1、v1.0可編輯可修改高中文科數學解三角形部分整理正弦定理（一）知識與工具:正弦定理：在4ABC 中,sin A sin B工2R。 sinC變形：a: b: csin A:sin B:sin C .11在這個式子當中，已知兩邊和一角或已知兩角和一邊，可以求出其它所有的邊和角。注明：正弦定理的作用是進行三角形中的邊角互化，在變形中，注意三角形中其他條件的應用：（1）三內角和為180。兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊=cos C , cos2=sin C 22（2）三角函數的恒等變形ABsin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,sin2(3)面積公式：S=absinC=-ab

2、c=2R2sinAsinBsinC24R（二）題型使用正弦定理解三角形共有三種題型題型1利用正弦定理公式原型解三角形例一、在ABC中，若C900,a6,B300,則cb等于（）A.1B.1C.2屈D.2<3bo0【解析】C.tan300,batan3002、3,c2b4、一4,cb2.3a題型2利用正弦定理公式變形邊角互化解三角形：關于邊或角的齊次式可以直接邊角互化。例二、在ABC中，若b2asinB,則A等于（）A.300或600B.450或600C.1200或600D.300或150010【斛析】D.b2asinB,sinB2sinAsinB,sinA-，A30或1502題型3三角形

3、解的個數的討論方法一：畫圖看方法二：通過正弦定理解三角形，利用三角形內角和與三邊的不等關系檢驗解出的結果是否符合實際意義，從而確定解的個數。例三、等腰三角形一腰上的高是J3,這條高與底邊的夾角為600,則底邊長為(D)余弦定理(一)知識與工具:a2=b2+c2 -2bccosAcosA=222b c a2bcb2=a2+c2 -2accosBcosB=22,2a c b2acc2=a2+b2-2abcosCcosC=2. 22a b c2ab注明：余弦定理的作用是進行三角形中的邊角互化，當題中含有二次項時，常使用余弦定理。在變形中，注意三角形中其他條件的應用：(1)三內角和為180°

4、(2)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。(3)面積公式：S=-absinC=2R2sinAsinBsinC24R(4)三角函數的恒等變形。(二)題型使用余弦定理解三角形共有三種現象的題型題型1利用余弦定理公式的原型解三角形例一、在ABC中，若a2b2bcc2,則A。一0-b2c2a21-一0【解析】120cosA-,A1202bc2題型2利用余弦定理公式的變形(邊角互換)解三角形：凡在同一式子中既有角又有邊的題，要將所有角轉化成邊或所有邊轉化成角，在轉化過程中需要構造公式形式。題型3判斷三角形的形狀結論：根據余弦定理，當a2+b2vc2、b2+c2va2、c2+a2vb2中有一個關系式成

5、立時，該三角形為鈍角三角形，而當a2+b2>c2、b2+c2>a2,c2+a2>b2中有一種關系式成立時，并不能得出該三角形為銳角三角形的結論。判斷三角形形狀的方法：(1)將已知式所有的邊和角轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系,從而判斷三角形的形狀。例一、在ABC中，若acosAbcosBccosC,則ABC的形狀是什么解：acosAbcosBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosCsin2Asin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosCcos(AB)cos(AB),2cosAcosB0cosA0或cosB0,得A

6、或B一22所以ABC是直角三角形。(2)應用題兩點間不可通又兩點間可視但不兩點都不可達不可視可達距底部可達底部不可達求題型1計算高度題型2計算距離題型3計算角度題型4測量方案的設計實際應用題型的本質就是解三角形，無論是什么樣的現象，都要首先畫出三角形的模型,再通過正弦定理和余弦定理進行求解。例一、（三）其他常見結論1三角形內切圓的半徑:2Sr a b cab特別地，r直2三角學中的射影定理:在4ABC中，ba cosC ccosA,3兩內角與其正弦值:在4ABC中，Asin A例一、在 ABC中，若a7,b3,c8 ,則其面積等于（21A . 12 B .28 D2【解析】DcosA1,A60

7、0sABC1bcsinA6.322基礎練習一、選擇題1 .若A為ABC的內角，則下列函數中一定取正值的是（）1A.sinAB.cosAC.tanAD.tanA2 .在ABC中，角均為銳角，且cosAsinB,則ABC的形狀是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形3 .邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是（）A.900B.1200C.1350D.15004 .在4ABC中，A:B:C1:2:3,則a:b:c等于（）A.1:2:3B,3:2:1C.1:73:2D.2:73:15 .在ABC中，若A2B,則a等于（）A.2bsinAB.2bcosAC.2bsinBD.

8、2bcosB6 .在ABC中，若lgsinAlgcosBlgsinClg2,則ABC的形狀是（）A.直角三角形B.等邊三角形C.不能確定D.等腰三角形7 .在ABC中，若（abc）（bca）3bc,則A（）A.900B.600C.1350D,15008 .在ABC中，若tanABab,則4ABC的形狀是（）2abA.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形、填空題1 .在ABC中，若a2b2bcc2,則A2 .在ABC中，若b2,B300,C1350，則a3 .在ABC中，若sinA：sinB：sinC7：8：13,則Co-abc4 .若在ABC中，A60,b1,S

9、abcV3,則=sinAsinBsinC5 .在ABC中，若a9,b10,c12,則ABC的形斗犬是。6 .在ABC中，若aV3,bY2,c吏!則A。2三、解答證明題1 .在4ABC中，A1200,cb,aV21，Sabc由，求b,c。Jab2 .在ABC中，若AB120°,則求證：1。bcac2C2A3b3 在ABC中，右acos-ccos一一,則求證：ac2b222abcosBcosA.4 .在ABC中，求證：一一c()baba選擇題0A,sinA0cosAsin(-A)2sinB,-A,B都是銳角，則一A22B,AB-,C一22設中間角為，則cos52600,180060012

10、00為所求一,a:b:csinA:sinB:sinC21.叵22:-2:21:、,3:2sinAsin2B2sinBcosB,a2bcosB,sinAlgcosBsinCsinAlg2,-cosBsinC2,sinA2cosBsinCsin(BC)2cosBsinC,sinBcosCcosBsinC0,sin(BC)0,BC,等腰三角形(abc)(bc-22a)3bc,(bc)a3bc,b2,22bc3bc,cosA-2bc2-,A6002tanA-2sinAsinBsinAsinB2cos2sinA2A2BsinBcosAZ2A2Atan一2tantanAB2-A,tan一AB,2填空題1.

11、2.3.4.所以A0,或b21200cosA-.62A150,120023932c2bc5A1200bsinA,asinAsinBsinB4sinA4sin150a：b：csinA：sinB：sinC令a7k,b8k,c13k2acosC一SABC1.A1bcsinAc7：8：13,22bc2ab2,C1200I33,c.13,a,行abcsinAsinBsinCa、,13239sinA-33"2"5.銳角三角形C為最大角，cosC0,C為銳角6.600.222bcacosA2bc,311222(.31)2四、解答證明題1.解：SABC1bcsinA>/3,bc4,22,22abc2bccosA,bc5,而cb所以b1,c4222.證明：要證-a-1,只要證-一acb一bc1,bcacabbcacc222即abcab而AB1200,C600cosC2,22abc_2,220,abc2abcos602abab原式成立。3.證明:2c2A3bacosccos一2221cosC1-sinA