1、材料力學材料力學Mechanics of Materials蘇文政蘇文政土木與安全工程學院土木與安全工程學院 力學教研室力學教研室材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉2 2第三章第三章 扭轉扭轉3.1扭轉的概念和實例扭轉的概念和實例3.2外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖3.3純剪切純剪切3.4圓軸扭轉的應力圓軸扭轉的應力3.5圓軸扭轉時的變形圓軸扭轉時的變形3.7非圓截面桿扭轉的概念非圓截面桿扭轉的概念材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉3 33.1扭轉的概念和實例扭轉的概念和實例一一 工程實例工程實例材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉4 43.1扭轉的概念

2、和實例扭轉的概念和實例二二 受力及變形特點受力及變形特點o扭轉扭轉：桿件受到兩個大小相等、方向相反且作用面：桿件受到兩個大小相等、方向相反且作用面垂直于桿件軸線的力偶，使桿件的任意兩個橫截面垂直于桿件軸線的力偶，使桿件的任意兩個橫截面均發生繞軸線的相對轉動均發生繞軸線的相對轉動o以扭轉變形為主要變形的桿件稱為以扭轉變形為主要變形的桿件稱為軸軸（注：（注：軸的定軸的定義并不是以幾何特點區分義并不是以幾何特點區分）材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉5 53.2 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖材料力學分析問題的基本流程材料力學分析問題的基本流程一一 外力外力外力偶矩外力

3、偶矩Me1 直接計算直接計算材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉6 6一一 外力偶矩外力偶矩2 按輸入功率和轉速計算按輸入功率和轉速計算電動機每秒鐘電動機每秒鐘輸入功輸入功P1000Nm力偶矩每秒鐘力偶矩每秒鐘輸出功輸出功Me 2n /60能量守恒：能量守恒：發動機功率為發動機功率為P（kW）軸的轉速為軸的轉速為n（r/min）功能功能關系關系材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉7 7扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖二二 內力內力扭矩扭矩T截面內力系為一內力偶矩截面內力系為一內力偶矩扭矩（扭矩（T）：受扭桿件任意截面分布內力系的合力偶矩：受扭桿件任意截面分布內力系的合力偶矩截面法求內力截面法求

4、內力材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉8 8扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖表示扭矩沿桿件軸線變化的圖線（表示扭矩沿桿件軸線變化的圖線（T-x曲線）曲線）右手定則確定右手定則確定T矢量方向，矢量方向，截面外法線方向為正截面外法線方向為正符號規定符號規定內力圖內力圖扭矩圖扭矩圖材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉9 9例題例題傳動軸主動輪傳動軸主動輪B輸入功率輸入功率PB=20kW ，從動輪，從動輪A輸出功輸出功率率PA=8kW ，從動輪，從動輪C輸出功率輸出功率PC=12kW ，軸轉速，軸轉速n=300r/min ，求畫扭矩圖，求畫扭矩圖解：各輪解：各輪的外力偶的外力偶矩分別為：矩分別為：9

5、549 20 300636eBMN mN m9549 8 300254eAMN mN m9549 12 300382eCMN mN m材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉1010例題例題求扭矩求扭矩扭矩圖扭矩圖畫扭矩圖畫扭矩圖若調換若調換B、C齒輪的位置，扭矩圖如何變化？齒輪的位置，扭矩圖如何變化？思考思考材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉1111例題（續）例題（續）若調換若調換B、C齒輪的位置齒輪的位置軸內力顯著增大，因此需要合理布置主動輪位置軸內力顯著增大，因此需要合理布置主動輪位置材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉12123.3 純剪切純剪切一一 薄壁圓筒的扭轉切應力薄壁

6、圓筒的扭轉切應力薄壁圓筒薄壁圓筒:壁厚壁厚 遠小于遠小于平均半徑平均半徑r薄壁圓筒扭轉變形時橫薄壁圓筒扭轉變形時橫截面的應力分布如何？截面的應力分布如何？材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉13131 實驗觀察實驗觀察實驗現象及結果分析實驗現象及結果分析圓筒軸線方向長度不變圓筒軸線方向長度不變表明橫截面不存在正應力表明橫截面不存在正應力圓筒圓筒直徑保持直徑保持不變不變表明縱向截面不存在表明縱向截面不存在正應力正應力方格左右兩邊發生相對方格左右兩邊發生相對錯動錯動表明橫截面存在切應力表明橫截面存在切應力加載前加載前加載后加載后材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉14142 理論推導理論推

7、導橫截面切應力所組成的內力系與外力偶矩相平衡橫截面切應力所組成的內力系與外力偶矩相平衡薄壁結構薄壁結構剪應力沿筒壁厚度方向保持不變剪應力沿筒壁厚度方向保持不變材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉1515二二 切應力互等定理切應力互等定理在相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對存在，且數在相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對存在，且數值相等，其方向都垂直于兩平面交線，或共同指向或共值相等，其方向都垂直于兩平面交線，或共同指向或共同背離兩平面交線同背離兩平面交線注注：切應力互等定理適用于任何平衡問題，而不限于扭：切應力互等定理適用于任何平衡問題，而不限于扭轉問題轉問題材料力學材料力學 第三章第三

8、章 扭轉扭轉1616三三 切應變切應變 剪切胡克定律剪切胡克定律1 純剪切：純剪切：單元體四個側面只有切應力而無正應力單元體四個側面只有切應力而無正應力2 切應變切應變 ：切應變：切應變材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉17172 剪切胡克定律剪切胡克定律薄壁圓筒扭轉實驗薄壁圓筒扭轉實驗剪切胡克定律剪切胡克定律3 材料彈性常數之間的關系：材料彈性常數之間的關系：G：材料的切變模量：材料的切變模量 單位單位GPa材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉18183.4 圓軸扭轉的應力圓軸扭轉的應力已知已知：圓軸外力偶矩：圓軸外力偶矩求求：橫截面任意點的應力（大：橫截面任意點的應力（大小小&a

9、mp;方向）方向）分析分析：靜力平衡關系為：靜力平衡關系為一一 問題描述問題描述一個方程，無窮多未知數一個方程，無窮多未知數超靜定問題超靜定問題解題思路：解題思路：綜合綜合靜力關系、幾何關系靜力關系、幾何關系以及以及物理關系物理關系三方面求解三方面求解材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉1919二二 圓軸扭轉的應力求解圓軸扭轉的應力求解1 變形幾何關系變形幾何關系1）圓周線形狀、大小、間距保持不變，僅繞軸旋轉一）圓周線形狀、大小、間距保持不變，僅繞軸旋轉一個角度個角度2）縱向線保持直線，僅傾斜了一個微小角度）縱向線保持直線，僅傾斜了一個微小角度實驗觀察實驗觀察材料力學材料力學 第三章第三章

10、 扭轉扭轉2020變形幾何關系變形幾何關系假設抽象假設抽象圓軸扭轉的平面假設圓軸扭轉的平面假設扭轉變形中，圓軸的橫截面像剛性平面一樣，繞軸線旋扭轉變形中，圓軸的橫截面像剛性平面一樣，繞軸線旋轉了一個角度；且相鄰截面間距不變轉了一個角度；且相鄰截面間距不變力學本質力學本質橫截面上只有切應力而無正應力橫截面上只有切應力而無正應力扭轉角沿長度的變化率扭轉角沿長度的變化率變形變形幾何幾何關系（續）關系（續）圓軸表面圓軸表面由平面假設，圓周由平面假設，圓周內距圓心為內距圓心為 的點的點由平面假定，對由平面假定，對同一截面同一截面為常量為常量在任意橫在任意橫截面，一點切應變均正比于該點到圓心的距離截面，一

11、點切應變均正比于該點到圓心的距離材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉22222 物理關系物理關系剪切胡克定律剪切胡克定律因此一點切應力同樣正比于該點到圓心的距離：因此一點切應力同樣正比于該點到圓心的距離：因為因為 發生在與發生在與 垂直的平面內，因此垂直的平面內，因此 需要與需要與 垂直垂直未知，因此未知，因此 仍無法求解仍無法求解材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉23233 靜力關系靜力關系截面切應力的合力系即為截面的扭矩截面切應力的合力系即為截面的扭矩引入引入聯立聯立截面任意點（距圓心截面任意點（距圓心 ）切應力）切應力Ip：截面對：截面對O點的極慣性矩點的極慣性矩材料力學材料力

12、學 第三章第三章 扭轉扭轉2424結論結論Wt：抗扭截面系數：抗扭截面系數截面任意點（距圓心截面任意點（距圓心 ）切應力）切應力在在橫截橫截面外邊緣，面外邊緣， 取最大值取最大值R或引入或引入材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉25254 截面幾何參數公式截面幾何參數公式材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉2626三三 圓軸扭轉的強度條件圓軸扭轉的強度條件注：對階梯軸，注：對階梯軸， max未必發生在未必發生在Tmax所在所在的截面上的截面上材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉2727例題（教材例例題（教材例3.2-3.3，p82-83）空心軸的外徑空心軸的外徑D=90mm，壁厚，

13、壁厚=2.5mm，材料為，材料為45鋼，使用時鋼，使用時最大扭矩為最大扭矩為T=1.5kNm，材料的，材料的=60MPa，1）試校核軸的扭）試校核軸的扭轉強度；轉強度；2）若改為實心軸，保持強度相同，試確定其直徑，并）若改為實心軸，保持強度相同，試確定其直徑，并比較實心軸與空心軸的重量比較實心軸與空心軸的重量解：解：1）計算空心軸的抗扭截面系數）計算空心軸的抗扭截面系數材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉2828例題（續）例題（續）2）令實心軸的直徑令實心軸的直徑D2，使空心軸和實心軸強度相同，使空心軸和實心軸強度相同軸的最大切應力為軸的最大切應力為故空心軸滿足強度要求故空心軸滿足強度要求

14、代入數值后求得代入數值后求得材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉2929例題（續）例題（續）實心軸與空心軸的重量之比為：實心軸與空心軸的重量之比為：材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉3030練習：畫圓軸截面切應力分布練習：畫圓軸截面切應力分布材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉3131練習（續）練習（續）材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉32323.5 圓軸扭轉時的變形圓軸扭轉時的變形 單位長度扭轉角，單位長度扭轉角，單位長度的兩截面相對轉角單位長度的兩截面相對轉角單位為單位為rad/m一一 圓軸扭轉的剛度條件圓軸扭轉的剛度條件GIp稱為圓軸的抗扭剛度稱為圓軸的抗扭剛度材料

15、力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉3333剛度條件剛度條件工程上工程上 的單位通常為的單位通常為/m， 圓軸扭轉的剛度條件圓軸扭轉的剛度條件材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉3434二二 圓軸扭轉的變形圓軸扭轉的變形 的單位為的單位為rad等截面等內力軸：等截面等內力軸：分段軸：分段軸：計算計算 ，T須代入正負號須代入正負號材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉3535三三 圓軸扭轉的強度和剛度設計圓軸扭轉的強度和剛度設計2 剛度條件剛度條件1 強強度條件度條件或或或或材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉3636例題例題已知已知n=300r/min，PA=48kW, PB=18k

16、W, PC=PD=15kW, G=80GPa，=40MPa， =0.85/m，求設計軸的，求設計軸的直徑直徑d。解：解：1）計算外力偶矩）計算外力偶矩代入數值代入數值材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉3737例題（續）例題（續）2）畫扭矩圖，確定危險截面）畫扭矩圖，確定危險截面AC段為危險截面段為危險截面材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉3838例題（續）例題（續）3）設計直徑。按強度設計）設計直徑。按強度設計故故按剛度設計按剛度設計材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉39393.7非圓截面桿扭轉的概念非圓截面桿扭轉的概念一一 翹曲：翹曲：非圓截面桿扭轉后橫截面不再保持為平面非

17、圓截面桿扭轉后橫截面不再保持為平面的現象的現象材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉4040矩形截面桿的扭轉矩形截面桿的扭轉二二 矩形截面的應力分布矩形截面的應力分布橫截面上角點處，切應力為零；橫截面上角點處，切應力為零；橫截面邊緣各點處，切應力平行橫截面邊緣各點處，切應力平行于截面周邊；于截面周邊；橫截面周邊長邊中點處，切應力橫截面周邊長邊中點處，切應力最大最大max1max2;tTTWhb三三 矩形截面軸的變形矩形截面軸的變形3tTlTlG hbGI材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉4141圓軸扭轉習題課圓軸扭轉習題課習題一習題一計算總扭轉角，并建立安全工作的強度和剛度條件，計算總

18、扭轉角，并建立安全工作的強度和剛度條件，設許用應力和單位長度扭轉角分別為設許用應力和單位長度扭轉角分別為和和 ，軸外徑，軸外徑D，內徑，內徑d。解：解：1）畫扭矩圖）畫扭矩圖AB段和段和CD段段均為危險截面均為危險截面材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉4242習題一（續）習題一（續）2）計算總扭轉角）計算總扭轉角3）強度條件）強度條件材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉4343習題一（續）習題一（續）4）剛度條件）剛度條件扭矩最大的截面未必是危險截面扭矩最大的截面未必是危險截面截面幾何尺寸同樣需考慮！截面幾何尺寸同樣需考慮！材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉4444習題二習題二: 訓練冊訓練冊p103，第二，第二2題題解：解：1）計算外力偶矩）計算外力偶矩2）求扭矩）求扭矩,做扭矩圖做扭矩圖AD、DB為為危險截面危險截面材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉扭轉4545習題二習題二3）計算最大切應力：）計算最大切應力：AD：BD：分析可知最大切應力發生在分析可知最大切應力發生在AD段，故：段，故：材料力學材料力學 第三章第三章 扭轉