1、精選優質文檔-傾情為你奉上2017年高考數學空間幾何高考真題一選擇題（共9小題）1如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（）ABCD2已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）ABCD3在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則（）AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC4某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A60B30C20D105某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm2）是（）A+1B+3C

2、+1D+36如圖，已知正四面體DABC（所有棱長均相等的三棱錐），P、Q、R分別為AB、BC、CA上的點，AP=PB，=2，分別記二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角為、，則（）ABCD7如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）A90B63C42D361某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為（）A10B12C14D162已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC=120

3、°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）ABCD二填空題（共5小題）8已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為 9長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為 10已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為 11由一個長方體和兩個 圓柱體構成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為 12如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O

4、2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是 三解答題（共9小題）13如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90°（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD=90°，且四棱錐PABCD的體積為，求該四棱錐的側面積14如圖，四棱錐PABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90°（1）證明：直線BC平面PAD；（2）若PCD面積為2，求四棱錐PABCD的體積15如圖四面體ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD（1）證明：ACBD；（2）已知ACD是直角三角形，AB=BD，

5、若E為棱BD上與D不重合的點，且AEEC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比16如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側棱AA1的長為5（1）求三棱柱ABCA1B1C1的體積；（2）設M是BC中點，求直線A1M與平面ABC所成角的大小17如圖，在三棱錐PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點（1）求證：PABD；（2）求證：平面BDE平面PAC；（3）當PA平面BDE時，求三棱錐EBCD的體積18如圖，在四棱錐PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3

6、，CD=4，PD=2（）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；（）求證：PD平面PBC；（）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值19如圖，已知四棱錐PABCD，PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點（）證明：CE平面PAB；（）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值20由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示，四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD 的交點，E為AD的中點，A1E平面ABCD，（）證明：A1O平面B1CD1；（）設M是OD的中點，證明：平面A1EM平面B1CD121如圖，在三棱錐AB

7、CD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EFAD求證：（1）EF平面ABC；（2）ADAC3如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90°（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD=90°，求二面角APBC的余弦值4如圖，四棱錐PABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90°，E是PD的中點（1）證明：直線CE平面PAB；（2）點M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角MAB

8、D的余弦值5如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD （1）證明：平面ACD平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAEC的余弦值6如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD平面ABCD，點M在線段PB上，PD平面MAC，PA=PD=，AB=4（1）求證：M為PB的中點；（2）求二面角BPDA的大小；（3）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值7如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，BAC=90°點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的

9、中點，PA=AC=4，AB=2（）求證：MN平面BDE；（）求二面角CEMN的正弦值；（）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長8如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其內部）以AB邊所在直線為旋轉軸旋轉120°得到的，G是的中點（）設P是上的一點，且APBE，求CBP的大小； （）當AB=3，AD=2時，求二面角EAGC的大小2017年高考數學空間幾何高考真題參考答案與試題解析一選擇題（共7小題）1如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（）ABCD

10、【解答】解：對于選項B，由于ABMQ，結合線面平行判定定理可知B不滿足題意；對于選項C，由于ABMQ，結合線面平行判定定理可知C不滿足題意；對于選項D，由于ABNQ，結合線面平行判定定理可知D不滿足題意；所以選項A滿足題意，故選：A2已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）ABCD【解答】解：圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，該圓柱底面圓周半徑r=，該圓柱的體積：V=Sh=故選：B3在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則（）AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC【解答】解：法一：連B1C，

11、由題意得BC1B1C，A1B1平面B1BCC1，且BC1平面B1BCC1，A1B1BC1，A1B1B1C=B1，BC1平面A1ECB1，A1E平面A1ECB1，A1EBC1故選：C法二：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設正方體ABCDA1B1C1D1中棱長為2，則A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），=（2，1，2），=（0，2，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=（2，2，0），=2，=2，=0，=6，A1EBC1故選：C4某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三

12、棱錐的體積為（）A60B30C20D10【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為三棱錐，該三棱錐的體積=10故選：D5某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm2）是（）A+1B+3C+1D+3【解答】解：由幾何的三視圖可知，該幾何體是圓錐的一半和一個三棱錐組成，圓錐的底面圓的半徑為1，三棱錐的底面是底邊長2的等腰直角三角形，圓錐的高和棱錐的高相等均為3，故該幾何體的體積為×××12×3+××××3=+1，故選：A6如圖，已知正四面體DABC（所有棱長均相等的三棱錐），P、Q、R分別為AB、B

13、C、CA上的點，AP=PB，=2，分別記二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角為、，則（）ABCD【解答】解法一：如圖所示，建立空間直角坐標系設底面ABC的中心為O不妨設OP=3則O（0，0，0），P（0，3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），Q，R，=，=（0，3，6），=（，5，0），=，=設平面PDR的法向量為=（x，y，z），則，可得，可得=，取平面ABC的法向量=（0，0，1）則cos=，取=arccos同理可得：=arccos=arccos解法二：如圖所示，連接OP，OQ，OR，過點O分別作垂線：OEPR，OFPQ，OGQR，垂足分別為E，F，G，連接DE，DF，DG設

14、OD=h則tan=同理可得：tan=，tan=由已知可得：OEOGOFtantantan，為銳角故選：B7如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）A90B63C42D36【解答】解：由三視圖可得，直觀圖為一個完整的圓柱減去一個高為6的圓柱的一半，V=32×1032×6=63，故選：B1某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為（）A10B12C14D16【解

15、答】解：由三視圖可畫出直觀圖，該立體圖中只有兩個相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，這些梯形的面積之和為6×2=12，故選：B2已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）ABCD【解答】解：【解法一】如圖所示，設M、N、P分別為AB，BB1和B1C1的中點，則AB1、BC1夾角為MN和NP夾角或其補角（因異面直線所成角為（0，），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中點Q，則PQM為直角三角形；PQ=1，MQ=AC，ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC

16、22ABBCcosABC=4+12×2×1×（）=7，AC=，MQ=；在MQP中，MP=；在PMN中，由余弦定理得cosMNP=；又異面直線所成角的范圍是（0，AB1與BC1所成角的余弦值為【解法二】如圖所示，補成四棱柱ABCDA1B1C1D1，求BC1D即可；BC1=，BD=，C1D=，+BD2=，DBC1=90°，cosBC1D=二填空題（共5小題）8已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為36【解答】解：三棱錐SABC的所有頂點都在球O的

17、球面上，SC是球O的直徑，若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐SABC的體積為9，可知三角形SBC與三角形SAC都是等腰直角三角形，設球的半徑為r，可得，解得r=3球O的表面積為：4r2=36故答案為：369長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為14【解答】解：長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，可知長方體的對角線的長就是球的直徑，所以球的半徑為：=則球O的表面積為：4×=14故答案為：1410已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為【解答】解：設正方體的棱長為a

18、，這個正方體的表面積為18，6a2=18，則a2=3，即a=，一個正方體的所有頂點在一個球面上，正方體的體對角線等于球的直徑，即a=2R，即R=，則球的體積V=（）3=；故答案為：11由一個長方體和兩個 圓柱體構成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為2+【解答】解：由長方體長為2，寬為1，高為1，則長方體的體積V1=2×1×1=2，圓柱的底面半徑為1，高為1，則圓柱的體積V2=××12×1=，則該幾何體的體積V=V1+2V1=2+，故答案為：2+12如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為

19、V1，球O的體積為V2，則的值是【解答】解：設球的半徑為R，則球的體積為：R3，圓柱的體積為：R22R=2R3則=故答案為：三解答題（共9小題）13如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90°（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD=90°，且四棱錐PABCD的體積為，求該四棱錐的側面積【解答】證明：（1）在四棱錐PABCD中，BAP=CDP=90°，ABPA，CDPD，又ABCD，ABPD，PAPD=P，AB平面PAD，AB平面PAB，平面PAB平面PAD解：（2）設PA=PD=AB=DC=a，取AD中點O，連結

20、PO，PA=PD=AB=DC，APD=90°，平面PAB平面PAD，PO底面ABCD，且AD=，PO=，四棱錐PABCD的體積為，VPABCD=，解得a=2，PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=，PB=PC=2，該四棱錐的側面積：S側=SPAD+SPAB+SPDC+SPBC=+=6+214如圖，四棱錐PABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90°（1）證明：直線BC平面PAD；（2）若PCD面積為2，求四棱錐PABCD的體積【解答】（1）證明：四棱錐PABCD中，BAD=ABC=90°BCAD，AD

21、平面PAD，BC平面PAD，直線BC平面PAD；（2）解：四棱錐PABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90°設AD=2x，則AB=BC=x，CD=，O是AD的中點，連接PO，OC，CD的中點為：E，連接OE，則OE=，PO=，PE=，PCD面積為2，可得：=2，即：，解得x=2，PE=2則V PABCD=×（BC+AD）×AB×PO=415如圖四面體ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD（1）證明：ACBD；（2）已知ACD是直角三角形，AB=BD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AEEC，求四面體

22、ABCE與四面體ACDE的體積比【解答】證明：（1）取AC中點O，連結DO、BO，ABC是正三角形，AD=CD，DOAC，BOAC，DOBO=O，AC平面BDO，BD平面BDO，ACBD解：（2）法一：連結OE，由（1）知AC平面OBD，OE平面OBD，OEAC，設AD=CD=，則OC=OA=1，E是線段AC垂直平分線上的點，EC=EA=CD=，由余弦定理得：cosCBD=，即，解得BE=1或BE=2，BEBD=2，BE=1，BE=ED，四面體ABCE與四面體ACDE的高都是點A到平面BCD的高h，BE=ED，SDCE=SBCE，四面體ABCE與四面體ACDE的體積比為1法二：設AD=CD=，

23、則AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO=，BO2+DO2=BD2，BODO，以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標系，則C（1，0，0），D（0，0，1），B（0，0），A（1，0，0），設E（a，b，c），（01），則（a，b，c1）=（0，1），解得E（0，1），=（1，），=（1，），AEEC，=1+32+（1）2=0，由0，1，解得，DE=BE，四面體ABCE與四面體ACDE的高都是點A到平面BCD的高h，DE=BE，SDCE=SBCE，四面體ABCE與四面體ACDE的體積比為116如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊

24、AB和AC的長分別為4和2，側棱AA1的長為5（1）求三棱柱ABCA1B1C1的體積；（2）設M是BC中點，求直線A1M與平面ABC所成角的大小【解答】解：（1）直三棱柱ABCA1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側棱AA1的長為5三棱柱ABCA1B1C1的體積：V=SABC×AA1=20（2）連結AM，直三棱柱ABCA1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側棱AA1的長為5，M是BC中點，AA1底面ABC，AM=，A1MA是直線A1M與平面ABC所成角，tanA1MA=，直線A1M與平面ABC所成角的大小為arctan17如

25、圖，在三棱錐PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點（1）求證：PABD；（2）求證：平面BDE平面PAC；（3）當PA平面BDE時，求三棱錐EBCD的體積【解答】解：（1）證明：由PAAB，PABC，AB平面ABC，BC平面ABC，且ABBC=B，可得PA平面ABC，由BD平面ABC，可得PABD；（2）證明：由AB=BC，D為線段AC的中點，可得BDAC，由PA平面ABC，PA平面PAC，可得平面PAC平面ABC，又平面ABC平面ABC=AC，BD平面ABC，且BDAC，即有BD平面PAC，BD平面BDE，可得平面BDE平面PA

26、C；（3）PA平面BDE，PA平面PAC，且平面PAC平面BDE=DE，可得PADE，又D為AC的中點，可得E為PC的中點，且DE=PA=1，由PA平面ABC，可得DE平面ABC，可得SBDC=SABC=××2×2=1，則三棱錐EBCD的體積為DESBDC=×1×1=18如圖，在四棱錐PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2（）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；（）求證：PD平面PBC；（）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值【解答】解：（）如圖，由已知ADBC，故DAP或其補角即為異面直線AP

27、與BC所成的角因為AD平面PDC，所以ADPD在RtPDA中，由已知，得，故所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為證明：（）因為AD平面PDC，直線PD平面PDC，所以ADPD又因為BCAD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC解：（）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角因為PD平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以DFP為直線DF和平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BCBF=2又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為19如

28、圖，已知四棱錐PABCD，PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點（）證明：CE平面PAB；（）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值【解答】證明：（）取AD的中點F，連結EF，CF，E為PD的中點，EFPA，在四邊形ABCD中，BCAD，AD=2DC=2CB，F為中點，CFAB，平面EFC平面ABP，EC平面EFC，EC平面PAB解：（）連結BF，過F作FMPB于M，連結PF，PA=PD，PFAD，推導出四邊形BCDF為矩形，BFAD，AD平面PBF，又ADBC，BC平面PBF，BCPB，設DC=CB=1，則AD=PC=2，PB=，B

29、F=PF=1，MF=，又BC平面PBF，BCMF，MF平面PBC，即點F到平面PBC的距離為，MF=，D到平面PBC的距離應該和MF平行且相等，為，E為PD中點，E到平面PBC的垂足也為垂足所在線段的中點，即中位線，E到平面PBC的距離為，在，由余弦定理得CE=，設直線CE與平面PBC所成角為，則sin=20由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示，四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD 的交點，E為AD的中點，A1E平面ABCD，（）證明：A1O平面B1CD1；（）設M是OD的中點，證明：平面A1EM平面B1CD1【解答】證明：（）取B1D1中點G，連結

30、A1G、CG，四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD 的交點，四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后，A1GOC，四邊形OCGA1是平行四邊形，A1OCG，A1O平面B1CD1，CG平面B1CD1，A1O平面B1CD1（）四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后，BDB1D1，M是OD的中點，O為AC與BD 的交點，E為AD的中點，A1E平面ABCD，又BD平面ABCD，BDA1E，四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD 的交點，AOBD，M是OD的中點，E為AD的中點，EMBD，A1EEM=E，BD平面A1EM，BDB1D1，B1D1平面A1EM，B1D1平

31、面B1CD1，平面A1EM平面B1CD121如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EFAD求證：（1）EF平面ABC；（2）ADAC【解答】證明：（1）因為ABAD，EFAD，且A、B、E、F四點共面，所以ABEF，又因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以由線面平行判定定理可知：EF平面ABC；（2）在線段CD上取點G，連結FG、EG使得FGBC，則EGAC，因為BCBD，FGBC，所以FGBD，又因為平面ABD平面BCD，所以FG平面ABD，所以FGAD，又因為ADEF，且EFFG=F，所以AD平面EFG，所

32、以ADEG，故ADAC3如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90°（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD=90°，求二面角APBC的余弦值【解答】（1）證明：BAP=CDP=90°，PAAB，PDCD，ABCD，ABPD，又PAPD=P，且PA平面PAD，PD平面PAD，AB平面PAD，又AB平面PAB，平面PAB平面PAD；（2）解：ABCD，AB=CD，四邊形ABCD為平行四邊形，由（1）知AB平面PAD，ABAD，則四邊形ABCD為矩形，在APD中，由PA=PD，APD=90°，可得PAD為等腰

33、直角三角形，設PA=AB=2a，則AD=取AD中點O，BC中點E，連接PO、OE，以O為坐標原點，分別以OA、OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則：D（），B（），P（0，0，），C（），設平面PBC的一個法向量為，由，得，取y=1，得AB平面PAD，AD平面PAD，ABPD，又PDPA，PAAB=A，PD平面PAB，則為平面PAB的一個法向量，cos=由圖可知，二面角APBC為鈍角，二面角APBC的余弦值為4如圖，四棱錐PABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90°，E是PD的中點（1）證明：直線CE平面PAB；

34、（2）點M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角MABD的余弦值【解答】（1）證明：取PA的中點F，連接EF，BF，因為E是PD的中點，所以EFAD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90°，BCAD，BCEF是平行四邊形，可得CEBF，BF平面PAB，CE平面PAB，直線CE平面PAB；（2）解：四棱錐PABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90°，E是PD的中點取AD的中點O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，設AD=2，則AB=BC=1，OP=，PCO=60°，直線BM與

35、底面ABCD所成角為45°，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作NQAB于Q，連接MQ，所以MQN就是二面角MABD的平面角，MQ=，二面角MABD的余弦值為：=5如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD （1）證明：平面ACD平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAEC的余弦值【解答】（1）證明：如圖所示，取AC的中點O，連接BO，ODABC是等邊三角形，OBACABD與CBD中，AB=BD=BC，ABD=CBD，ABDC

36、BD，AD=CDACD是直角三角形，AC是斜邊，ADC=90°DO=ACDO2+BO2=AB2=BD2BOD=90°OBOD又DOAC=O，OB平面ACD又OB平面ABC，平面ACD平面ABC（2）解：設點D，B到平面ACE的距離分別為hD，hE則=平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，=1點E是BD的中點建立如圖所示的空間直角坐標系不妨取AB=2則O（0，0，0），A（1，0，0），C（1，0，0），D（0，0，1），B（0，0），E=（1，0，1），=，=（2，0，0）設平面ADE的法向量為=（x，y，z），則，即，取=同理可得：平面ACE的法向量為=（0，1

37、，）cos=二面角DAEC的余弦值為6如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD平面ABCD，點M在線段PB上，PD平面MAC，PA=PD=，AB=4（1）求證：M為PB的中點；（2）求二面角BPDA的大小；（3）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值【解答】（1）證明：如圖，設ACBD=O，ABCD為正方形，O為BD的中點，連接OM，PD平面MAC，PD平面PBD，平面PBD平面AMC=OM，PDOM，則，即M為PB的中點；（2）解：取AD中點G，PA=PD，PGAD，平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，PG平面ABCD，則PGAD，連接OG，則PGOG，

38、由G是AD的中點，O是AC的中點，可得OGDC，則OGAD以G為坐標原點，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（2，4，0），M（1，2，），設平面PBD的一個法向量為，則由，得，取z=，得取平面PAD的一個法向量為cos=二面角BPDA的大小為60°；（3）解：，平面BDP的一個法向量為直線MC與平面BDP所成角的正弦值為|cos|=|=|=7如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，BAC=90°點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2（）求證：MN平面BDE；（）求二面角CEMN的正弦值；（）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長【解答】（）證明：取AB中點F，連接MF、NF，M為AD中點，MFBD，BD平面BDE，MF平