1、二次函數復習提綱（2012.11.15）一、知識網絡簡單二次函數2/,八、y=ax（a0）0）圖像（拋物線）開口a>0,開口向上a<0,開口向卜頂點(0,0)對稱軸y軸（或直線x=0）性質最值a>0,y最小值二0a<0,y最大值二0增減性a>0x>0（對稱軸右側），遞增x<0（對稱軸左側），遞減a<0x>0（對稱軸右側），遞減x<0（對稱軸左側），遞增2一,，一y=ax+bx+c(a/0)圖像（拋物線）開口a>0,開口向上a<0,開口向卜頂點(上，4acb2)2a4a對稱軸直線x=-2a性質最值-4ac-b2a>0,

2、y最小值4a4ac-b2a<0,y最大值二4a增減性a>0x>（對稱軸右邊），遞增2ax<-b（對稱軸左邊），遞減2aa<0x>-也（對稱軸右邊），遞減2ax<（對稱軸左邊），遞增2a二、二次函數的概念：1、形如y=ax2+bx+c(a、b、思常數，a=0)的函數，叫做二次函數。其中是自變量，,分別是函數表達式的二次項系數、一次項系數和常數項。2、二次函數須同時滿足兩個條件：自變量最高次數為2；二次項系數不為0。2例題1、當m為何值時，y=(m-4)x+2x-1是關于x的二次函數？例題2、下列各式中，y是x的二次函數的個數為()y=缶2+2x+5.y=

3、-5+8x-x2.y=(3x+2)(4x-3)-12x2.22.2y=ax+bx+c；y=mx+x；y=bx+1(b為吊數，b¥0)A、3B、4C、5D、6,.、2,2三、拋物線y=a(x-h)+k與y=ax的關系(圖像的平移)1、二者的形狀(開口大小),位置,y=a(x-h)2+k是由y=ax2通過平移得來的，平移后的頂點坐標為2,。"y=ax(a*0)當h>0時向平移h個單位,、2,后2、拋物線-l人一.y二a(x-h)的圖當h<0時向平移|h|個單包心當k >0時向當k <0寸向平移k個單位平移同個而y = a(xh)2+k 的圖像。例題1、拋

4、物線y=0.5(x+2)23可以由拋物線先向平移2個單位，再向下平移個單位得到。例題2、拋物線y=-x2向左平移1個單位，然后再向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為例題3、將二次函數y=1x2-2x+2化為y=a(x-h)2*k的形式，并指出3其開口方向、對稱軸與頂點坐標。2四、拋物線y=ax+bx+c（a¥0a、b、c、的關系a、b、c的代數式作用說明a1.a的正負決定拋物線開口方向和增減性；2.忖決定拋物線開口大小，|a越大，開口越小a>0開口向上a<0開口問卜c確定拋物線與y軸交點的位置，交點坐標（0,c）c>0交點在X軸上方C=0交點在原點c<0

5、交點在X軸下方b-2a決定對稱軸位置，對稱軸為直線x=一22a&b同號對稱軸在y軸左側b=0對稱輕力y軸&b對稱軸在y軸右側,2b4ac決定拋物線與X軸交點個數2b-4ac>0拋物線與x軸有2個交點2b4ac=0拋物線與x軸有1個交點2b-4ac<0拋物線與x軸后龍交點,2(-匕4)2a4a決定頂點位置頂點縱坐標4acb2就是二次函數4a的最大值或最小值N0),(X2,0)拋物線與X軸交點坐標一b士Jb2-4acxi2一2aXi+X2=,XiX2='。所以aa2y=aX+bX+c=a(Xx1)(xx2)Vb2-4ac拋物線與X軸兩交點間的距離a例題1、在同一

6、直角坐標系中，函數y=ax2+b與y=ax+b(ab00)的圖象yyOxOxDBC33例題2圖次函數4xyyyyyxxxOOOxCABDC、4O1D、5直角坐標系中，兩條拋物線有相同的對稱軸，下列關系不正次函數yA.h=mD.h>0,k>0B.k=nC.k>nax+bx的圖象如圖所示abc,a+b+c,4a2b+c,2a+b,2ab,a-b+c,b24ac4a+b中，具值大于0的個數為（）A、2B例題3、如序確的是（）LyOXO4xA大致如圖x五、拋物線的增減性要判斷二次函數圖像的增減性，須弄清兩個問題：a的正負；在對稱軸的左則還是右側。1、當a>0時，在對稱軸直線x=

7、-2左側（或說x<-b-）,y隨x的增大而減小；2a2a在對稱軸右側（xa-旦），y隨x的增大而增大。2a2、當a<0時,在對稱軸直線x=-且左側（或說x<-b-）,y隨x的增大而增大；2a2a在對稱軸右側（x>-b-）,y隨x的增大而減小。2a例如，對于拋物線y=-3x2,a<Q其開口向下，對稱軸為y軸（也可以說直線x=0）。所以該拋物線白增減性是：在y軸左側，y隨x遞增；在y軸右側，y隨x遞減。例題1、已知a<1,點（a1,y1）、（a,y2）（a+1,y3）都在函數y=x2的圖象上，則（）A、y1<y2<y3B、y1<y3<y2

8、C、y3<y2<y1D、y2<y1<y3六、求二次函數的解析式1、二次函數的表達式：一般式;頂點式;交點式：設拋物線與x軸交于點A（x1,0）、B（x2,0）則拋物線的解析式為2、拋物線解析式的求法：已知拋物線上的三點，可用一般式求解；若已知頂點或對稱軸、最大（小）值，可設頂點式求解；若已知拋物線與x軸的兩個交點，可設交點式求解。求二次函數解析式應根據所給的條件，靈活選擇函數關系式，應用求出未知系數。例題1、二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸為x=3,最小值為一2,且過（0,1）,求此函數的解析式。(頂點式)例題2、如圖，在同一直角坐標系中，二次函數的圖象與兩坐標軸分

9、別交于A(1,0)、點B(3,0)和點C(0,3),一次函數的圖象與拋物線交于BC兩點。(1)二次函數的解析式為。(2)當自變量x時，兩函數的函數值都隨x增大而增大；(3)當自變量x時，一次函數值大于二次函數值；(4)當自變量x時，兩函數的函數值的積小于0例題3、已知拋物線y=ax2+bx+c經過三點A(2,6),B(-1,2),C(0,1),求它的解析式。例題4、已知二次函數的圖象經過原點及點(-1,-工)，且圖象與x軸的24另一交點到原點的距離為1,則該二次函數的解析式為。例題5、如圖，拋物線的對稱軸是直線x=1，它與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點。點A、C的坐標分別是(-1,0),(

10、0,1.5)。(1)求此拋物線對應x軸上方的一個動點，求 abp面x軸的交點有三種情況：有兩個交的函數解析式；(2)若點p是拋物線上位于積的最大值。七、二次函數與一元二次方程的關系二次函數y=ax2+bx+c(a#0"q圖像與點、有一個交點、沒有交點。如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點，則交點的橫坐標是就是方程的根。應用：當圖像與x軸有交點時，令y=0,解方程就可求出拋物線與x軸交點的坐標=b2-4ac、一一2一一一.一方程ax+bx+c=0的根的情況拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點情況>0兩個不相等的實數根兩個交點=0<0八、拋物線y=ax2+bx+c與不

11、等式ax2+bx+c0(ax2+bx+c<0)的解集的關系1、若拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸交于(x1,0)、(x2,0)兩點(x1<x2),則不等式ax2+bx+c>0的解集為,不等式ax2+bx+c<0的解集為2、若拋物線y=ax2+bx+c(a<0)與x軸交于(S,0)、(*2，0)兩點(xex2),則不等式ax2+bx+c>0的解集為,不等式ax2+bx+c<0的解集為；y例題1、二次函數y=ax2+bx+c(a=0)的圖像如圖所示，根據圖像解答下列問題：(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根；一(2)寫出不等式ax2+

12、bx+c>0的解集；(3)寫出不等式ax2+bx+c<0的解集；(4)寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍。九、二次函數在實際中的應用二次函數的應用包括以下方面：分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數關系；運用二次函數的知識解決實際問題中的最大(小)值問題。例題1、如圖13,二次函數y=x2+px+q(p<0)的圖象與x軸交于A、B5兩點，與y軸父于點C(0,-1),AABC的面積為4(1)求該二次函數的關系式；(2)過y軸上的一點M(0,m)作y軸上午垂線，若該垂線與AABC的外接圓有公共點，求m的取值范圍；(3)在該二次函數的圖象上是否存在點D,使四邊形A

13、BCD為直角梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由。例題2、某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件(每件售價不能高于65元).設每件商品的售價上漲x元(x為正整數)，每個月的銷售利潤為y元.(1)求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？(3)每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據以上結論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？例題1、某公司累積獲得的利潤y(萬元)與銷售時間第x(月)之間的函數關系式(即前x個月的利潤總和y與x之間的關系)對應的點都在如圖所示的圖象上。該圖象從左至右，依