1、?線性代數?作業及參考答案1 單項選擇題1.設行列式=m，=n，那么行列式等于 A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.設矩陣A=，那么A-1等于 A. B. C. D. 3.設矩陣A=，A*是A的伴隨矩陣，那么A *中位于1，2的元素是 A. 6B. 6 C. 2D. 24.設A是方陣，如有矩陣關系式AB=AC，那么必有 A. A =0B. BC時A=0 C. A0時B=CD. |A|0時B=C5.3×4矩陣A的行向量組線性無關，那么秩AT等于 A. 1B. 2 C. 3D. 46.設兩個向量組1，2，s和1，2，s均線性相關，那么 A.有不全為0的數1，2，s

2、使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全為0的數1，2，s使11+1+22+2+ss+s=0 C.有不全為0的數1，2，s使11-1+22-2+ss-s=0 D.有不全為0的數1，2，s和不全為0的數1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.設矩陣A的秩為r，那么A中 A.所有r-1階子式都不為0B.所有r-1階子式全為0 C.至少有一個r階子式不等于0D.所有r階子式都不為08.設Ax=b是一非齊次線性方程組，1，2是其任意2個解，那么以下結論錯誤的選項是 A.1+2是Ax=0的一個解B.1+2是Ax=b的一個解 C.1-2是Ax=0的一個解D.21-2是Ax

3、=b的一個解9.設n階方陣A不可逆，那么必有 A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程組Ax=0只有零解10.設A是一個n(3)階方陣，以下陳述中正確的選項是 A.如存在數和向量使A=，那么是A的屬于特征值的特征向量 B.如存在數和非零向量，使(E-A)=0，那么是A的特征值 C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量 D.如1，2，3是A的3個互不相同的特征值，1，2，3依次是A的屬于1，2，3的特征向量，那么1，2，3有可能線性相關11.設0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于0的線性無關的特征向量的個數為k，那么必有 A. k3B. k<3 C. k=3D.

4、 k>312.設A是正交矩陣，那么以下結論錯誤的選項是 A.|A|2必為1B.|A|必為1 C.A-1=ATD.A的行列向量組是正交單位向量組13.設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CTAC.那么 A.A與B相似 B. A與B不等價 C. A與B有相同的特征值 D. A與B合同15.設有矩陣×，×，×，那么以下運算有意義的是。；。16.假設方陣與方陣等價，那么。秩秩；detdet；detdet；存在可逆矩陣，使。17.假設階方陣的行列式等于零，那么。中至少有一行是其余行的線性組合；中每一行都是其余行的線性組合；中必有一行是零行；的列向量組線性無關；18.

5、假設維向量組，線性無關，那么。組中增加一個向量后也線性無關；組中去掉一個向量后也線性無關；組中只有一個向量不能由其余向量線性表出；。19.假設方程組存在根底解系，那么等于。；。20.假設×矩陣的秩，那么方程組的根底解系所含向量個數等于。；。21.設為×矩陣，那么非齊次線性方程組有唯一解的充要條件是。方程組只有零解；的列向量組線性無關，而的列向量組線性相關；向量可由的列向量組線性表出；。22.det中項的系數是。；。2、 填空題1. .2.設A=，B=.那么A+2B= .3.設A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數余子式i,j=1,2,

6、3,那么(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .4.設向量2，-3，5與向量-4，6，a線性相關，那么a= .5.設A是3×4矩陣，其秩為3，假設1，2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，那么它的通解為 .6.設A是m×n矩陣，A的秩為r(<n)，那么齊次線性方程組Ax=0的一個根底解系中含有解的個數為 .7.設向量、的長度依次為2和3，那么向量+與-的內積+，-= .8.設3階矩陣A的行列式|A|=8，A有2個特征值-1和4，那么另一特征值為 .9.設矩

7、陣A=，=是它的一個特征向量，那么所對應的特征值為 .10.設實二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數為3，那么其標準形為 .11.假設向量組，線性相關，那么。12.設、均為階方陣，det，det，那么det。13.設，那么。14.設，為的伴隨矩陣，那么det。15.設，那么。16.元齊次線性方程組存在非零解的充要條件是。17.矩陣的秩等于。三計算題1.設A=，B=.求1ABT；2|4A|.2.試計算行列式.3.設矩陣A=，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.4.給定向量組1=，2=，3=，4=.試判斷4是否為1，2，3的線性組合；假設是，那么求出組合系數。5.設矩陣

8、A=.求：1秩A；2A的列向量組的一個最大線性無關組。6.設矩陣A=的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.7.試用配方法化以下二次型為標準形 f(x1,x2,x3)=，并寫出所用的滿秩線性變換。8.矩陣滿足：，求矩陣。9.計算10.假設向量組，的秩為，求的值。11.求以下向量組的一個最大無關組，并用最大無關組線性表出組中其余向量：，。 12.求以下方程組的通解：四、證明題1.設方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且E-A-1=E+A+A2.2.設0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，1，2是其導出組Ax=0的一個根底解系.試證明11=0+1，2=0+2均是

9、Ax=b的解； 20，1，2線性無關。3.設，是齊次線性方程組的根底解系。證明：，也是的根底解系。?線性代數?作業參考答案一、單項選擇題1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D 15.C16.A 17.A 18.B 19.D 20.C 21.B 22.A二填空題1. 62. 3. 44. 105. 1+c(2-1)或2+c(2-1)，c為任意常數6. n-r7. 58. 29. 110. 11. 12. 、均為階方陣，13. 14. 15. 16. 秩17. 23 計算題1.解1ABT=.2|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|

10、=64·-2=-1282.解 =3.解 AB=A+2B即A-2EB=A，而A-2E-1=所以 B=(A-2E)-1A=4.解一 所以4=21+2+3，組合系數為2，1，1.解二 考慮4=x11+x22+x33，即 方程組有唯一解2，1，1T，組合系數為2，1，1.5.解 對矩陣A施行初等行變換A=B.1秩B=3，所以秩A=秩B=3.2由于A與B的列向量組有相同的線性關系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關組。A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是6.解 A的屬于特征值=1的2個線性無關

11、的特征向量為1=2，-1，0T， 2=2，0，1T.經正交標準化，得1=，2=.=-8的一個特征向量為3=，經單位化得3=所求正交矩陣為 T=.對角矩陣 D=也可取T=.7.解 f(x1，x2，x3)=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.設， 即，因其系數矩陣C=可逆，故此線性變換滿秩。經此變換即得f(x1，x2，x3)的標準形 y12-2y22-5y32 .8.解：。9.解：。10.向量組，的秩為。11.解：用，為列向量作矩陣， 2 3 4中非零行的首非零元位于第，列，所以，是向量組，的一個最大無關組。在中，有32，所以，在中有。12.解：，非齊次通解為，任意，令，得非齊次特解：，。導出組的通解為，任意，一個根底解系為：，非齊次結構解為：，其中，為任意數。四、證明題1.證 由于E-AE+A+A2=E-A3=E，所以E-A可逆，且E-A-1= E+A+A2 .2.證 由假設A0=b，A1=0，A2=0.1A1=A0+1=A0+A1=b，同理A2= b，所以1，2是Ax=b的2個解。2考慮l00+l11+l22