101,設DC的中點為G,連接GE.在ADSL G, E分別是CD, CA的中點.所以，GEAD,即在4BEG中，DFGE.從而F是BE中點.連結FG.所 以S y 口亦=S z = X ( S A ) = S PH1.&EFD 2 &BFG 2 2 A

18、EEG， 之4跖仃又SaefD=SaBfg-SEFDG=4S bfd-SEFDG,所以 Slefgd=3Sabfd.設Sabfd=x，則SEFDG=3x.又在ABCE中，G是BC邊上的三等分點，所以S.(eg=S/、bceE，從而C _ A = A (Q4- 、Q&CEG - 2 &BEG - 2 ' &RFD 2 9仔/二!(幺+ 3%)=2幺, 乙所以SEFDC=3x+2x=5x,所以S,.BFD : SEFDC= I ： 5.18.如圖1 102所示.D.F圖 1-102= SjiKFB = $AKFD FL S 應 lbSqfld=Saoe _§

19、;1曲 %LB "fLD=,陋一=冬用P. !®LSLBD SaFBL SjiLBD_ DC . RA- LC AD-由已知ACKL,所以SaACK=S.»cl,所以變.KA £皿6 AD 3皿由，費=1,FL即KF=FL.19,設三位數為近，改變數碼順序后的三位數為而；（可能aj = 0）.如果北。十2也匕1 =999,則只能是c + c=9,同理b+ 3=9, a+a1=9,于是 a+b+c+ai + bi+j=9+9+9,國J 2（a 十 b+c）=27,矛盾！20 .答案是否定的.設橫行或豎列上包含k個黑色方格及8-k個白色方格，其中0 WkW8

20、.當改變方格的顏色時，得到8-k個黑色方格及k個白色方格.因此，操作次 后，黑色方格的數目“增加了"（8k）k=8-2k個，即增加了 個偶數.于是無論如何操 作，方格紙上黑色方格數目的奇偶性不變.所以，從原有的32個黑色方格(偶數個)，經 過操作，最后總是偶數個黑色方格，不會得到恰有一個黑色方格的方格紙.21 .大于3的質數p只能具有6k+ l, 6k+5的形式.若p=6k+1(k>1),則p+2=3(2k +1)不是質數,所以，p=6k+5(k20).于是，p+1=6k+6,所以，6 I (p+1).22 .由題設條件知n=75k=3x52xk.欲使n盡可能地小，可設n=2&

21、#39;3"5'(B 21, 丫22),且有(«+1)(P+1)(Y+1)=75.于是a+1, B+L 丫+1都是奇數，a, R, 丫均為偶數.故取y =2.這時(a+1)(3+1)=25.所以尸+1 = 1，或4+1=5,+1=25；或V +1 = 5.故(a, 3 )=(0. 24),或(a, B )=(4, 4), BP n=2o - 324 52或n = 2$ 3。孔 故曲最小值為2, g,= 432.23 .設凳廣有x只，椅子有y只，由題意得3x+4y+2(x+y)=43,即 5x+6y=43.所以x=5, y=3是唯的非負整數解.從而房間里有8個人.24

22、 .原方程可化為7x-8y+2z=5.令7x-8y=t, t+2z=5.易見x=7t, y=6t是7x-8y=t的組整數解.所以它的全部整 數解是k=7t +8tL,|y = 6t 十而t=l, z=2是t+2z=5的一組整數解.它的全部整數解是ft = 1 - 2t2,1 z = 2 +12.把t的表達式代到X, y的衣達式中，得到原方程的全部整數解是1X= 71由2十%尸y = 6-12t2 + 7tr tL, t2 =0, ± 1, ± 2,.z = 2 +1225 . (I)第個位置有8種選擇方法，第二個位置只有7種選擇方法，由乘法原 理，男、女各有8X7X6X5X

23、4X3X2X1=40320種不同排列.又兩列間有相對位置關系，所以共有2 X 403202種不同情況.(2)逐個考慮結對問題.與男甲結對有8種可能情況，與男乙結對有7種不同情況，且兩列可對換，所 以共有2X8X7X6X5X4X3X2X1=80640種不同情況.26 .萬位是5的有4X3X2X1=246、).萬位是4的有4X3X2X1=24（1''）.萬位是3,千位只能是5或4,千位是5的有3X2X1=6個，千位是4的有如下4個：34215, 34251, 34512, 34521.所以，總共有24+24+6+4=58個數大于34152.27 .兩車錯過所走過的距離為兩車長之總和

24、，即92+84=176（米）.設甲火車速度為x米/秒，乙火車速度為y米/秒.兩車相向而行時的速度為x+y； 兩車同向而行時的速度為x-y,依題意有fl,5 （裂 + y） = 176,（6 （汛-y） = 176,解之得卜=73；（米/秒）， y=44 1米/秒）.22.設甲隊單獨完成全部任務用z天，每天完成全部的工，乙隊單獨完成全部任務用心+ 3）天，每天完成全部的一二，由題意可得 x十3i-4 d+告）解之得x=9（天）,x+3=12（天）.29.設原速度為滯里/小時，則減速前所用的時間為空W,減48速后所用的時間為一按原速減少4海里/小時航行全程時間為 x -10用.依題意有x - 10

25、240 - 4848240+=K X_10 K - 4解之得x=16（海里/小時）.1 檢驗，x=16海里/小時為所求之原速.30 .設甲乙兩車間去年計劃完成稅利分別為x萬元和y萬元.依題意得fx+y = 750,（1 + 15%） z+ （1+10%） y = 845.解之得（x=400 （萬元），（7 = 350 （萬元）.故甲車間超額完成稅利15%，*k=-X400 = 60 （萬元）,乙車間超額完成稅利10%，丫 =慈乂350 = 35 （萬元）.所以甲共完成稅利400+60=460（萬元），乙共完成稅利350+35=385（萬元）.31 .設甲乙兩種商品的原單價分別為x元和y元，依題意可得Jx + y = 150,(.1-10%；+y (1+20%) =150(1-1%).由有0.9x+l.2y=148.5, 由得x=150-y,代入有0. 9(150-y)+l.2y=148. 5,解之得y=45(元)，因而，x=105(元).32 .設去年每把牙刷x元,依題意得2X1.68+2(x+1)