1、微積分（微積分（）復習）復習導數與微分導數與微分導數與微分導數與微分1.基本概念基本概念(1)導數定義導數定義設函數設函數 在點在點 及其附近有定義，及其附近有定義，如果極限如果極限 存在，則稱函數存在，則稱函數 在在 可導，可導， 在在 的導數記作的導數記作 。)(xf)(xf)(xf0 x0 x0 x)( 0 xfxxfxxfx )()(lim000 2.右導數右導數:單側導數單側導數1.左導數左導數:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函數函數)(x

2、f在點在點0 x處可導處可導左導數左導數)(0 xf 和右和右導數導數)(0 xf 都存在且相等都存在且相等.3 3、求導法則、求導法則設設)(),(xvvxuu 可可導導，則則（1）vuvu )(, （2）uccu )(c是是常常數數),（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.(1) 函數的和、差、積、商的求導法則函數的和、差、積、商的求導法則(2) 反函數的求導法則反函數的求導法則.)(1)(),()(xxfxfyyx 則有則有的反函數為的反函數為如果函數如果函數(3) 復合函數的求導法則復合函數的求導法則).()()()()(),(xufxydxdududydx

3、dyxfyxuufy 或或的導數為的導數為則復合函數則復合函數而而設設(4) 對數求導法對數求導法先在方程兩邊取對數先在方程兩邊取對數,然后利用隱函數的求導方法然后利用隱函數的求導方法求出導數求出導數.適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數數多個函數相乘和冪指函多個函數相乘和冪指函xvxu(5) (5) 隱函數求導法則隱函數求導法則用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導.,)()(間間的的函函數數關關系系與與確確定定若若參參數數方方程程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd (6) (6)

4、參變量函數的求導法則參變量函數的求導法則4 4、高階導數、高階導數,)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二二階階導導數數記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二階導數的導數稱為三階導數二階導數的導數稱為三階導數,記作記作階導數階導數的的函數函數階導數的導數稱為階導數的導數稱為的的函數函數一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二階和二階以上的導數統稱為二階和二階以上的導數統稱為高階導數高階導數)5、微分的定義微分的定義定義定義.),(,)(,)(),()()()(,)(

5、000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分于自變量增量于自變量增量相應相應在點在點為函數為函數并且稱并且稱可微可微在點在點則稱函數則稱函數無關的常數無關的常數是與是與其中其中成立成立如果如果在這區間內在這區間內及及在某區間內有定義在某區間內有定義設函數設函數.的的線線性性主主部部叫叫做做函函數數增增量量微微分分ydy ( (微分的實質微分的實質) )6 6、導數與微分的關系、導數與微分的關系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導處可導在點在點可微的充要條件是函數可微的充要條件是函數在點在

6、點函數函數定理定理7 7、 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: :計算函數的導數計算函數的導數,乘以自變量的微分乘以自變量的微分.基本初等函數的微分公式基本初等函數的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(l

7、n)( arc 函數和、差、積、商的微分法則函數和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 8 8、 微分的基本法則微分的基本法則 微分形式的不變性微分形式的不變性的的微微分分形形式式總總是是函函數數是是自自變變量量還還是是中中間間變變量量無無論論)(,xfyx dxxfdy)( 3.導數的運算法則導數的運算法則(1)導數的四則運算法則導數的四則運算法則(2)復合函數求導的鏈式法則復合函數求導的鏈式法則(3)隱函數求導法隱函數求導法(4)反函數求導法反函數求導法(5)參數方程求導法參數方程求導法(6)對數微分法對數微分法(7)高階

8、導數的萊布尼茲公式高階導數的萊布尼茲公式要求要求(1)掌握導數概念、物理意義及幾何意義，掌握導數概念、物理意義及幾何意義，會用定義求分段函數在分點處的導數。會用定義求分段函數在分點處的導數。(2)掌握微分概念和幾何意義以及微分和導掌握微分概念和幾何意義以及微分和導數的關系。數的關系。(3)熟記基本導數（微分）公式。熟記基本導數（微分）公式。(4)熟練運用各種求導熟練運用各種求導(微分微分)法則求初等函法則求初等函數的導數、微分。數的導數、微分。二、典型例題例1 設設)(xf2x, 32)(lim2xxfx求求 ).2(f 解解 因為因為 , 32)(lim2xxfx且且)(xf2x在在連續且連

9、續且在在連續連續，. 32)(lim2)2()(lim)2(22xxfxfxffxx于是于是 故故 當當2x 是是)(xf2x即即 故故 , 0)(lim2xfx. 0)2(f時時 ,的同階無窮小，的同階無窮小，),cos(22yxexyy.y解法解法1 方程兩邊同時對方程兩邊同時對x)21 ()sin(222yyyxeyyxyyy .)sin(22)sin(222yxyexyyxyyy故可解得故可解得例例4設方程設方程求求 求導，得求導，得 解法解法2 利用一階微分形式不變性，方程兩邊同利用一階微分形式不變性，方程兩邊同時求微分，得時求微分，得 d d )(2yexy).cos(2yx d d + d = (d d ), 2yxyx2yye)sin(2yx yx2yy例5 .y 設設 求求 ,)35)(1 ()23()3()2(3324222xxxxxy解解 ).35ln(31)1ln(3132xx.)35 ()1 ()23 () 3() 2(313312342322