1、主要內容（主要內容（1.5學時）學時）一、一、K階矩（重點）。階矩（重點）。 二、變異系數。二、變異系數。三、分位數（重點）。三、分位數（重點）。 四、中位數。四、中位數。五、偏度系數。五、偏度系數。 六、峰度系數。六、峰度系數。第七節第七節 （一維（一維X X）分布的其它特征數）分布的其它特征數多維：協方差（矩陣）、相關系數、混合矩等。多維：協方差（矩陣）、相關系數、混合矩等。一、一、K階矩（重點）階矩（重點）k() : ()kE XkkN 階階原原點點矩矩E(X),D(X)E(X),D(X)是是一一維維X X最最重重要要的的特特征征數數. .此此外外, ,還還有有其其它它特特征征數數. .

2、1 . kkE( X ), E( XE( X )( ),即即對對應應的的級級數數或或廣廣義義存存在在積積分分收收斂斂 k() : ()kkkNEXE X 階階中中心心矩矩說明：說明：12 X1k, k.kk( ).XX因因若若 的的 階階矩矩存存在在 則則低低于于 的的各各階階矩矩也也存存在在 212 3 ( )E(X ),E(XE(X )D(X ) 1 1、定義、定義2 2、中心矩與原點矩的關系、中心矩與原點矩的關系1k()()kkEXEEXX 10()kkikiiiEC X 10()kikikiiC 01101: (=10 ) 例例如如2222011211()2() 33321132 24

3、4431211463 注意：應用時，一般最多用到四階矩（偏度、峰度）注意：應用時，一般最多用到四階矩（偏度、峰度）k,.2 2k k例例1 1( (P P1 12 25 5- -例例7 7. .1 1) ) 設設隨隨機機變變量量X XN N( (0 0, ,) ), ,求求 2221k2: ()xkkxE Xedx 解解222ukku edu 22k, , (k=1,3,5,.)0ukku e 為為奇奇數數時時為為奇奇函函數數11222k02kkkzzedz 121222()kkk (1)(3).1 (k=2,4,6,.)kkk 2412340, , 0, : 3 前前四四階階原原點點矩矩 (

4、k=1,2,.)kk 二、變異系數二、變異系數()(, )().()D XXCXE XEXXX v v的的二二階階矩矩存存在在 稱稱比比值值為為 的的變變異異系系數數說明：說明：1 ) C)( Xv v無無量量綱綱, , 消消除除了了量量綱綱不不同同X X的的差差異異. .1 1、定義、定義背景背景：(1) 比較不同量綱隨機變量的波動幅度，方差并不合理；比較不同量綱隨機變量的波動幅度，方差并不合理；(2)相同量綱的隨機變量，比較波幅僅方差也不準確相同量綱的隨機變量，比較波幅僅方差也不準確(大大,小小)。2 ) C)( Xv v主主要要度度量量不不同同隨隨機機變變量量波波動動程程度度. .解解:

5、 D(X)D(Y)，并不表明，并不表明X的波幅比的波幅比Y大大(取值大小差異懸殊取值大小差異懸殊)。 例例2 2（P126-P126-例例7.27.2） X X表示某種同齡樹的高度表示某種同齡樹的高度( (單位：米單位：米) )，Y Y表示某年齡兒童的身高（單位：米）。比較隨機變量表示某年齡兒童的身高（單位：米）。比較隨機變量X X、Y Y的波的波幅大小。其中幅大小。其中E(X)=10E(X)=10，D(X)=1, E(Y)=1, D(Y)=0.04D(X)=1, E(Y)=1, D(Y)=0.04。()()()XCXE X v v110()0.04()(0.21)YCYE Y v v, ()

6、()YX.CXCYv vv v因因 此此的的 波波 幅幅 比比的的 波波 幅幅 大大三、分位數（重點）三、分位數（重點）()( ) ( ), ( ). ,pxppF xp x dXF xp xxxpp設設連連續續型型 的的分分布布函函數數為為密密度度函函數數對對任任意意的的p p ( (0 0, ,1 1) ), ,稱稱滿滿足足下下 分分位位數數條條件件 的的為為該該分分布布說明：說明：1 pppp( ),xF( xp).pxP( Xx )即即落落在在左左側側的的概概率率等等于于 時時的的 1 1、定義、定義背景背景：數理統計、計量經濟學、統計學中大量使用。：數理統計、計量經濟學、統計學中大量

7、使用。1 3 ppppxP Xx F( x )p( x)d( ).xpxp的的為為該該分分上上 分分位位數數布布 2 1pppP( Xx )(),xxpp.或或定定義義為為即即落落在在右右側側概概率率等等于于1 1- - 的的 2 2、分位數的互換與計算、分位數的互換與計算11 ppppxxxx上上下下側側分分位位數數互互換換: : 0.10.1, ()10.10.9P Xup 解解: :( (1 1) ) 令令2(0, 1), 0.1,0.05,0.01( , ),XNYNppp 例例3 3( (P P1 12 27 7- -例例7 7. .3 3) ) ( (1 1) )求求的的上上下下(

8、 (2 2) )求求上上分分數數. .下下位位分分位位數數. .0.11.29u 由由P P( (X X ) )= =0 0. .9 9, , 上上側側分分位位數數1 1. .2 29 9 0.051.645u由由P P( (X X 0: (1) (), ()0 xeXExpp x 解解其其它它0.510.5xe 0.50.5, .xy 2 2例例5 5( (P P1 12 28 8- -例例7 7. .4 4) ) X XE Ex xp p( ( ) ), ,Y YN N( ( , ,) ), ,求求中中位位數數0.50.500.5xxP Xxedx 0.5ln2 = x 2(2) YN(

9、,) ( )p yy 概概率率密密度度關關于于對對稱稱0.5 =()yE Y 0.5ln20.5128(0.5) = 1.39(min)PpxXEx通通話話時時間間五、偏度系數五、偏度系數3322333212()()() () ()XE XEE XEEXEXXXD 設設隨隨機機變變量量X X的的三三階階矩矩存存在在, ,則則稱稱下下值值為為X X的的偏偏度度系系數數, ,簡簡稱稱偏偏度度. .說明：說明：1(1) 偏偏度度實實際際上上為為 的的標標準準化化變變X X- -E E( (X X) )X XD D( (量量的的三三階階X X) )原原點點矩矩. .12(3) XN( ,), (p(x

10、)0E X =) ( ) 若若則則偏偏度度關關于于對對稱稱1(2) 刻刻畫畫X X分分布布偏偏度度的的對對稱稱性性. .1 3 33 3 0 0, ,即即= =E E 0 0, ,即即X X的的分分布布重重心心偏偏左左, ,見見P P1 1X X- -E E( (X X) )2 29 9- -a a. .11 = =0 0 0 0, ,X X的的分分布布關關于于E E( (X X) )對對稱稱. ., ,X X的的分分布布重重心心偏偏右右, ,見見P P1 12 29 9- -b b c c. .六、峰度系數六、峰度系數44422222() 333()() ()()XE XE XE XD XE

11、 XE XE 設設隨隨機機變變量量X X的的四四階階矩矩存存在在, ,則則稱稱下下值值為為X X的的峰峰度度系系數數, ,簡簡稱稱峰峰度度. .說明：說明：2(1) 峰峰度度實實際際上上為為 的的標標準準化化變變X X- -E E( (X X) )X XD D( (量量的的四四階階X X) )原原點點矩矩. .20 即即任任一一正正態態分分布布的的峰峰度度4422422(2) XN( ,),333 0 () 若若則則峰峰度度2 * *, ,即即X X標標準準化化的的分分布布比比標標準準正正態態分分布布更更平平坦坦, ,X X 00 高高峰峰度度. .122: ( , ), ()1.2, a bXU a bE X 解解 XU(a,b), YExp(),ZGa(,).2 2 例例6 6( (P P1 13 30 0- -例例7 7. .5 5) ) 隨隨機機變變量量考考察察其其峰峰度度系系數數 21.,2p( x)U, . 表表明明 若若某某隨隨機機變變量量則則呈呈的的形形其其2( ), ,6 .0YExp 表表明明指指數數分分布布比比正正態態分分布布更更陡陡峭峭12( , ). 26, ZGa 偏偏度度系系數數峰峰度度系系數數12( , ), .Ga 的的偏偏度度峰峰度度只只