1、.16.6.全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式解：B=AB+B且AB與B互不相容。P(B)=P(AB+B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.70.95+0.30.8=0.905P ABP A BP B()(|)( )P A P B AP A P B AP A P B A( ) (|)( ) (|)( ) (|)0 7 0 950 7 0 950 3 0 8.0 735.例1 市場上供應的燈泡中，甲廠產品占70，乙廠占30，甲廠產品的合格率是95，乙廠的合格率是80若用事件A，分別表示甲、乙兩廠的產品，B表示產品為合格品。求市場上買一個燈泡的合格率，及

2、買到合格燈泡是甲廠生產的概率。.2定理1 (全概率公式)若事件A1,A2,構成一個完備事件組并且都具有正概率，則對任何一個事件B,有iiiP BP A P B A( )() (|)證：A1,A2,兩兩互斥，故A1B,A2B,兩兩互斥BB且iiBA()iiA B由加法法則iiP BP A B( )()再由乘法法則iiiP A BP A P B A()() (|)iiiP BP A P B A( )() (|)故.3定理2 (貝葉斯公式)若事件A1,A2,構成一個完備事件組，且都具有正概率，則對任何一個概率不為零的事件B,有mmmiiiP AP B AP A |BP A P B A() (|)()

3、() (|)mmP A BP ABP B證：()(|)( )mmiiiP AP B AP A P B A() (|)() (|)各原因下條件概率已知 求事件發生概率求是某種原因造成得概率 事件已發生全概率貝葉斯.4例2 設5支槍中有2支未經試射校正，3支已校正。一射手用校正過的槍射擊，中靶率為0.9，用未校正過的槍射擊，中靶率為0.4。(1)該射手任取一支槍射擊，中靶的概率是多少？(2)若任取一支槍射擊，結果未中靶，求該槍未校正的概率。解：設A表示槍已校正，B表示射擊中靶3P A5( ),則2P A5( ) P B A0 9(|).P B A0 1(|).P B A0 4(|).P B A0

4、6(|).1 P BP A P B AP A P B A( ) ( )( ) (|)( ) (|)320 90 455.0 7 .P A P B A2 P A BP A P B AP A P B A( ) (|)( ) (|)( ) (|)( ) (|)20 65230 60 155.0 8 .5例3 有三個同樣的箱子，A箱中有4個黑球1個白球，B箱中有3個黑球3個白球，C箱中有3個黑球5個白球?，F任取一箱，再從中任取一球，求(1)此球是白球的概率(2)若取出的是白球，求它取自B箱的概率。解：用A、B、C表示A、B、C三個箱子取球用D表示取出的是白球。則A、B、C是完備事件組。1P AP BP

5、 C3( )( )( )且115P D AP D BP D C528(|)(|)(|).61 P DP A P D AP B P D BP C P D C( ) ( )( ) (|)( ) (|)( ) (|)111115353238531200 442.P B P D B2 P B DP A P D AP B P D BP C P D C( ) (|)( ) (|)( ) (|)( ) (|)( ) (|)113211111535323820530 378.74P A0 410( ).例4 (抽簽的公正性)設10支簽中有4支難簽。甲、乙、丙依次不放回的抽取。求各人抽到難簽的概率。解：分別用A

6、、B、C表示甲、乙、丙抽到難簽。P BP A P B AP A P B A( )( ) (|)( ) (|)436410910936900 4 .P CP AB P C ABP AB P C ABP AB P C ABP AB P C AB( )() (|)() (|)() (|)() (|)P A P B A P C ABP A P B A P C ABP A P B A P C ABP A P B A P C AB( ) (|) (|)( ) (|) (|)( ) (|) (|)( ) (|) (|)432463643643654109810981098109810982887200 4

7、.8例5 設驗血診斷某種疾病的誤診率僅為5，即若用A表示驗血陽性，B表示受驗者患病，則P A BP A B5(|)(|)%。若受檢人群中僅有0.5患此病，即P(B)=0.005。求一個驗血陽性的人確患此病的概率。P B P A BP B AP B P A BP B P A B解：( ) (|)(|)( ) (|)( ) (|)0 005 0 950 005 0 950 995 0 05.0 087.若有10000人受檢，患病者僅50人，其中驗血陽性約47.5人而9950健康人中，驗血陽性者為99500.05497.5人.97 7 獨立試驗概型獨立試驗概型(一一)事件的獨立性事件的獨立性故若A獨

8、立于B，則B也獨立于A,稱事件A與事件B相互獨立。P AP A B( )(|)若P ABP B()( )P ABP BP A()( )( )則P B A(|)關于獨立性有如下性質：定義1 若事件發生的可能性不受事件B發生與否的影響，即P(A|B)=P(A),則稱事件A獨立于事件B。定義2 若n (n2)個事件A1,An中任何一個事件發生的可能性都不受其它一個或幾個事件發生與否的影響，稱A1,A2,An相互獨立。.10(1)事件A與B獨立的充分必要條件是P(AB)=P(A)P(B)證：必要性若A與B中有一個事件概率為零，結論成立。設A與B的概率都不為零，由獨立性P(B|A)=P(B)而由乘法法則

9、可得P(AB)=P(A)P(B|A) =P(A)P(B)充分性設P(B)0,則P ABP A BP B()(|)( )P A P BP B( ) ( )( )=P(A)即A與B獨立。.11(2)若事件A與B獨立，則A與B， A與B， A與B中的每一對事件都相互獨立。證：P ABP AAB()()P AP AB( )()P A P B( ) ( )類似可證其它兩對事件獨立。=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B)由(1)可知，A與B獨立。.12(3)若事件A1,A2,An相互獨立，則有P(A1An)=P(A1)P(An)證：P(A1An)P(A1)P(A2|A1)P(An|A1An-

10、1)12n1n1n4A AAP AA1P AP A若事件相互獨立，則有( ),.,(.)(). ()而P(A2|A1)=P(A2),P(An|A1An-1)=P(An)故P(A1An)P(A1)P(A2)P(An)n1n1由于A ,.，A 對立， A ,.證, A：也對立1nnP AA1(.)1P(A +.+A )1n1P AA(.) 1n1 P AP A(). () .13例1 設甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標，他們擊中目標的概率分別為0.9和0.8。求一次射擊中，目標被擊中的概率。解：分別用A,B表示甲、乙擊中目標。目標被擊中，即至少有一人擊中，即A+BA與B獨立。故P(A+B)=P(A)

11、+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.90.8=0.98或由性質(4)=0.98P AB1P A P B()( ) ( ) =1-0.10.2.14例2 一名士兵用步槍射擊飛機，命中率為0.004。求：(1)若250名士兵同時射擊，飛機被擊中的概率。(2)多少名士兵同時射擊，才能使飛機被擊中的概率達到99？解：用Ai表示第i名士兵擊中飛機，P(Ai)0.004125012501 P AA1P AP A( ) (.)(). () 2501 0 996. 0 63.2n( )設要 名士兵同時射擊1n1nP AA1P AP A(.)(). ()n1 0 9

12、96. 0.99即0.996n0.010 01n0 996lg .lg .故1150.15例3 甲、乙、丙3部機床獨立工作，由一個工人照管，某段時間內它們不需要工人照管的概率分別為0.9，0.8及0.85。求在這段時間內有機床需要工人照管的概率以及機床因無人照管而停工的概率。解：用A、B、C分別表示在這段時間內機床甲、乙、丙不需要照管。則A、B、C相互獨立，且P(A)=0.9P(B)=0.8P(C)=0.85P ABC()P ABC()1 P ABC() 1P A P B P C( ) ( ) ( ) 10 9 0 8 0 85. 0 388.P ABBCAC()P ABP BCP AC2P

13、ABC()()()()0 1 0 20 2 0 150 1 0 152 0 1 0 2 0 15. 0 059.16例4 圖中開關a、b、c開或關的概率都是0.5，且各開關是否關閉相互獨立。求燈亮的概率以及若已見燈亮，開關a與b同時關閉的概率。解：令A、B、C分別表示開關a、b、c關閉，D表示燈亮P(D)=P(AB+C)=P(AB)+P(C)-P(ABC)=P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C)=0.50.5+0.5-0.50.50.5=0.625ABD,由于ABD=ABP ABDP AB DP D()(|)( )P ABP D()( )0 5 0 50 625.=0.4abc.

14、17例5 甲、乙、丙三人獨立射擊一個目標，命中率分別為0.4，0.5，0.7，若只有一人擊中，目標被摧毀的概率是0.2，若二人擊中，則目標被摧毀的概率是0.6，若三人都擊中，目標一定被摧毀。若目標被摧毀，求它是一人摧毀的概率。解：用Ai表示有i個人擊中目標，i=0,1,2,3用B表示目標被摧毀。P(B|A0)=0P(B|A1)=0.2P(B|A2)=0.6P(B|A3)=1P(A0)=0.60.50.3=0.09P(A1)=0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7=0.36P(A2)=0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7=0.41P(A3)=0.40.5

15、0.7 =0.143iii0P BP A P B A( )() (|)0.458.18(二二)獨立試驗序列概型獨立試驗序列概型進行n次試驗，若任何一次試驗中各結果發生的可能性都不受其它各次試驗結果發生情況的影響，則稱這n次試驗是相互獨立的。在同樣條件下重復進行試驗的數學模型稱為獨立試驗序列概型。若在每次試驗中只關心某事件A發生或不發生，且每次試驗結果與其它各次試驗結果無關，即在每次試驗中事件A發生的概率都是p(0p1)。這樣的n次重復試驗稱為n重貝努里試驗。.19例6 一批產品的廢品率為p,(0p1)重復抽取n次，求有k次取到廢品的概率。解：設所求事件的概率為P(B),事件B由下列m個互不相容

16、的事件組成：B1=(廢，廢，正，正)B2=(廢，廢，正，廢，正，正)Bm=(正，正，廢，廢)P(B1)=P(B2)=P(Bm)=pk(1-p)n-kknmC ,而故mkkn ki1ni 1P BP BmP BC P 1 P( )()()().20一般地，有如下的定理：解：設B表示至少有兩件一級品1010k 2P BPk( )( )1-P10(0)-P10(1)1019101 0 4C0 6 0 4. 0 998.nkkn knn1AppnkP (k)P kC p qk0 1nq1 p 定理貝努里定理 設一次試驗中事件 發生的概率為 ，(0 1),則 重貝努里試驗中，事件A恰好發生次的概率為其中

17、()( ),(, ,., )例7 一條自動生產線上產品的一級品率為0.6，現在檢查了10件，求至少有兩件一級品的概率。.21例8 某藥物對某病的治愈率為0.8，求10位服藥的病人中至少有6人治愈的概率。解：設A表示至少有6人治愈。1010k 6P APk( )( )P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)664773882991010101010C 0 8 0 2C 0 8 0 2C 0 8 0 2C 0 8 0 20 8.0 97.而正好有8人治愈的概率為8821010P8C 0 8 0 2( ).=0.302.22例9 在四次獨立試驗中，A至少出現一次的概率為

18、0.59，求A至多出現一次的概率。解：設在一次試驗中A出現的概率為p則A至少出現一次的概率為4444k 1P k1 P 011 p0 59( )( )(). 故(1-p)4=0.411-p=0.8p=0.2A至多出現一次的概率為：P4(0)+P4(1)41341pC p 1p()()=0.8241340 8C0 2 0 8.23例10 (分賭注問題)甲、乙各下注a元，以猜硬幣方式賭博，五局三勝，勝者獲得全部賭注。若甲贏得第一局后，賭博被迫中止，賭注該如何分？解法一：12每局雙方獲勝的可能性均為 。應按照比賽雙方最終獲勝的可能性分賭注。即在余下的四局中甲贏得2局以上即可。甲最終獲勝的概率為P4(2)+P4(3)+P4(4)2234234411111CC22222 1116516乙勝的概率為，賭注應按11：5的比例分配。.24解法二：一般情況下不必比到第五局，有一方贏得三局即中止。甲方在第三局結束賭博獲得勝利的概率為231P B2()14甲方在第四局結束賭博獲勝的概率為142111P BC222()14甲方在第五局結束賭博獲勝的概率為21531 11P BC2 22()3