1、實用標準文案實驗5 連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析1、 實驗目的1. 掌握拉普拉斯變換及其反變換的定義，并掌握MATLAB實現(xiàn)方法。2. 學習和掌握連續(xù)時間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的定義及復頻域分析方法。3. 掌握系統(tǒng)零極點的定義，加深理解系統(tǒng)零極點分布與系統(tǒng)特性的關系。2、 實驗原理與方法1. 拉普拉斯變換連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換定義為 拉普拉斯反變換定義為 在MATLAB中，可以采用符號數(shù)學工具箱的laplace函數(shù)和ilaplace函數(shù)進行拉氏變換和反拉氏變換。L=laplace(F)符號表達式F的拉氏變換，F(xiàn)中時間變量為t，返回變量為s的結果表達式。L=laplace(F,t)用t替換結果中的變量s。

2、F=ilaplace(L)以s為變量的符號表達式L的拉氏反變換，返回時間變量為t的結果表達式。F=ilaplace(L,x)用x替換結果中的變量t。除了上述ilaplace 函數(shù)，還可以采用部分分式法，求解拉普拉斯逆變換，具體原理如下：當 X (s)為有理分式時，它可以表示為兩個多項式之比：式（3）可以用部分分式法展成一下形式 通過查常用拉普拉斯變換對，可以由式（1-2）求得拉普拉斯逆變換。利用 MATLAB 的residue 函數(shù)可以將 X (s)展成式（1-2）所示的部分分式展開式，該函數(shù)的調用格式為：r,p,k = residue(b,a) 其中b、a 為分子和分母多項式系數(shù)向量，r、p

3、、k 分別為上述展開式中的部分分式系數(shù)、極點和直項多項式系數(shù)。2. 連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)單位沖激響應的拉氏變換 此外，連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)還可以由系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)輸出信號的拉氏變換之比得到 單位沖激響應反映了系統(tǒng)的固有性質，而從復頻域反映了系統(tǒng)的固有性質。由式（6）描述的連續(xù)時間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為s的有理函數(shù) 3.連續(xù)時間系統(tǒng)的零極點分析系統(tǒng)的零點是指式（7）的分子多項式為零的點，極點指使分母多項式為零的點，零點使系統(tǒng)的值為零，極點使系統(tǒng)函數(shù)的值無窮大。通常將系統(tǒng)函數(shù)的零極點繪在s平面上，零點用表示，極點用表示，這樣得到的圖形稱為零極點的分布圖。由零極點的定義可知

4、，零點和極點分別指式（7）的分子多項式和分母多項式的根。利用MATLAB求多項式的根可以通過函數(shù)roots來實現(xiàn)，該函數(shù)的調用格式為：r=roots(c) c為多項式的系數(shù)向量，返回值r為多項式的根向量。分別對式（7）的分子多項式和分母多項式求根即可得到零極點。此外，在MATLAB中還提供了更簡便的方法來求取零極點和繪制系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布圖，即利用pzmap函數(shù)，該函數(shù)的調用格式為：pzmap(sys)繪出由系統(tǒng)模型sys描述的系統(tǒng)的零極點分布圖。p,z=pzmap(sys) 這種調用方法返回極點和零點，而不繪出零極點分布圖。其中sys為系統(tǒng)傳函模型，由t命令sys=tf(b,a)實現(xiàn)，b、

5、a為傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式的系數(shù)向量。MATLAB還為用戶提供了兩個專用函數(shù)tf2zp和zp2tf來實現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型和零極點增益模型的轉換，其調用格式為：z,p,k=tf2zp(b,a) b,a=zp2tf(z,p,k)其中b、a為傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式的系數(shù)向量，返回值z為零點列向量，p為極點列向量，k為系統(tǒng)函數(shù)零極點形式的增益。三、實驗內容（1）已知系統(tǒng)的沖激響應,輸入信號，是采用復頻域的方法求解系統(tǒng)的響應，編寫MATLAB程序實現(xiàn)。使用卷積定理求解，先分別求的拉氏變換然后根據(jù)式（6）求出輸出，最后對進行拉普拉斯反變換即可得到系統(tǒng)的響應。MATLAB程序如下：sym

6、s t;h=heaviside(t)-heaviside(t-2);x=heaviside(t);H=laplace(h);X=laplace(x);F=X.*H;f=ilaplace(F);f=ilaplace(F)f = t - heaviside(t - 2)*(t - 2)故系統(tǒng)響應為（2） 已知因果連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別如下，試采用MATLAB畫出其零極點分布圖，求解系統(tǒng)的沖激響應并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。MATLAB程序及運行結果如下:a = 1 2 2 1;b = 1;sys = tf(b,a);pzmap(sys);r,p,k = residue(b,a);syms sH = 1

7、/(s3+2*s2+2*s+1);h = ilaplace(H);impulse(sys);b = 1;a = 1 2 2 1;H,w = freqs(b,a);subplot(2,1,1);plot(w,abs(H);xlabel('omega(rad/s)');ylabel('Magnitude');title('|H(jomega)|');grid on;subplot(2,1,2);plot(w,angle(H);xlabel('omega(rad/s)');ylabel('Phase');title(&#

8、39;phi(omega)');grid on;p= -1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660iz = Empty matrix: 0-by-1系統(tǒng)沒有零點，極點為p=-1，-0.5±0.866i；系統(tǒng)的零極點圖r = 1.0000 + 0.0000i -0.5000 - 0.2887i -0.5000 + 0.2887ip = -1.0000 + 0.0000i -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660ik = 由此得到依據(jù)基本拉式變換對可以得到 頻響曲線為：頻率響應：b=1;a=1 2 2 1;H w

9、=freqs(b,a);subplot(211);plot(w,abs(H);xlabel('omega(rad/s)');ylabel('Magnitude');title('|X(jomega)|');grid on;subplot(212);plot(w,angle(H);xlabel('omega(rad/s)');ylable('Phase');title('phi(omgea)');由于該因果系統(tǒng)的所有極點都位于S 平面的左半平面，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。MATLAB程序及運行結果如下:a =

10、 5 2 -3 3 3 2;b = 1 0 1;sys = tf(b,a);pzmap(sys);r,p,k = residue(b,a)r = 0.1277 + 0.0000i -0.0341 - 0.0492i -0.0341 + 0.0492i -0.0298 - 0.1226i -0.0298 + 0.1226ip = -1.1803 + 0.0000i 0.7391 + 0.6886i 0.7391 - 0.6886i -0.3489 + 0.4586i -0.3489 - 0.4586ik = 由此得到b = 1 0 1;a = 5 2 -3 3 3 2;H,w = freqs(b

11、,a);subplot(2,1,1);plot(w,abs(H);xlabel('omega(rad/s)');ylabel('Magnitude');title('|H(jomega)|');grid on;subplot(2,1,2);plot(w,angle(H);xlabel('omega(rad/s)');ylabel('Phase');title('phi(omega)');grid on;由于該因果系統(tǒng)的所有極點不全位于S 平面的左半平面，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。（3）已知連續(xù)時間系統(tǒng)函數(shù)

12、的極點位置分別如下所示（設系統(tǒng)無零點），試用MATLAB繪制6中不同情況下，系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布圖，并繪制相應沖激響應的時域波形，觀察并分析系統(tǒng)函數(shù)極點位置對沖激響應時域特性的影響。p=0MATLAB程序及運行結果如下：syms t;b=1;a=1 0;sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);hs=sym('1/(s)' );ht=ilaplace(hs);subplot(212);ezplot(ht);p=-2MATLAB程序及運行結果如下：syms t;b=1;a=1 2;sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys)

13、;hs=sym('1/(s+2)' );ht=ilaplace(hs);subplot(212);p=2MATLAB程序及運行結果如下：syms t;b=1;a=1 -2;sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);hs=sym('1/(s-2)' );ht=ilaplace(hs);subplot(212);ezplot(ht);MATLAB程序及運行結果如下：syms t;b=1;a=1 0 4;sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);hs=sym('1/(s2+4)' );ht=i

14、laplace(hs);subplot(212);ezplot(ht);MATLAB程序及運行結果如下：b=1;a=1 2 17;sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);f=sym('1/(s2+2*s+17)')F=ilaplace(f)subplot(212);syms t;ezplot(F)axis(-7 5 -50 100)圖像如下：MATLAB程序及運行結果如下：b=1;a=1 -2 17;sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);f=sym('1/(s2-2*s+17)')F=ilapla

15、ce(f)subplot(212);syms t;ezplot(F)axis(-5 7 -100 50) 由以上六例，可以總結出，在無零點的情況下：當極點唯一且在原點時，h(t)為常數(shù)；當極點唯一且是負實數(shù)時，h(t)為遞減的指數(shù)函數(shù)；當極點唯一且是正實數(shù)時，h(t)為遞增的指數(shù)函數(shù)；當H（s）有兩個互為共軛的極點時，h(t)有一sint因子；當H（s）有兩個互為共軛的極點且他們位于右半平面時，h(t)還有一et因子；當H（s）有兩個互為共軛的極點且他們位于左半平面時，h(t)還有一e-t因子；（4） 已知3個連續(xù)時間系統(tǒng)函數(shù) 上述三個系統(tǒng)具有相同的極點，只是零點不同，試用MATLAB分別繪制

16、系統(tǒng)的零極點分布圖及相應沖激響應的時域波形，觀察并分析系統(tǒng)函數(shù)零點位置對沖激響應時域特性的影響。MATLAB程序及運行結果如下：syms t;b=1;a=1 2 17;sys=tf(b,a);p,z=pzmap(sys);subplot(121);pzmap(sys);title('零極點圖');hs=sym('1/(s2+2*s+17)' );ht=ilaplace(hs);subplot(122);ezplot(ht);title('沖激響應h(t)');MATLAB程序及運行結果如下：syms t;b=1 8;a=1 2 17;sys=tf

17、(b,a);p,z=pzmap(sys);subplot(211);pzmap(sys);title('零極點圖');hs=sym('(s+8)/(s2+2*s+17)' );ht=ilaplace(hs);subplot(212);ezplot(ht);title('沖激響應h(t)');MATLAB程序及運行結果如下：syms t;b=1 -8;a=1 2 17;sys=tf(b,a);p,z=pzmap(sys);subplot(211);pzmap(sys);title('零極點圖');hs=sym('(s+8)/(s2+2*s+17)' );ht=ilaplace(hs);subplot(