1、.華師一附中高考數學壓軸題精選精練共46道典型壓軸題華師一附中高考數學知識點華師一附中高考數學高分法則1（12分）已知拋物線、橢圓和雙曲線都經過點，它們在軸上有共同焦點，橢圓和雙曲線的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點為坐標原點.（）求這三條曲線的方程；（）已知動直線過點，交拋物線于兩點，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由.解：（）設拋物線方程為，將代入方程得（1分）由題意知橢圓、雙曲線的焦點為（2分）對于橢圓，（4分）對于雙曲線，（6分）（）設的中點為，的方程為：，以為直徑的圓交于兩點，中點為令（7分）（12分）2（14分）已知正項數列中，

2、點在拋物線上；數列中，點在過點，以方向向量為的直線上.（）求數列的通項公式；（）若，問是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，說明理由；（）對任意正整數，不等式成立，求正數的取值范圍.解：（）將點代入中得（4分）（）（5分）（8分）（）由（14分）3.（本小題滿分12分）將圓O: 上各點的縱坐標變為原來的一半 (橫坐標不變), 得到曲線C.(1) 求C的方程;(2) 設O為坐標原點, 過點的直線l與C交于A、B兩點, N為線段AB的中點,延長線段ON交C于點E.求證: 的充要條件是.解: (1)設點, 點M的坐標為,由題意可知(2分)又.所以, 點M的軌跡C的方程為.(4分)(2)設點,

3、, 點N的坐標為,當直線l與x軸重合時, 線段AB的中點N就是原點O, 不合題意,舍去; (5分)設直線l: 由消去x, 得(6分),點N的坐標為.(8分)若, 坐標為, 則點E的為, 由點E在曲線C上, 得, 即 舍去). 由方程得又.(10分)若, 由得點N的坐標為, 射線ON方程為: ,由 解得 點E的坐標為.綜上, 的充要條件是.(12分)4.（本小題滿分14分）已知函數.(1) 試證函數的圖象關于點對稱;(2) 若數列的通項公式為, 求數列的前m項和(3) 設數列滿足: , . 設.若(2)中的滿足對任意不小于2的正整數n, 恒成立, 試求m的最大值.解: (1)設點是函數的圖象上任

4、意一點, 其關于點的對稱點為.由 得所以, 點P的坐標為P.(2分)由點在函數的圖象上, 得. 點P在函數的圖象上.函數的圖象關于點對稱. (4分)(2)由(1)可知, , 所以,即(6分)由, 得 由, 得(8分)(3) , 對任意的. 由、, 得即.(10分)數列是單調遞增數列.關于n遞增. 當, 且時, .(12分)即 m的最大值為6. (14分)5（12分）、是橢圓的左、右焦點，是橢圓的右準線，點，過點的直線交橢圓于、兩點.（1） 當時，求的面積；（2） 當時，求的大小；（3） 求的最大值.解：（1）（2）因，則（1） 設 ，當時，6（14分）已知數列中，當時，其前項和滿足，（2） 求

5、的表達式及的值；（3） 求數列的通項公式；（4） 設，求證：當且時，.解：（1）所以是等差數列.則.（2）當時，綜上，.（3）令，當時，有 （1）法1：等價于求證.當時，令，則在遞增.又，所以即.法（2） （2） （3）因，所以由（1）（3）（4）知.法3：令，則所以因則，所以 （5）由（1）（2）（5）知7 (本小題滿分14分)第21題設雙曲線=1( a > 0, b > 0 )的右頂點為A，P是雙曲線上異于頂點的一個動點，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP分別交于Q和R兩點.(1) 證明：無論P點在什么位置，總有|2 = |·| ( O為坐標原點)；(2) 若

6、以OP為邊長的正方形面積等于雙曲線實、虛軸圍成的矩形面積，求雙曲線離心率的取值范圍；解：(1) 設OP：y = k x, 又條件可設AR: y = (x a ), 解得：= (,), 同理可得= (,), |·| =|+| =. 4分 設 = ( m, n ) , 則由雙曲線方程與OP方程聯立解得:m2 =, n2 = , |2 = :m2 + n2 = + = ,點P在雙曲線上，b2 a2k2 > 0 . 無論P點在什么位置，總有|2 = |·| . 4分（2）由條件得：= 4ab, 2分即k2 = > 0 , 4b > a, 得e > 2分8.

7、(本小題滿分12分)已知常數a > 0, n為正整數，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x > 0 )是關于x的函數.(1) 判定函數f n ( x )的單調性，并證明你的結論.(2) 對任意n ³ a , 證明f n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn(n)解: (1) fn ( x ) = nx n 1 n ( x + a)n 1 = n x n 1 ( x + a)n 1 , a > 0 , x > 0, fn ( x ) < 0 , f n ( x )在（0，+）單調遞減. 4分（2）由上知：當x

8、> a>0時, fn ( x ) = xn ( x + a)n是關于x的減函數, 當n ³ a時, 有：(n + 1 )n ( n + 1 + a)n £ n n ( n + a)n. 2分又 f n + 1 (x ) = ( n + 1 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n < ( n + 1 ) nn ( n + a)n = ( n + 1 ) nn ( n + a )( n + a)n 1 2分( n + 1 )fn(n) = ( n + 1 )n

9、n n 1 ( n + a)n 1 = ( n + 1 )n n n( n + a)n 1 , 2分( n + a ) > n ,f n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn(n) . 2分9. (本小題滿分12分)已知：y = f (x) 定義域為1，1，且滿足：f (1) = f (1) = 0 ，對任意u ,vÎ1，1，都有|f (u) f (v) | | u v | .(1) 判斷函數p ( x ) = x2 1 是否滿足題設條件？(2) 判斷函數g(x)=，是否滿足題設條件？解： (1) 若u ,v Î 1，1， |p(u) p (v

10、)| = | u2 v2 |=| (u + v )(u v) |，取u = Î1，1，v = Î1，1, 則 |p (u) p (v)| = | (u + v )(u v) | = | u v | > | u v |，所以p( x)不滿足題設條件.（2）分三種情況討論：10. 若u ,v Î 1，0，則|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |，滿足題設條件；20. 若u ,v Î 0，1， 則|g(u) g(v)| = |(1 u) (1 v)|= |v u|，滿足題設條件；30. 若uÎ1，0，v

11、06;0，1，則： |g (u) g(v)|=|(1 u) (1 + v)| = | u v| = |v + u | | v u| = | u v|，滿足題設條件;40 若uÎ0，1，vÎ1，0, 同理可證滿足題設條件.綜合上述得g(x)滿足條件.10. (本小題滿分14分)已知點P ( t , y )在函數f ( x ) = (x ¹ 1)的圖象上，且有t2 c2at + 4c2 = 0 ( c ¹ 0 ).(1) 求證：| ac | ³ 4;(2) 求證：在(1，+）上f ( x )單調遞增.(3) (僅理科做)求證：f ( | a | )

12、 + f ( | c | ) > 1.證：(1) tÎR, t ¹ 1, = (c2a)2 16c2 = c4a2 16c2 ³ 0 ， c ¹ 0, c2a2 ³ 16 , | ac | ³ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 ,法1. 設1 < x1 < x2, 則f (x2) f ( x1) = 1 1 + = . 1 < x1 < x2, x1 x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ,f (x2) f ( x1) < 0 , 即f (x2) &

13、lt; f ( x1) , x ³ 0時，f ( x )單調遞增. 法2. 由f ( x ) = > 0 得x ¹ 1, x > 1時，f ( x )單調遞增.（3）（僅理科做）f ( x )在x > 1時單調遞增，| c | ³ > 0 , f (| c | ) ³ f () = = f ( | a | ) + f ( | c | ) = + > +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.11（本小題滿分15分）設定義在R上的函數（其中R，i=0,1,2,3,4），當x= 1時，f (x

14、)取得極大值，并且函數y=f (x+1)的圖象關于點（1，0）對稱（1） 求f (x)的表達式；（2） 試在函數f (x)的圖象上求兩點，使這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區間上；（3） 若，求證：解：（1）5分 （2）或10分 （3）用導數求最值，可證得15分12（本小題滿分13分）設M是橢圓上的一點，P、Q、T分別為M關于y軸、原點、x軸的對稱點，N為橢圓C上異于M的另一點，且MNMQ，QN與PT的交點為E，當M沿橢圓C運動時，求動點E的軌跡方程解：設點的坐標則1分 3分 由（1）（2）可得6分 又MNMQ，所以 直線QN的方程為，又直線PT的方程為10分 從而得所以 代入（

15、1）可得此即為所求的軌跡方程.13分13（本小題滿分12分）過拋物線上不同兩點A、B分別作拋物線的切線相交于P點，（1）求點P的軌跡方程；（2）已知點F（0，1），是否存在實數使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.解法（一）：（1）設由得：3分直線PA的方程是：即 同理，直線PB的方程是： 由得：點P的軌跡方程是6分（2）由（1）得： 10分所以故存在=1使得12分解法（二）：（1）直線PA、PB與拋物線相切，且直線PA、PB的斜率均存在且不為0，且設PA的直線方程是由得：即3分即直線PA的方程是：同理可得直線PB的方程是：由得：故點P的軌跡方程是6分（2）由（1）得：10分故存在=1

16、使得12分14（本小題滿分14分）設函數在上是增函數.（1） 求正實數的取值范圍；（2） 設，求證：解：（1）對恒成立，對恒成立又 為所求.4分（2）取，一方面，由（1）知在上是增函數，即8分另一方面，設函數在上是增函數且在處連續，又當時， 即綜上所述，14分15(本小題滿分12分)如圖，直角坐標系中，一直角三角形，、在軸上且關于原點對稱，在邊上，的周長為12若一雙曲線以、為焦點，且經過、兩點(1) 求雙曲線的方程；(2) 若一過點（為非零常數）的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點的兩點、，且，問在軸上是否存在定點，使？若存在，求出所有這樣定點的坐標；若不存在，請說明理由解：(1) 設雙曲線的

17、方程為，則由，得，即（3分）解之得，雙曲線的方程為（5分）(2) 設在軸上存在定點，使設直線的方程為，由，得即（6分），即（8分）把代入，得（9分）把代入并整理得其中且，即且 （10分）代入，得 ，化簡得 當時，上式恒成立因此，在軸上存在定點，使（12分）16(本小題滿分14分)已知數列各項均不為0，其前項和為，且對任意都有（為大于1的常數），記(1) 求；(2) 試比較與的大小（）；(3) 求證：，（）解：(1) ，得，即（3分）在中令，可得是首項為，公比為的等比數列，（4分）(2) 由(1)可得，（5分）而，且，（）（8分）(3) 由(2)知 ，（）當時，（10分）（當且僅當時取等號）另一

18、方面，當，時，（當且僅當時取等號）（13分）（當且僅當時取等號）綜上所述，（）（14分）17（本小題滿分13分） 如圖，已知雙曲線C：的右準線與一條漸近線交于點M，F是雙曲線C的右焦點，O為坐標原點. （I）求證：； （II）若且雙曲線C的離心率，求雙曲線C的方程； （III）在（II）的條件下，直線過點A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q且P在A、Q之間，滿足，試判斷的范圍，并用代數方法給出證明.解：（I）右準線，漸近線 ， 3分 （II） 雙曲線C的方程為：7分 （III）由題意可得8分 證明：設，點 由得 與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q 11分 ，得 的取值范圍是（0，1）

19、13分18（本小題滿分13分）已知函數，數列滿足 （I）求數列的通項公式； （II）設x軸、直線與函數的圖象所圍成的封閉圖形的面積為，求； （III）在集合，且中，是否存在正整數N，使得不等式對一切恒成立？若存在，則這樣的正整數N共有多少個？并求出滿足條件的最小的正整數N；若不存在，請說明理由. （IV）請構造一個與有關的數列，使得存在，并求出這個極限值.解：（I） 1分 將這n個式子相加，得 3分 （II）為一直角梯形（時為直角三角形）的面積，該梯形的兩底邊的長分別為，高為1 6分 （III）設滿足條件的正整數N存在，則 又 均滿足條件 它們構成首項為2010，公差為2的等差數列. 設共有m

20、個滿足條件的正整數N，則，解得 中滿足條件的正整數N存在，共有495個，9分 （IV）設，即 則 顯然，其極限存在，并且10分 注：（c為非零常數），等都能使存在.19. （本小題滿分14分） 設雙曲線的兩個焦點分別為，離心率為2. （I）求此雙曲線的漸近線的方程； （II）若A、B分別為上的點，且，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；（III）過點能否作出直線，使與雙曲線交于P、Q兩點，且.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.解：（I） ，漸近線方程為4分 （II）設，AB的中點 則M的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為的橢圓.（9分） （III）假設

21、存在滿足條件的直線 設 由（i）（ii）得 k不存在，即不存在滿足條件的直線.14分20. （本小題滿分13分） 已知數列的前n項和為，且對任意自然數都成立，其中m為常數，且. （I）求證數列是等比數列； （II）設數列的公比，數列滿足：，試問當m為何值時，成立？解：（I）由已知 （2） 由得：，即對任意都成立 （II）當時， 由題意知，13分21（本小題滿分14分）（理）給定正整數和正數，對于滿足條件的所有無窮等差數列，試求的最大值，并求出取最大值時的首項和公差（文）給定正整數和正數，對于滿足條件的所有無窮等差數列，試求的最大值，并求出取最大值時的首項和公差（理）解：設公差為，則3分4分7分

22、又，當且僅當時，等號成立11分13分當數列首項，公差時，的最大值為14分（文）解：設公差為，則3分，6分又當且僅當時，等號成立11分13分當數列首項，公差時，的最大值為14分22（本小題滿分12分）垂直于x軸的直線交雙曲線于M、N不同兩點，A1、A2分別為雙曲線的左頂點和右頂點，設直線A1M與A2N交于點P（x0，y0）（）證明：（）過P作斜率為的直線l，原點到直線l的距離為d，求d的最小值.解（）證明：直線A2N的方程為 4分×，得（）10分當12分23（本小題滿分14分） 已知函數（）若（）若（）若的大小關系（不必寫出比較過程）.解：（） （）設，6分（）在題設條件下，當k為偶數

23、時當k為奇數時14分24（本小題滿分14分） 已知f(x)=(xR)在區間1，1上是增函數.（）求實數a的值組成的集合A；（）設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2.試問：是否存在實數m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|對任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.本小題主要考查函數的單調性，導數的應用和不等式等有關知識，考查數形結合及分類討論思想和靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力.滿分14分.解：（）f(x)= ，f(x)在1，1上是增函數，f(x)0對x1，1恒成立，即x2ax20對x1，1恒成立. 設(x)=x2ax2，方法一： (1)

24、=1a20， 1a1， (1)=1+a20.對x1，1，f(x)是連續函數，且只有當a=1時，f(-1)=0以及當a=1時，f(1)=0A=a|1a1. 方法二： 0， <0， 或 (1)=1+a20 (1)=1a20 0a1 或 1a0 1a1.對x1，1，f(x)是連續函數，且只有當a=1時，f(1)=0以及當a=-1時，f(1)=0A=a|1a1.（）由=，得x2ax2=0， =a2+8>0x1，x2是方程x2ax2=0的兩非零實根， x1+x2=a， 從而|x1x2|=.x1x2=2，1a1，|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1x2|對任意aA及t1，1恒成立

25、，當且僅當m2+tm+13對任意t1，1恒成立，即m2+tm20對任意t1，1恒成立. 設g(t)=m2+tm2=mt+(m22)，方法一： g(1)=m2m20， g(1)=m2+m20，m2或m2.所以，存在實數m，使不等式m2+tm+1|x1x2|對任意aA及t1，1恒成立，其取值范圍是m|m2，或m2.方法二：當m=0時，顯然不成立；當m0時， m>0， m<0， 或 g(1)=m2m20 g(1)=m2+m20 m2或m2.所以，存在實數m，使不等式m2+tm+1|x1x2|對任意aA及t-1，1恒成立，其取值范圍是m|m2，或m2.25（本小題滿分12分）如圖，P是拋物

26、線C：y=x2上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.（）若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；（）若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍.本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力.滿分12分.解：（）設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依題意x10，y1>0，y2>0.由y=x2， 得y=x.過點P的切線的斜率k切= x1，直線l的斜率kl=-，直線l的方程為yx12= (xx1)，方法一：聯立消去y，得x2+xx122=0.M是PQ的中點 x0=-， y0

27、=x12(x0x1).消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中點M的軌跡方程為y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，則x0=kl=-，x1=，將上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，PQ中點M的軌跡方程為y=x2+1(x0).（）設直線l:y=kx+b，依題意k0，b0，則T(0，b).分別過P、Q作PPx軸，QQy軸，垂足分別為P、Q，則. y=x2由 消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，則 y1y2=b2.方法一：|b|()2

28、|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正數，的取值范圍是（2，+）.方法二：=|b|=|b|.當b>0時，=b=+2>2；當b<0時，=b=.又由方程有兩個相異實根，得=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，于是k2+2b>0，即k2>2b.所以>=2.當b>0時，可取一切正數，的取值范圍是（2，+）.方法三：由P、Q、T三點共線得kTQ=KTP，即=.則x1y2bx1=x2y1bx2，即b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是b=x1x2.22=+=+2.可取一切不等于1的正數，的取值范圍是（2，+）.26（本小題滿分

29、12分）某突發事件，在不采取任何預防措施的情況下發生的概率為0.3，一旦發生，將造成400萬元的損失. 現有甲、乙兩種相互獨立的預防措施可供采用. 單獨采用甲、乙預防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，采用相應預防措施后此突發事件不發生的概率為0.9和0.85. 若預防方案允許甲、乙兩種預防措施單獨采用、聯合采用或不采用，請確定預防方案使總費用最少.（總費用=采取預防措施的費用+發生突發事件損失的期望值.）本小題考查概率的基本知識和數學期望概念及應用概率知識解決實際問題的能力，滿分12分.解：不采取預防措施時，總費用即損失期望為400×0.3=120（萬元）；若單獨采取措施甲，則

30、預防措施費用為45萬元，發生突發事件的概率為10.9=0.1，損失期望值為400×0.1=40（萬元），所以總費用為45+40=85（萬元）若單獨采取預防措施乙，則預防措施費用為30萬元，發生突發事件的概率為10.85=0.15，損失期望值為400×0.15=60（萬元），所以總費用為30+60=90（萬元）；若聯合采取甲、乙兩種預防措施，則預防措施費用為45+30=75（萬元），發生突發事件的概率為（10.9）（10.85）=0.015，損失期望值為400×0.015=6（萬元），所以總費用為75+6=81（萬元）.綜合、，比較其總費用可知，應選擇聯合采取甲、乙

31、兩種預防措施，可使總費用最少.27（本小題滿分14分）已知（I）已知數列極限存在且大于零，求（將A用a表示）；（II）設（III）若都成立，求a的取值范圍.本小題主要考查數列、數列極限的概念和數學歸納法，考查靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力，滿分14分.解：（I）由（II）（III）（i）當n=1時結論成立（已驗證）.（ii）假設當故只須證明即n=k+1時結論成立.根據（i）和（ii）可知結論對一切正整數都成立.故28（本小題滿分14分，第一小問滿分4分，第二小問滿分10分）已知，函數.()當時，求使成立的的集合；()求函數在區間上的最小值.本小題主要考查運用導數研究函數性質的方法，考

32、查分類討論的數學思想和分析推理能力. 滿分14分.解：（）由題意，.當時，解得或；當時，解得.綜上，所求解集為.（）設此最小值為.當時，在區間上，.因為 ，則在區間上是增函數，所以.當時，在區間上，由知 .當時，在區間上，. .若，在區間內，從而為區間上的增函數，由此得 .若，則. 當時，從而為區間上的增函數； 當時，從而為區間上的減函數.因此，當時，或.當時，故；當時，故.綜上所述，所求函數的最小值 29（本小題滿分14分，第一小問滿分2分，第二、第三小問滿分各6分）設數列的前項和為，已知，且，其中為常數.()求與的值；()證明：數列為等差數列；()證明：不等式對任何正整數都成立.本小題主要

33、考查等差數列的有關知識、不等式的證明方法，考查思維能力、運算能力. 解：（）由已知，得，.由，知 即 解得 ，.（）方法1由（），得 ， 所以 . -，得 ， 所以 . -，得 .因為 ，所以 .又因為 ，所以 ，即 ，.所以數列為等差數列.方法2由已知，得，又，且，所以數列是唯一確定的，因而數列是唯一確定的.設，則數列為等差數列，前項和.于是 ，由唯一性得 ，即數列為等差數列.（）由（）可知，.要證 ，只要證 .因為 ，故只要證 ，即只要證 .因為 ，所以命題得證.30（本小題滿分14分）已知橢圓的左、右焦點分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓

34、的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足 （）設為點P的橫坐標，證明； （）求點T的軌跡C的方程； （）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M， 使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，請說明理由.本小題主要考查平面向量的概率，橢圓的定義、標準方程和有關性質，軌跡的求法和應用，以及綜合運用數學知識解決問題的能力.滿分14分.（）證法一：設點P的坐標為由P在橢圓上，得由，所以 3分證法二：設點P的坐標為記則由證法三：設點P的坐標為橢圓的左準線方程為 由橢圓第二定義得，即由，所以3分（）解法一：設點T的坐標為 當時，點（，0）和點（，0）在軌跡上.當|時，由，得.又，所以T為線段

35、F2Q的中點.在QF1F2中，所以有綜上所述，點T的軌跡C的方程是7分解法二：設點T的坐標為 當時，點（，0）和點（，0）在軌跡上.當|時，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點. 設點Q的坐標為（），則因此 由得 將代入，可得綜上所述，點T的軌跡C的方程是7分 （）解法一：C上存在點M（）使S=的充要條件是 由得，由得 所以，當時，存在點M，使S=；當時，不存在滿足條件的點M.11分當時，由，得解法二：C上存在點M（）使S=的充要條件是 由得 上式代入得于是，當時，存在點M，使S=；當時，不存在滿足條件的點M.11分當時，記，由知，所以14分31（本小題滿分12分）函數在區間（0，+）內可導，

36、導函數是減函數，且 設是曲線在點（）得的切線方程，并設函數 （）用、表示m； （）證明：當； （）若關于的不等式上恒成立，其中a、b為實數， 求b的取值范圍及a與b所滿足的關系.本小題考查導數概念的幾何意義，函數極值、最值的判定以及靈活運用數形結合的思想判斷函數之間的大小關系.考查學生的學習能力、抽象思維能力及綜合運用數學基本關系解決問題的能力.滿分12分 （）解：2分 （）證明：令 因為遞減，所以遞增，因此，當； 當.所以是唯一的極值點，且是極小值點，可知的最小值為0，因此即6分 （）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立. 對任意成立的充要條件是 另一方面，由于滿足前述題設

37、中關于函數的條件，利用（II）的結果可知，的充要條件是：過點（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為于是的充要條件是10分綜上，不等式對任意成立的充要條件是 顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：不等式 有解、解不等式得 因此，式即為b的取值范圍，式即為實數在a與b所滿足的關系.12分（）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立. 對任意成立的充要條件是 8分令，于是對任意成立的充要條件是 由當時當時，所以，當時，取最小值.因此成立的充要條件是，即10分綜上，不等式對任意成立的充要條件是 顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：不等式 有解、解不等式得因此，式即為b的取值范

38、圍，式即為實數在a與b所滿足的關系.12分32（本小題滿分12分）已知數列的首項前項和為，且（I）證明數列是等比數列；（II）令，求函數在點處的導數并比較與的大小.解：由已知可得兩式相減得即從而當時所以又所以從而故總有，又從而即數列是等比數列；（II）由（I）知因為所以從而=-=由上-=12當時，式=0所以；當時，式=-12所以當時，又所以即從而33(本小題滿分14分)已知動圓過定點，且與直線相切，其中.（I）求動圓圓心的軌跡的方程；（II）設A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標.解：（I）如圖，設為動圓圓心，為記為

39、，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，所以軌跡方程為；（II）如圖，設，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設其方程為，顯然，將與聯立消去，得由韋達定理知（1）當時，即時，所以，所以由知：所以因此直線的方程可表示為，即所以直線恒過定點（2）當時，由，得=將式代入上式整理化簡可得：，所以，此時，直線的方程可表示為即所以直線恒過定點所以由（1）（2）知，當時，直線恒過定點，當時直線恒過定點.34（本小題滿分12分）已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1

40、的左、右焦點. （）求雙曲線C2的方程；（）若直線與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個不同的交點，且l與C2的兩個交點A和B滿足（其中O為原點），求k的取值范圍.解：（）設雙曲線C2的方程為，則故C2的方程為（II）將由直線l與橢圓C1恒有兩個不同的交點得即 .由直線l與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A，B得 解此不等式得 由、得故k的取值范圍為35（本小題滿分12分）數列an滿足.（）用數學歸納法證明：；（）已知不等式，其中無理數e=2.71828.（）證明：（1）當n=2時，不等式成立.（2）假設當時不等式成立，即那么. 這就是說，當時不等式成立.根據（1）、（2）可知：成立.（）證法一：由遞推

41、公式及（）的結論有 兩邊取對數并利用已知不等式得 故 上式從1到求和可得即（）證法二：由數學歸納法易證成立，故令取對數并利用已知不等式得 上式從2到n求和得 因故成立.36（本小題滿分12分）已知數列（1）證明（2）求數列的通項公式an.解：（1）方法一 用數學歸納法證明：1°當n=1時， ，命題正確.2°假設n=k時有 則 而又時命題正確.由1°、2°知，對一切nN時有方法二：用數學歸納法證明：1°當n=1時，； 2°假設n=k時有成立， 令，在0，2上單調遞增，所以由假設有：即也即當n=k+1時 成立，所以對一切 （2）下面來求數

42、列的通項：所以,又bn=1，所以37（本小題滿分14分）如圖，設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB.解：（1）設切點A、B坐標分別為，切線AP的方程為： 切線BP的方程為：解得P點的坐標為：所以APB的重心G的坐標為 ，所以，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為： （2）方法1：因為由于P點在拋物線外，則同理有AFP=PFB.方法2：當所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為：即所以P點到直線BF的距離為：所以d1=d2，即得AFP=PFB.當時，直線

43、AF的方程：直線BF的方程：所以P點到直線AF的距離為：，同理可得到P點到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.38（本小題滿分12分）設A、B是橢圓上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點. （）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由. （此題不要求在答題卡上畫圖）本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識以及推理運算能力和綜合解決問題的能力. （）解法1：依題意，可設直線AB的方程為，整理得 設是方程的兩個不同的根， 且由N（1，3）是線段AB的中點，得 解得k=1，代入得，的取值范圍是（12，+）. 于是，直線AB的方程為 解法2：設則有 依題意，N（1，3）是AB的中點， 又由N（1，3）在橢圓內，的取值范圍是（12，+）.直