1、 31 參數(shù)估計(jì)與測(cè)量平差 一、數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題 總體（母體X：研究的隨機(jī)變量可能取值的全體。 個(gè)體：組成總體的每一個(gè)基本單位。 樣本x：從母體中隨機(jī)取出的幾個(gè)個(gè)體構(gòu)成一個(gè)樣本。 子樣容量（大小）：構(gòu)成子樣的個(gè)體數(shù)目。 抽樣：獲得子樣的過程。 統(tǒng)計(jì)量：由子樣構(gòu)成的函數(shù)，不含未知數(shù)。第三章第三章 最小二乘準(zhǔn)則最小二乘準(zhǔn)則 1、常用統(tǒng)計(jì)量： 2、常用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法 （1）參數(shù)估計(jì) （2）統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn) （3）回歸分析 （4）方差分析2122121)(11)(11xxnSxxnSxnxniiniinii子樣無偏方差：子樣方差：子樣均值：無限推斷母體構(gòu)成統(tǒng)計(jì)量有限獲得子樣限個(gè)抽樣數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題：通過

2、有nnxxxn,21 3、對(duì)抽樣的要求 a、代表性：要求子樣的各個(gè)分量xi與母體同分布。即 b、獨(dú)立性：要求xi互獨(dú)立。 二、參數(shù)估計(jì)問題二、參數(shù)估計(jì)問題 參數(shù)估計(jì)包括： a、點(diǎn)估計(jì)（定值估計(jì)） b、區(qū)間估計(jì) XDxDXExEii3-2 估計(jì)值的最優(yōu)性質(zhì)估計(jì)值的最優(yōu)性質(zhì) 點(diǎn)估計(jì)的幾種方法： 矩法、最大似然法、最小二乘法、中位數(shù)法、截尾法 用不同的方法對(duì)同樣的母體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，就會(huì)產(chǎn)生不同的估值。 最優(yōu)估值標(biāo)準(zhǔn)： （1）無偏 性 （2）一致性 （3）有效性 最優(yōu)估計(jì)應(yīng)具有性質(zhì)最優(yōu)估計(jì)應(yīng)具有性質(zhì)： 估計(jì)量 能在參數(shù)真值 附近擺動(dòng)，隨著子樣容量的增大，擺幅越來越小，n為 時(shí)， 依概率收斂于 。 一、

3、無偏性一、無偏性 的無偏估計(jì)。是則稱的估值，若滿足：是參數(shù)真值設(shè)E 的無偏估計(jì)？否是母體方差是估計(jì)？子樣方差是否是母體均值的無偏問：22xDsx 結(jié)論結(jié)論 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中 平差中 性質(zhì)2122121)(11)(11xxnsxxnsxnxniiniinii 122nVVsnVVsnLx 2222sEsEaxE無偏有偏無偏二、一致性二、一致性 n無限增大時(shí)估計(jì)量依概率收斂于 。為子樣容量。為概率，或或，有即對(duì)任意小的正數(shù)nPPPPnnn1lim0lim1lim 補(bǔ)充：嚴(yán)格一致性嚴(yán)格一致性 滿足嚴(yán)格一致性的估值一定滿足一致性。 例：證明子樣均值是母體期望的一致性估值。 的嚴(yán)格一致性估計(jì)。為則稱滿足：若估

4、值0limlim2EEDEnn 三、有效性三、有效性 有效。較則認(rèn)為估值若的無偏估計(jì)均為及定義：設(shè)212121DD 均無偏，不唯一如：中axEaxEaxEi 的方差最小，最有效。可見或而：中xxDnxDxDi22222 最小方差性：最小方差性： 插入：6-2 測(cè)量平差參數(shù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)測(cè)量平差參數(shù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) 一、 致性。是最優(yōu)估值。即滿足有效性又滿足一小方差），則該估計(jì)量（最，使若有一無偏估計(jì)量2minD具有無偏性參數(shù)估值x xxE 求證：最優(yōu)估值。性，又滿足有效性，是即滿足一致，則估值具有最小方差若能證具有有效性二、參數(shù)估值xDxxxx 三、 矩陣跡的性質(zhì)：矩陣跡的性質(zhì)：20202020）（）（

5、即證：的無偏估計(jì)是單位權(quán)方差tnPVVEET 均為方陣及為常數(shù)均為方陣及TTTTTABBAABtrBAtrkAtrkkAtrBAABBAtrABtrBtrAtrBAtrAtrAtr543213-3最小二乘準(zhǔn)則最小二乘準(zhǔn)則 一、最小二乘法 設(shè)有誤差方程： 在滿足約束： 下， 對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。 二、最大似然法lxAVmin2222112nniivvvv2,iiiLENL設(shè)觀測(cè)值： 有 似然函數(shù)：設(shè)為子樣聯(lián)合分布的密度函數(shù) 221222121122111nnnnnLLnnDLELELELLL PVVDLELDLELDGTLLnLLTLLn2exp2121exp21202121212 最大似然法基本思想：最大似然法基本思想： 最大似然法最大似然法：必須知道母體的分布 最小二乘法最小二乘法：可不知母體的分布 當(dāng)觀測(cè)值服從正態(tài)分布時(shí)，二者等價(jià)。為最或然值。，即此時(shí)最接近其真值達(dá)到最大時(shí)，參數(shù)估值數(shù)最大，所以，當(dāng)似然函誤差聯(lián)合出現(xiàn)的概率由偶然誤差特性知，小xxxG minminminmax11PVVVDVLELDLELGTLLTLLT或即要求 例：不一定是無偏的。并。所以，最大似然估值可近似看成很大時(shí)，當(dāng)不是無偏的，只有估值，而期