1、13.2.2 3.2.2 共焦腔共焦腔中的行波場(chǎng)與腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布中的行波場(chǎng)與腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布 一、方形鏡對(duì)稱共焦腔的行波場(chǎng)一、方形鏡對(duì)稱共焦腔的行波場(chǎng) 厄米厄米-1、推導(dǎo)方法、推導(dǎo)方法菲涅耳菲涅耳基爾霍夫衍射積分公式基爾霍夫衍射積分公式腔內(nèi)、外任一點(diǎn)的場(chǎng)腔內(nèi)、外任一點(diǎn)的場(chǎng)鏡面上的場(chǎng)鏡面上的場(chǎng)2 2、腔中的場(chǎng)分布、腔中的場(chǎng)分布是由腔的一個(gè)鏡面是由腔的一個(gè)鏡面M1上的場(chǎng)產(chǎn)生，并沿上的場(chǎng)產(chǎn)生，并沿著腔的軸線而傳播的行波場(chǎng)。著腔的軸線而傳播的行波場(chǎng)。Lz2定義得得共焦腔內(nèi)或腔外的一點(diǎn)的行波場(chǎng)的解析式：共焦腔內(nèi)或腔外的一點(diǎn)的行波場(chǎng)的解析式：zyxiwyxywHxwHCzyxussnsmmnmn,exp

2、12exp 212212,222222圖3-7 計(jì)算腔內(nèi)外光場(chǎng)分布的示意圖TEMmn模在腔內(nèi)任意點(diǎn)模在腔內(nèi)任意點(diǎn)(x,y,z)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。其處的電場(chǎng)強(qiáng)度。其中中, ,實(shí)部代表振幅實(shí)部代表振幅, ,虛部代表相位虛部代表相位2222( , , )(1)(1)()212Lxyx y zkmnL1212LzarctgarctgLzzyxiwyxywHxwHCzyxussnsmmnmn,exp12exp 212212,222222描述了波陣面上的相位分描述了波陣面上的相位分布，稱為相位因子布，稱為相位因子（1）Hm ，Hn m 階、階、n階厄米多項(xiàng)式階厄米多項(xiàng)式,確定了場(chǎng)在確定了場(chǎng)在x、 y方向的大小

3、及節(jié)線數(shù)目方向的大小及節(jié)線數(shù)目 Hm : 有有m個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn), x方向有方向有m條節(jié)線條節(jié)線; Hn : 有有n個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn), y方向有方向有n條節(jié)線條節(jié)線. (2) 高斯函數(shù)高斯函數(shù), 隨隨 增大而變小增大而變小, 確定了確定了場(chǎng)的收斂性場(chǎng)的收斂性(集中于集中于z軸附近軸附近).12exp2222syx22yxr 3 考慮到鏡的適當(dāng)透過率后，考慮到鏡的適當(dāng)透過率后，umn(x, y, z )也適用于腔外的場(chǎng)。也適用于腔外的場(chǎng)。3 3、腔外的場(chǎng)分布、腔外的場(chǎng)分布43.3 3.3 高斯光束的高亮度高斯光束的高亮度回顧回顧 求解對(duì)稱開腔中的自再現(xiàn)模積分方程求解對(duì)稱開腔中的自再現(xiàn)模積分方程, ,了解

4、輸了解輸 出激光的具體場(chǎng)的分布出激光的具體場(chǎng)的分布前瞻前瞻 研究高斯光束的傳播特性研究高斯光束的傳播特性53.3.1 3.3.1 高斯光束的振幅和強(qiáng)度分布高斯光束的振幅和強(qiáng)度分布一、共焦腔內(nèi)或腔外的一點(diǎn)的行波場(chǎng)的解析式：一、共焦腔內(nèi)或腔外的一點(diǎn)的行波場(chǎng)的解析式：zyxiwyxywHxwHCzyxussnsmmnmn,exp12exp212212,22222222222212exp212212ssnsmwyxywHxwH1 ： 行波場(chǎng)橫向振幅分布因子行波場(chǎng)橫向振幅分布因子zyxi,exp2 ：位相因子，決定了共焦腔的位相分布位相因子，決定了共焦腔的位相分布)2)(1()(1)1 (2,222nm

5、LyxLkzyx6zyxiwyxywHxwHCzyxussnsmmnmn,exp12exp212212,222222二、振幅分布和光斑尺寸二、振幅分布和光斑尺寸1 1、振幅分布、振幅分布對(duì)基橫模對(duì)基橫模TEM0022220012expsmnyxCU基模截面是高斯函數(shù)基模截面是高斯函數(shù)基橫模基橫模TEM00的光強(qiáng)的光強(qiáng)222222000014expsmnyxCUI2 2、光斑尺寸振幅下降為最大值、光斑尺寸振幅下降為最大值1/e1/e時(shí)的光斑半徑時(shí)的光斑半徑22241212)(Lzzss7LyxLzzsssss2222241212)()2(1 2)(2LzLz當(dāng)當(dāng) z=0 z=0 時(shí)，時(shí)， 達(dá)到最

6、小值達(dá)到最小值 zLs21210高斯光束的基模腰斑半徑高斯光束的基模腰斑半徑( (腰粗腰粗) )當(dāng)當(dāng) 時(shí)，即在鏡面上時(shí)，有：時(shí)，即在鏡面上時(shí)，有：2Lfz Lz02 3 3、 在縱截面上的表達(dá)式在縱截面上的表達(dá)式)(z 1)()(1)(2121)2(1 2)(2202202220002zzzLLzLzs雙曲線方程雙曲線方程81)(2202202z光斑半徑隨光斑半徑隨z z按照雙曲線規(guī)律變化。按照雙曲線規(guī)律變化。9 三、 模體積模體積1 1、定義：描述某一腔模在腔、定義：描述某一腔模在腔內(nèi)擴(kuò)展的空間體積。內(nèi)擴(kuò)展的空間體積。2 2、意義：模體積大。對(duì)激活、意義：模體積大。對(duì)激活介質(zhì)能量的提取就大，

7、對(duì)模介質(zhì)能量的提取就大，對(duì)模式振蕩作貢獻(xiàn)的粒子數(shù)越多，式振蕩作貢獻(xiàn)的粒子數(shù)越多，就有可能獲得大的輸出功率。就有可能獲得大的輸出功率。決定一個(gè)模式能否振蕩，能決定一個(gè)模式能否振蕩，能獲得多大的輸出功率，與其獲得多大的輸出功率，與其它模式的競(jìng)爭(zhēng)情況等。它模式的競(jìng)爭(zhēng)情況等。3 3、對(duì)稱共焦腔基模的模體、對(duì)稱共焦腔基模的模體積：看成底半徑為積：看成底半徑為0 0，高，高為為L L的圓柱體。的圓柱體。221220000LLVs圖(3-8) 基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律的變化00020 1212 21212 21 VnmLnmLVnsmsmn）（）（）（）（高階模：10例例: 腔長L=1m ,放電管直徑為

8、2d=2cm的共焦腔CO2 激光器(=10.6m)、其激活介質(zhì)的體積V=314cm3，而基摸體積為320003 . 521cmLV%7 . 1000VV 共焦腔基摸體積往往比整個(gè)激活介質(zhì)的體積小很多，這對(duì)獲取高功率的基模輸出是不利的。 模體積的概念在激光振蕩及腔體積設(shè)計(jì)中都具有重要的意義。定性的說，某一模式的模體積描述該模式在腔內(nèi)所擴(kuò)展的空間范圍，某一模式的體積大,對(duì)該模式的振蕩有貢獻(xiàn)的激發(fā)態(tài)粒子數(shù)就多,輸出功率就大;某一模式的體積小,對(duì)該模式的振蕩有貢獻(xiàn)的激發(fā)態(tài)粒子數(shù)就少,輸出功率就小。一種模式能否產(chǎn)生振蕩，能獲得多大的輸出功率，它與其他模式的競(jìng)爭(zhēng)能力如何，這些不僅取決于該模式損耗的高低，也

9、與模體積的大小有密切的關(guān)系。113.3.2 3.3.2 高斯光束的相位分布高斯光束的相位分布zyxiwyxywHxwHCzyxussnsmmnmn,exp12exp 212212,222222)2)(1()2(12)21 (2),(222nmLyxLzLzLzLkzyx1、與腔軸線相交于、與腔軸線相交于z0的等相位面的方程的等相位面的方程0, 0 , 0,zzyx121、與腔軸線相交于、與腔軸線相交于z0的等相位面的方程的等相位面的方程0, 0 , 0,zzyx), 0 , 0()2)(1()2(12)21 (2),(0222znmLyxLzLzLzLkzyx 0022222122212212

10、zLzLkzLyxLzLzLzLk忽略附加相移因子，忽略附加相移因子， 在近軸情況下，在近軸情況下，z z0 0點(diǎn)的等相位面方程為：點(diǎn)的等相位面方程為：2202221zxyLzzLzL 0222222000221212zxyxyLLzLzLz 旋轉(zhuǎn)拋物面方程旋轉(zhuǎn)拋物面方程0200202241zfzLf拋物面焦距：拋物面焦距：可以證明，在近軸情況下，共焦場(chǎng)的在可以證明，在近軸情況下，共焦場(chǎng)的在z z處的等相位面近似處的等相位面近似為球面，其曲率半徑為：為球面，其曲率半徑為：)2(1 2000zLzR代入13則有： 02220020220022012RyxRRRyxRRyxzz2002220Rzz

11、yxR等位相面在近軸區(qū)域可看成半徑為R0的球面14NoImage共焦腔的反射鏡面是共焦腔的反射鏡面是兩個(gè)等相位面兩個(gè)等相位面，與場(chǎng)，與場(chǎng)的兩個(gè)等相位面重合的兩個(gè)等相位面重合，且曲率半徑最小，且曲率半徑最小腔中點(diǎn)或距腔中點(diǎn)無限腔中點(diǎn)或距腔中點(diǎn)無限遠(yuǎn)處，等相面為平面遠(yuǎn)處，等相面為平面)z(R0)z(R0當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)，00z0zLzR)(0當(dāng) 時(shí)，fz02202221zxyLzzLzL 0222222000221212zxyxyLLzLzLz 二.討論)2(1 2000zLzR15一般情況下，共焦腔的等相面凹面向著腔的中心的球面一般情況下，共焦腔的等相面凹面向著腔的中心的球面 )(2220zRy

12、xzz當(dāng) 時(shí)， 00z0)(zR當(dāng) 時(shí)，0)(zR00z00z00 zz0)(0zR00z00 zz0)(0zRNoImage注：高斯光束等相面的曲率中心并不是一個(gè)固定點(diǎn)，它要注：高斯光束等相面的曲率中心并不是一個(gè)固定點(diǎn)，它要隨著光束的傳播而移動(dòng)。隨著光束的傳播而移動(dòng)。)2(1 2000zLzR16三三.共焦場(chǎng)的等相位面的分布圖共焦場(chǎng)的等相位面的分布圖 可以證明,共焦腔反射鏡面是共焦場(chǎng)中曲率最大的等相位面,顯然,如果在場(chǎng)的任意一個(gè)等相位面處放上一塊具有相應(yīng)曲率的反射鏡片,則入射在該鏡片上的場(chǎng)將準(zhǔn)確地沿著原入射方向返回,這樣共焦場(chǎng)分布將不會(huì)受到擾動(dòng).這是非常重要的性質(zhì).在z 0 處,光束是沿著z

13、的方向傳播 的會(huì)聚球面波;在z = 0處變成一個(gè)平面波;在 z0處又變成發(fā)散球面波,球面波的曲率中心隨z而變化。17 在等相位面處放置一個(gè)具有相應(yīng)曲率的反射鏡片，在等相位面處放置一個(gè)具有相應(yīng)曲率的反射鏡片， 不影響共焦腔的場(chǎng)分布。用于研究一般穩(wěn)定球面鏡腔的性質(zhì)。不影響共焦腔的場(chǎng)分布。用于研究一般穩(wěn)定球面鏡腔的性質(zhì)。共焦場(chǎng)等相面的分布共焦場(chǎng)等相面的分布 183.3.3 3.3.3 高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角圖(3-8) 基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律的變化一、定義：一、定義：2基模遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角基模遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角 ：雙曲線兩根漸近線之間的夾角：雙曲線兩根漸近線之間的夾角：2200)(1)()

14、(2lim2zzzzz02222L高階模的發(fā)散角隨階次的增大而增大，方向性變差！高階模的發(fā)散角隨階次的增大而增大，方向性變差！1902222L該式是定義在光束有效截面半徑處(即基模強(qiáng)度 的處)的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角.因此,高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角完全取決于其腰粗半徑.21e不同的腰半徑的激光光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角對(duì)比圖不同的腰半徑的激光光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角對(duì)比圖20radf3103 . 222m638. 0例：例：某共焦腔氦氖激光器，某共焦腔氦氖激光器，L=30cm, L=30cm, 某共焦腔二氧化碳激光器，某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m, L=1m, m6 .10rad3102 . 52 一般激光器的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角

15、都很小，約為一般激光器的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角都很小，約為10103 3弧度，也就是表弧度，也就是表明激光具有很好的方向性。明激光具有很好的方向性。高階橫模的光束發(fā)散角高階橫模的光束發(fā)散角 和和 可以通過基模的光斑可以通過基模的光斑和發(fā)散角求出來：和發(fā)散角求出來：mn002 1222 122nmnm為基模光束的發(fā)散角02由于高階模的發(fā)散角是隨著模的階次的增大而增大，所以多模振蕩時(shí)，光束的方向性要比單基模振蕩差。 21由 可知,鏡面上的光斑尺寸,基模體積和遠(yuǎn) 發(fā)散角等高斯光束的參數(shù)都可以通過 基模腰斑半徑(“腰粗”)0來表征,故 “腰粗”是高斯光束的一個(gè)特征參數(shù).02000000222LVs計(jì)算表明： 內(nèi)含

16、內(nèi)含86.5%的光束總功率的光束總功率 222二、從相干性的角度來討論激光束的基本特性。二、從相干性的角度來討論激光束的基本特性。 1. 1.光束方向性的描述光束方向性的描述: : 可用發(fā)散角或立體角表征可用發(fā)散角或立體角表征其中其中 的單位的單位: : 球弧度球弧度( (sr), sr), 的單位的單位: : 弧度弧度( (rad)rad)222)( rr 2. 2.空間相干性與方向性的關(guān)系空間相干性與方向性的關(guān)系: :據(jù)空間相干性的條件知據(jù)空間相干性的條件知 , ,當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,光束有明顯的相干性光束有明顯的相干性( (l為擴(kuò)展光源的線度為擴(kuò)展光源的線度);); 故故 當(dāng)當(dāng) =0=0(

17、(即即=0)=0)時(shí)時(shí), , 理想平面波理想平面波, , 完全空間相干。完全空間相干。 可見可見: : ( (或或)越小越小, , 方向性越好方向性越好, , 則空間相干性也越好。則空間相干性也越好。l 3. 3.數(shù)值例數(shù)值例: : 一些光源的方向性一些光源的方向性 oRSr23 光源光源 (rad ) (sr) 普通光源普通光源 0.11 10-2 固體激光器固體激光器 10-2 10-4 一般氣體激光器一般氣體激光器 10-3 10-6 He-Ne激光器激光器( (氣氣) ) 10-4 10-8 可見可見: : 激光方向性遠(yuǎn)優(yōu)于普通光源激光方向性遠(yuǎn)優(yōu)于普通光源 * *( (氣體激光器方向性

18、好的主要原因有兩個(gè)氣體激光器方向性好的主要原因有兩個(gè), , 一是光一是光學(xué)諧振腔較長學(xué)諧振腔較長, , 使離軸光線偏折出腔外使離軸光線偏折出腔外; ; 二是氣體工作物二是氣體工作物質(zhì)均勻性好質(zhì)均勻性好, , 不易產(chǎn)生散射等偏折。不易產(chǎn)生散射等偏折。) )24一. 亮度B:單位面積的發(fā)光面在其法線方向上單位立體角范圍內(nèi)輸出去的輻射功率。 二.一般的激光器是向著數(shù)量級(jí)約為106 sr的立體角范圍內(nèi)輸出激光光束的。而普通光源發(fā)光(如電燈光)是朝向空間各個(gè)可能的方向的，它的發(fā)光立體角為4sr。相比之下，普通光源的發(fā)光立體角是激光的約百萬倍。 SIB3.3.4 3.3.4 高斯光束的高亮度高斯光束的高亮

19、度222)(RR25數(shù)值例數(shù)值例: 器件器件 輻射能量輻射能量 脈沖時(shí)間脈沖時(shí)間 P普通紅寶石激光器普通紅寶石激光器 1J 10-4s 104W調(diào)調(diào)Q紅寶石激光器紅寶石激光器 1J 10-9s 109W調(diào)調(diào)Q及鎖模紅寶石激光器及鎖模紅寶石激光器 1J 10-1210-13s 10121013 W *結(jié)論結(jié)論:輸出能量一定時(shí)輸出能量一定時(shí), 激光器由于脈沖時(shí)間縮短可使激光器由于脈沖時(shí)間縮短可使I很大很大; 而且因而且因(或或)很小很小, 故亮度故亮度B很大。很大。26例：測(cè)量實(shí)驗(yàn)室中的一臺(tái)例：測(cè)量實(shí)驗(yàn)室中的一臺(tái)Ar+激光器，獲得如下數(shù)據(jù)：激光器，獲得如下數(shù)據(jù)：（1）在輸出鏡上光斑半徑）在輸出鏡上

20、光斑半徑r0.5mm,(2)光束發(fā)散角光束發(fā)散角0.510-3rad,(3)連續(xù)輸出功率連續(xù)輸出功率I=1W,求激光器輻射亮度。求激光器輻射亮度。解：輸出鏡面上光束截面積解：輸出鏡面上光束截面積 光束所占立體角光束所占立體角 232105 . 7 cmrSsr72105 . 7)/(10228srcmWSIB)/(102.123srcmWB太陽而（十萬倍）太陽 105BBAr27三三. .小結(jié)一下高斯光束的主要特征參量：小結(jié)一下高斯光束的主要特征參量： 20L2200)(1)(zz02s022)(1200zzR28典型的激光器諧振腔典型的激光器諧振腔激光模式在腔內(nèi)所能擴(kuò)展的空間范圍。激光模式在

21、腔內(nèi)所能擴(kuò)展的空間范圍。 模體積模體積諧振腔的選擇：諧振腔的選擇：模體積大，對(duì)該模式的振蕩有貢獻(xiàn)的激發(fā)態(tài)粒子數(shù)就多模體積大，對(duì)該模式的振蕩有貢獻(xiàn)的激發(fā)態(tài)粒子數(shù)就多 就可能獲得大的輸出功率；就可能獲得大的輸出功率； 衍射損耗衍射損耗 模體積模體積 腔體鏡面的安裝腔體鏡面的安裝29NoImage平行平面腔結(jié)構(gòu)示意圖 平行平面腔平行平面腔平行平面腔的優(yōu)勢(shì)1） 模體積大、 2）腔內(nèi)激光輻射沒有聚焦現(xiàn)象平行平面腔的劣勢(shì)1）衍射損耗高 2）鏡面調(diào)整難度高平行平面腔主要應(yīng)用于高功率脈沖激光器30NoImage同心球面腔結(jié)構(gòu)示意圖 同心球面腔主要應(yīng)用于連續(xù)工作的染料激光器泵浦激光器同心球面腔的優(yōu)勢(shì)：同心球面腔的劣勢(shì)：1）衍射損耗低 2）易于安裝調(diào)整1）模體積小 2）腔