1、1第二章定常線性系統的穩定性2一、線性系統的擾動方程一、線性系統的擾動方程線性動力學系統方程的一般形式:任何系統的特解的穩定性均可通過擾動方程轉化為一新系統的零解的穩定性. 一般情況下特解是否穩定不僅取決于系統, 還取決于特解本身, 但對于線性系統(2), 有:1 引言(2)( )( )dttdtxAxD3代入 (2):引入(擾動):即任何特解的擾動方程都一樣.定理定理：線性系統(2)的任一特解是(漸近)穩定的當且僅當當且僅當系統的零解是(漸近)穩定的.(3)( )dtdtxAx設 為系統(2)的特解, 且 .( ) txu00( )txu( )( )( )tttyxu即:( )( )( )t

2、ttxyu( )( )( )dtdttdtdtxyu( )( )( )( )ttttAyuD( )( ) ( )dtttdtyAy4二、線性系統的穩定性特點二、線性系統的穩定性特點1. 線性系統的各特解的穩定性都一樣;2. 漸近穩定 全局漸近穩定(即原點的吸引區是全空間) .三、三、定常定常線性系統是可以理論求解的系統線性系統是可以理論求解的系統5對于單變量系統:dxaxdt有解:對于多變量系統:有解:exp ()ooxxa tt,()ijn ndadtxAxA00exp ()ttxAx6矩陣的指數函數矩陣的指數函數對于函數 , 有兩種等價的定義:xe231.2!3!xxxex 或:lim(1

3、)xnnxen同樣, 對 nn 矩陣 A , 有:其中 E 為恒等陣.23.2!3!eAAAEA或:1lim()nnenAEA且：()ttd eedtAAA7( )( )( )ttt xAxBu求解：方程改寫成：有：非齊次方程 的解：( )( )( )ttt xAxBu00()0( )( )tt ttteedAAxBux0()0( )tttteedAAxBu( )( )( )tttxAxBu兩邊乘以 ：teA( )( )( )tttetetetAAAxAxBu( )( )ttdetetdtAAxBu0( )( )otttttetedAAxBu例：有阻受迫線性振動系統st0 lxokmc)(tF

4、tFkxxcxmsin thxxxsin220 其中：20/ 2 ,/cmm k方程有特解：其中：sin()xBt2222204)(hB9方程的通解：-desin()sin()txAtBt22d0其中： A 和 由初始條件確定。顯然，方程的特解 是漸近穩定的。sin()xBt系統對應于任意初始條件的特解也是(漸近)穩定的。系統對應于任意初始條件的特解的擾動方程：0220 xxx 10一、二階系統的例子其鉛垂向下的靜平衡位置: =02 2 二階系統二階系統(a)例例1: 單擺鉛垂向下的靜止位置2gl222sin0ddt當擺作微幅擺動時, 有線性化方程:2220ddt (b)11二、二階線性系統的

5、穩定性二階系統:特征方程:特征根:12當 時, 方程 (1) 有通解:(1)1212ttxz ez ecc其中: cc 表示前面所有項的復共軛.2220d xdxabxdtdt220ab21,2aab 12討論：討論：(1) 如果: (相應于振動的大阻尼情況), 有:120零解漸近穩定;(2) 如果: , 有:120lim ( )0, lim ( )0ttx tx tlim( ), lim( )ttx tx t 零解不穩;(3) 如果: , 有:120lim( ), lim( )ttx tx t 零解不穩;13(4) 如果是一對實部為正的共軛復根( ), 有:20,aab2sinatxeAba

6、 t擾動解發散;(5) 如果是一對實部為負的共軛復根( ), 有:20,aab2sinatxeAba t零解漸近穩定;lim ( )0, lim ( )0ttx tx t(6) 如果是一對實部為零的純虛根( ), 有:0,0absinxAbt零解穩定但不漸穩;14(7) 如果是一對正的重實根( ), 有:20,aba12()atxcc t elim( ), lim( )ttx tx t 零解不穩;(8) 如果是一對負的重實根( ), 有:20,aba12()atxcc t e零解漸近穩定;lim ( )0, lim ( )0ttx tx t(9) 如果: ( ), 有:2100,0ab212a

7、txc eclim( ), lim( )ttx tx t 零解不穩;15212atxc ec(10) 如果: ( ), 有:1200,0ab零解穩定但不漸穩;(11) 如果： ( )，有:1200,0ab12xctc零解不穩;結論結論: :1. 如果兩個特征根均具負實部: 漸近穩定;2. 如果至少有一個特征根具正實部: 不穩定;3. 如果特征根是一對純虛根: 穩定;4. 如果特征根是一負根和一零根: 穩定;5. 如果特征根是二重零根: 不穩定.16線性系統的穩定性特點2. 線性系統的各特解的穩定性都一樣3. 漸近穩定 全局漸近穩定(即原點的吸引區是全空間)定常線性系統是可以理論求解的系統1.

8、任何特解的擾動方程都一樣173 3 相平面方法相平面方法為表示運動的幾何性質, 有三種方式: 一、運動圖一、運動圖 以時間 t 為橫軸, x 為縱軸畫圖. 適用于單自由度系統(二階系統).tx( )x to18對于二階系統的解：消去時間 t ：00( , ,)0f x x x xxx o00(,)x x ( ( ), ( )x tx t二、相圖0000( ;,)( ;,)xx t x xxx t x x19三、相-時圖相-時空間：( , , )t x x 0000( ;,)( ;,)xx t x xxx t x x運動： 為相-時空間中的一條曲線。xx ot00(,)x x ( ; , )t

9、x x 實際上相圖是相相-時曲線時曲線在相空間相空間上的投影。20性質：性質：不同的相曲線不相交。四、定常定常系統的相曲線11122212( ,)( ,)dxf x xdtdxfx xdt對于系統：相曲線的微分方程：22121112( ,)( ,)dxfx xdxf x x由解的存在惟一性定理可得.211. 1. 等傾線法等傾線法五、繪制相圖的一般方法11122212( ,)( ,)dxf x xdtdxfx xdt對于系統:相曲線的微分方程:22121112( ,)( ,)dxfx xdxf x xtan作函數 的等值線:212112( ,)( ,)fx xff x x相應得到:12,. 1

10、2,.fc c對于二階系統: 得等傾線方程:x.c=-1c=-1.2c=-1.4c=-1.6c=-1.8c=-2c=-2.5c=-3c=-4c=-6c=-11c=9c=4c=2c=1c=0.5c=0c=-0.2c=-0.4c=-1xABCDE0 xaxbx利用:dx dxdxxxdx dtdx改寫為:0dxxaxbxdxdxcdx令:bxxac 232. 2. 線性變換法線性變換法對于二階(二維)系統：dxaxbydtdycxdydt,dxxabdtAAdyycddt 或：作線性變換：,xTTy 1ddtTATJddt 24特征方程：2()0abadadbccd根據特征根情況討論。新系統的相曲

11、線易于確定原系統的相曲線可由新系統的相曲線經過旋轉和伸縮得到253. 定性方法4. 分區線性化方法僅適用分段線性或分區線性系統。利用線性系統的結果進行拼接。26二階系統相曲線的特點二階系統相曲線的特點:( , )0 xf x x利用:dx dxdxxxdx dtdx得等傾線方程:( , )dxf x xcdxx 相曲線的微分方程：( , )dxf x xdxx xx o系統狀態沿相軌跡的移動方向由相軌跡上的箭頭表示.相軌跡移動的方向相軌跡移動的方向:在相平面的上半平面, 系統狀態沿相軌跡由左向右運動.在下半平面, 系統狀態沿相軌跡由右向左運動.27六、相曲線的對稱性11122212( ,)(

12、,)dxf x xdtdxfx xdt對于系統：相曲線的微分方程：22121112( ,)( ,)dxfx xdxf x x3. 關于原點對稱:212212112112( ,)(,)( ,)(,)fx xfx xf x xfx x 212212112112( ,)( ,)( ,)( ,)fx xfxxf x xf xx 212212112112( ,)(,)( ,)(,)fx xfxxf x xfxx1. 關于 軸對稱:1x2. 關于 軸對稱:2x28例例: 二階系統二階系統 251212111222222121222212212222221212()( ,)()1 () (2 )( ,)()

13、1 () xxxxxf x xxxxxxxxxfx xxxxx212212112112( ,)(,)( ,)(,)fx xfxxf x xfxx相曲線關于原點對稱212212112112( ,)(,)( ,)(,)fx xfx xf x xfx x 212212112112( ,)( ,)( ,)( ,)fx xfxxf x xf xx 相曲線關于坐標軸非對稱29二階系統相曲線的微分方程：( , )dxf x xdxx 對稱性對稱性1. 關于 軸對稱:x ( , )( ,)f x xf xxxx 2. 關于 x 軸對稱:3. 關于原點對稱:( , )(,)f x xfxxxx 在 x 軸上,

14、除平衡點外相軌跡在 x 軸上的斜率為 . 所以, 除了奇點外, 相軌跡和 x 軸垂直相交.( , )(, )f x xfx xxx30例例: 彈簧-質量振子的自由振動 0mxkx即:0lst okmx2dxxdxx 2kmxx o彈簧-質量振子自由振動的相軌線關于x軸, 軸和原點均對稱.x 31例例: 單自由度保守系統 ( )0 xf x方程有首次積分(能量守恒):21( )2xf x dxE記:( )( )F xf x dx21( )2xF xE相軌線關于 x 軸對稱.xoy( )yF xxox 0E1E2E3E4E32例例: 單擺2sin02gl能量積分:o221(1 cos )2E33七

15、、二階線性系統的相圖(1) 穩定結點： 120 xx 20 xaxbx1212121 122ttttxc ec exc ec e1xx2xx34(2) 鞍點：120 xx 1212121 122ttttxc ec exc ec e1xx2xx35(3) 不穩定結點： 120 xx 1212121 122ttttxc ec exc ec e1xx2xx36(4) 不穩定焦點(一對實部為正的共軛復根)：20,aabxx 20 xaxbx2212(cossin)atxecba tcba t20 xaxbxx22x xbx xax 22240dxbxaxdt 37(5) 穩定焦點(一對實部為負的共軛復

16、根)：20,aabxx 20 xaxbx2212(cossin)atxecba tcba t20 xaxbxx22x xbx xax 22240dxbxaxdt 38(6) 中心(一對實部為零的純虛根)：0,0abxx 20 xaxbx12sincosxcbbtcbbt 12cossinxcbtcbt222212xbxb cc39(7) 退化不穩定結點( )：20,abaxx 20 xaxbx12atxcc t e212atxcacac t exax 40(8) 退化穩定結點( )：20,abaxx 20 xaxbx12atxcc t e212atxcacac t exax 41(9) 不穩定奇直線： ( )2100,0ab212atxc ecxx x 軸上所有