1、1專題八 自選模塊2 3310020|()1.2.3.abcabcabcabcaxbc caxbcaxbcaxbc ccaxbcxaxbc xaxbc cababab ， ，當且僅當時，等號成立或；，型不等式的解法，一般用零三個正數的算術平均幾何平均不等式絕對值不等式的解法絕對值的三點分段討角不等式論法或數形結合法注意等號成立的條件 R312122222221212n1 1222121212()(bbb)()4.0nnnnnnnnaaabbbaaaa ba baaaa bbbbbbbR， ， ， ， ， ， ，則，當且僅當或時等柯西不等式號成立4 2221.1922212abcabcabcbc

2、caababbccabccaab 已知正數 ， ， 滿足求證【例1：；求的】最小值 ()12abc中分子、分母同除以，使分子變為常數，分母用基本不等式求最小值即可 可構造柯西不等式 此外可乘上分母之和 求得1.柯西不等式 5 1.111111111()3()()()32229.11.1111199abcbccaababcabcabcabcbacbacabbccab acabcbccabc aa bb ca cababc證明：因為所以，即6 222222222224.3 2(2)(2)22241.222313222abbccabccaabbccaababbccaabbccaabcbccaabab

3、bccaabcbccaab 由柯西不等式得，將，代入最得，當且僅當時，小值有7 柯西不等式應用的關鍵在于緊扣題意構造出兩組數，要求熟悉常見的構造方式；常規的不等式證明問題的方法技巧也要熟練運用 8 221.331(2011)121125.11126xyzxyzxyyzzxxyyzzx設正數 ， ， 滿足求的最大值；證明：【變式訓練】浙江自選9 2222222222224484477844222222115553515311.5xyzxyzxyxzyzzzxyxyxyxzyzxyxzyzxyyzzxxyzxyyzzx，因此，當且僅當最大值時等號成立為，即的10 22311() 3 1111113

4、1 1311() 5331 111131125()1115313111253()521112615xyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyz ，則有，又，則，當且僅當時等號成立11 222(2010)12222.111abcabcabcabbccamxxxmx R設正實數 ， ， 滿足，求的最小值；已知，解關【例2】浙的式江選于考不等 運用柯西不等式與基本不等式求最小值，絕對值不等式問題可用零點分段法進行分類討論去絕對值2.柯西不等式與絕對值不等式 12 22222223222()2(2 )(2 )2221.2211222231.ab

5、cabbccaabbccaabcabcabcabcabbccaabcabcabbcca根據柯西不等式有，所以當時，上述不等的最小式取等號值是所以13 11111122111111.122xmxmxxmxmxxmxmxxxmxmmmxxmmmmmmxxmx 原不等式等價于： 或，即 或 由得 或 或1411111.11)211)21111.11222mmmxxmmmmmmmmmmmxxx 當時由得或即或或綜上所述，解集為；當時，解集為，；當時，解集為，15 根據絕對值的定義去絕對值是解決絕對值問題的一般方法，要加強分類討論思想的運用在解不等式或證不等式的過程中，如含參數等問題，一般要對參數進行分

6、類討論，復習時，學生要學會分析引起分類討論的原因，合理的分類，做到不重不漏 16 12121212222121212().(2010)3162156f xabf af bxxxxf xf xxxSxyxyxxaybSabxxabf xf x已知函數的定義域為， ，且，對于定義域內的任意實數 ，都有設，當且僅當，時， 取得最小值，求 ，浙江模的值；在的條件下，證明：對任意 ， ，【變式訓練有擬】成立17 22222222112121221131612522261621.316221155.6551.6266.562xyxyxxyxyxxyxyxxyf xf xxxaSxxxxb 由柯西不等式得，

7、當且僅當時等號成立，即， 取得最小值證明：不妨設當時，顯故，然有；18 1212121212122112125655555.2636656xxf af bf xf xf xf af bf xf xf af xf bxaxbxabxxxxxabf xf x當時，因為，故故對任意 ， ，有成立19 2212112201123312.2323xyzxyxxyyyxyzxyyzzxxzxyz已知 ， ， 是正數，且，求的最小值；若， ，且，求證：【例3】 (1)中可通過分子分母同除以平方項將欲求式子的形式向已知式子的形式轉化，再考慮應用柯西不等式；基于同樣的思路，(2)中通過將欲求式子各項同乘分子實現

8、目標 3.綜合問題20 222222222241121221421()()121421112( 1)( 4) ()() 611214yxxxyyxyyxxyyxxyxy21221112( 14)61214212211411211414162yxxyxyyxyyxxxyxy，當且僅當時，即，22 2222221221122()(2)23232515.3(2)(2).2612xyxyxxyyyzxyxyyxyzyzxzxzyzxzxyzxxyyzzxxy所以當，即時，取等號又，達到最小值根據柯西不等式有，又時，2322222222232323232323.2322233.33.yzxxyzyzxy

9、xyzyzxzxxyzxyzxyzxyzxyyzzxxyyzzxxyz 所以、又所以2422333223232313(2 3)41(2 32 3)43.txyztyzxtxyztt令，則25 用基本不等式或柯西不等式求最值或證明不等式時，很多時候需要將所求式子進行轉化，使之盡量與已知式子接近，應該多積累有關轉化技巧 26 222*121212(2011 5) 10111111111.222nnnxyzxyzxyzyyzzxxnxxxxxxxxx N已知 ， ，且，求的最小值對于任意的， ， ， ， 均為非負實數，且，試證明【變式訓練】月學：軍中學模擬27 2222222222222222222

10、22221331111111 111111311112131xyzxyyzzxxyzxyzxyzxyzyyzzxxyyzzxxxyzxyzxyzyyzzxxxyzyyzzxx 因為，所以；由柯西不等式得，則，222133.1112xyzxyzyyzzxx 最小值且時，的為當僅當28 1112121211211111221211112112111122kkkkkknxxnkxxxxxxnkxxxxxxxx當時，有；假設當時命題成立，即時，有成立；則當時，時，成立，29111121121*121212111011111111211211112kkkkkkkkkknnnxxxxx xxxxxxxxxnknxxxxxxxxxN而，因此即對于