1、.隨機信號分析實驗報告（基于MATLAB語言） 姓名： 班級： 學號：隨機信號分析實驗報告基于MATLAB語言姓 名 ： _ 班 級 ： _ 學 號 ： 專 業 ： 目錄實驗一 隨機序列的產生及數字特征估計 2實驗目的2實驗原理2實驗內容及實驗結果3實驗小結6實驗二 隨機過程的模擬與數字特征7實驗目的7實驗原理7實驗內容及實驗結果8實驗小結11實驗三 隨機過程通過線性系統的分析12實驗目的12實驗原理12實驗內容及實驗結果13實驗小結17實驗四 窄帶隨機過程的產生及其性能測試18實驗目的18實驗原理18實驗內容及實驗結果18實驗小結23實驗總結23實驗一 隨機序列的產生及數字特征估計實驗目的1

2、. 學習和掌握隨機數的產生方法。2. 實現隨機序列的數字特征估計。實驗原理1. 隨機數的產生隨機數指的是各種不同分布隨機變量的抽樣序列（樣本值序列）。進行隨機信號仿真分析時，需要模擬產生各種分布的隨機數。在計算機仿真時，通常利用數學方法產生隨機數，這種隨機數稱為偽隨機數。偽隨機數是按照一定的計算公式產生的，這個公式稱為隨機數發生器。偽隨機數本質上不是隨機的，而且存在周期性，但是如果計算公式選擇適當，所產生的數據看似隨機的，與真正的隨機數具有相近的統計特性，可以作為隨機數使用。(0,1)均勻分布隨機數是最最基本、最簡單的隨機數。(0,1)均勻分布指的是在0,1區間上的均勻分布， U(0,1)。即

3、實際應用中有許多現成的隨機數發生器可以用于產生(0,1)均勻分布隨機數，通常采用的方法為線性同余法，公式如下：y0=1，yn=kynmod Nxn=ynN序列xn為產生的(0,1)均勻分布隨機數。定理1.1 若隨機變量X 具有連續分布函數Fxx，而R 為(0,1)均勻分布隨機變量，則有X=Fx-1R2. MATLAB中產生隨機序列的函數(1) (0,1)均勻分布的隨機序列函數：rand用法：x = rand(m,n)功能：產生m×n 的均勻分布隨機數矩陣。(2) 正態分布的隨機序列函數：randn用法：x = randn(m,n)功能：產生m×n 的標準正態分布隨機數矩陣。

4、如果要產生服從N,2分布的隨機序列，則可以由標準正態隨機序列產生。(3) 其他分布的隨機序列分布函數分布函數二項分布binornd指數分布exprnd泊松分布poissrnd正態分布normrnd離散均勻分布unidrnd瑞利分布raylrnd均勻分布unifrndX2分布chi2rnd3. 隨機序列的數字特征估計對于遍歷過程，可以通過隨機序列的一條樣本函數來獲得該過程的統計特征。這里我們假定隨機序列X(n)為遍歷過程，樣本函數為x(n)，其中n=0,1,2,N-1。那么，X(n)的均值、方差和自相關函數的估計為mX=1Nn=0N-1xnX2=1N-1n=0N-1xn-mX2RXm=1N-mn

5、=0N-1xnxn+m m=0,±1,±2利用MATLAB的統計分析函數可以分析隨機序列的數字特征。(1) 均值函數函數：mean用法：m = mean(x)功能：返回按1.3式估計X(n)的均值，其中x為樣本序列x(n)。(2) 方差函數函數：var用法：sigma2 = var(x)功能：返回按（1.4）式估計X(n)的方差，其中x為樣本序列x(n)，這一估計為無偏估計。(3) 互相關函數函數：xcorr用法：c = xcorr(x,y)c = xcorr(x)c = xcorr(x,y,'opition')c = xcorr(x,'opitio

6、n')功能：xcorr(x,y)計算X(n)與Y(n)的互相關，xcorr(x)計算X(n)的自相關。option 選項可以設定為：'biased' 有偏估計'unbiased' 無偏估計'coeff' m = 0 時的相關函數值歸一化為1'none' 不做歸一化處理實驗內容及實驗結果1. 采用線性同余法產生均勻分布隨機數1000個，計算該序列均值和方差與理論值之間的誤差大小。改變樣本個數重新計算。程序代碼：y=1;k=7;N=1010;xn=;for i=1:1000 y=mod(y*k,N); x=y/N; xn=xn

7、 x;endm=mean(xn)n=var(xn)me=0.5-mne=1/12-n實驗結果：m = 0.4813n = 0.0847me= 0.0187ne= -0.0013改變樣本數量重新計算：（理論值 m=0.5 n=1/12）樣本數量m誤差n誤差1000.41640.08360.09010.00685000.46680.03320.08590.002610000.48130.01870.08470.0013100000.49730.00270.08480.0015500000.50090.00090.08370.00041000000.49960.00040.08360.00032.

8、參數為的指數分布的分布函數為FXx=1-e-x利用反函數法產生參數為0.5的指數分布隨機數1000個，測試其方差和相關函數。程序代碼：j=1:1999;y=1;k=7;N=1010;xn=;for i=1:1000 y=mod(y*k,N); x=y/N; xn=xn x;endy=(-2)*log(1-xn);n=var(y)c=xcorr(y,'coeff');plot(j-1000,c);實驗結果：方差 n=3.7596自相關函數：3. 產生一組N(1,4)分布的高斯隨機數（1000個樣本），估計該序列的均值、方差、和相關函數。程序代碼：i=1:1000;j=1:1999

9、;x=normrnd(1,2,1,1000);m=mean(x)n=var(x)c=xcorr(x,'coeff');subplot(211);plot(i,x);title(隨機序列);subplot(212);plot(j-1000,c);title(自相關函數);實驗結果：均值 m=1.0082方差 n=3.8418實驗小結本次實驗對隨機數的生成做了練習。具體來說，包括線性同余法，生成已知分布函數的隨機數，rand函數等，還有就是有關均值、方差、相關的調用函數。實驗二 隨機過程的模擬與數字特征實驗目的1. 學習利用 MATLAB模擬產生隨機過程的方法。2. 熟悉和掌握特征

10、估計的基本方法及其 MATLAB實現。實驗原理1. 正態分布白噪聲序列的產生MATLAB提供了許多產生各種分布白噪聲序列的函數，其中產生正態分布白噪聲序列的函數為randn。函數：randn用法：x = randn(m,n)功能：產生 m×n的標準正態分布隨機數矩陣。如果要產生服從 N(,2)分布的隨機序列，則可以由標準正態隨機序列產生。如果 XN0,1,則+XN,。2. 相關函數估計MATLAB提供了函數 xcorr用于自相關函數的估計。函數：xcorr用法：c = xcorr(x,y) c = xcorr(x) c = xcorr(x,y,'opition') c

11、 = xcorr(x,'opition')功能：xcorr(x,y)計算 X (n)與 Y(n)的互相關，xcorr(x)計算 X (n)的自相關。Option 選項可以設定為： 'biased' 有偏估計。'unbiased' 無偏估計。 'coeff' m =0時的相關函數值歸一化為1。'none' 不做歸一化處理。3. 功率譜估計對于平穩隨機序列 X (n)，如果它的相關函數滿足m=-+RXm<那么它的功率譜定義為自相關函數RXm的傅里葉變換：SX=m=-+RXme-jm功率譜表示隨機信號頻域的統計特性

12、，有著重要的物理意義。我們實際所能得到的隨機信號的長度總是有限的，用有限長度的信號所得的功率譜只是真實功率譜的估計，稱為譜估計或譜分析。功率譜估計的方法有很多種，以下是兩種通用譜估計方法。(1) 自相關法先求自相關函數的估計RXm，然后對自相關函數做傅里葉變換。SX=m=-N-1N-1RXme-jm其中N表示用于估計樣本序列的樣本個數。(2) 周期圖法先對樣本序列 x(n)做傅里葉變換X=n=0N-1xne-jm其中0nN-1，則功率譜估計為SX=1NX2MATLAB函數 periodogram實現了周期圖法的功率譜估計。函數：periodogram用法：Pxx,w = periodogram

13、(x) Pxx,w = periodogram(x,window) Pxx,w = periodogram(x,window,nfft) Pxx,f = periodogram(x,window,nfft,fs) periodogram(.)功能：實現周期圖法的功率譜估計。其中：Pxx為輸出的功率譜估計值；f為頻率向量；w為歸一化的頻率向量；window代表窗函數，這種用法種對數據進行了加窗，對數據加窗是為了減少功率譜估計中因為數據截斷產生的截斷誤差，表 2.1列出了產生常用窗函數的 MATLAB函數窗函數MATLAB函數窗函數MATLAB函數矩形窗boxcarBlackman窗blackma

14、n三角窗triangChebyshev窗chebwinHanning窗hannBartlett窗bartlettHamminghammingKaiser窗kaisernfft設定 FFT算法的長度；fs表示采樣頻率；如果不指定輸出參數（最后一種用法），則直接會出功率譜估計的波形。實驗內容及實驗結果1. 按如下模型產生一組隨機序列xn=0.8xn-1+n其中n是均值為1，方差為4的正態分布白噪聲序列。估計過程的自相關函數和功率譜。程序代碼：w=normrnd(1,4,1,1024);x(1)=w(1);i=2;while i<1025x(i)=0.8*x(i-1)+w(i);i=i+1;e

15、ndR=xcorr(x);S,W=periodogram(x);subplot(3,1,1); plot(x);title('x(n)');axis tight;subplot(3,1,2); plot(R);title('R(m)');axis tight;subplot(3,1,3); plot(S);title('S(W)');axis tight;實驗結果：2. 設信號為xn=sin2f1n+2cos2f2n+n其中f1=0.05，f2=0.12，n為正態分布白噪聲序列，試在N=256和N=1024點時，分別產生隨機序列xn，畫出xn的波

16、形并估計xn的相關函數和功率譜。N=256：程序代碼：N=256;n=1:1:N;w=randn(1,N);f1=0.05;f2=0.12;x=sin(2*pi*f1*n)+2*cos(2*pi*f2*n)+w(n);R=xcorr(x);S,W=periodogram(x);subplot(3,1,1); plot(x);title('x(n)');axis tight;subplot(3,1,2); plot(R);title('R(m)');axis tight;subplot(3,1,3); plot(S);title('S(W)');a

17、xis tight;實驗結果：N=1024：程序代碼：N=1024;n=1:1:N;w=randn(1,N);f1=0.05;f2=0.12;x=sin(2*pi*f1*n)+2*cos(2*pi*f2*n)+w(n);R=xcorr(x);S,W=periodogram(x);subplot(3,1,1); plot(x);title('x(n) N=256');axis tight;subplot(3,1,2); plot(R);title('R(m) N=256');axis tight;subplot(3,1,3); plot(S);title('

18、;S(W) N=256');axis tight; 實驗結果：實驗小結本次實驗對隨機序列的產生進行了復習，對自相關函數與功率譜密度的產生進行了練習。并且驗證了自相關函數與功率譜密度呈傅立葉變換關系。實驗三 隨機過程通過線性系統的分析實驗目的1. 理解和分析白噪聲通過線性系統后輸出的特性。2. 學習和掌握隨機過程通過線性系統后的特性，驗證隨機過程的正態化問題。實驗原理1. 白噪聲通過線性系統設連續線性系統的傳遞函數為H或Hs，輸入白噪聲的功率譜密度為SX=N02，那么系統輸出的功率譜密度為SY=H2N02輸出自相關函數為RY=N04-+H2e-jd輸出相關系數為Y=RYRY0輸出相關時間

19、為0=0Yd輸出平均功率為EY2=N020H2d上述式子表明，若輸入端是具有均勻譜的白噪聲，則輸出端隨機信號的功率譜主要由系統的幅頻特性H決定，不再是常數。2. 等效噪聲帶寬在實際中， 常常用一個理想系統等效代替實際系統的H()，因此引入了等效噪聲帶寬的概念，他被定義為理想系統的帶寬。等效的原則是，理想系統與實際系統在同一白噪聲的激勵下，兩個系統的輸出平均功率相等，理想系統的增益等于實際系統的最大增益。實際系統的等效噪聲帶寬為e=1Hmax20H2d或e=12jHmax2-jjHsH-sds3. 線性系統輸出端隨機過程的概率分布(1) 正態隨機過程通過線性系統若線性系統輸入為正態過程，則該系統

20、輸出仍為正態過程。(2) 隨機過程的正態化隨機過程的正態化指的是，非正態隨機過程通過線性系統后變換為正態過程。任意分布的白噪聲通過線性系統后輸出是服從正態分布的；寬帶噪聲通過窄帶系統，輸出近似服從正態分布。實驗內容及實驗結果設白噪聲通過圖 3.1所示的 RC電路，分析輸出的統計特性。圖3.1 RC電路(1) 試推導系統輸出的功率譜密度、相關函數、相關時間和系統的等效噪聲帶寬。經計算，結果如下：傳輸函數H（）=11+jRC輸出功率譜密度S()=N2+22R2C2輸出自相關函數為：RY=N0b4e-b其中b=1RC相關時間為：0=1b=RC等效噪聲帶寬為：e=0b2b2+2d=2b=2RC若輸入為

21、高斯白噪聲，則輸出均值為0，方差2=R0=N0b4，服從高斯分布，概率密度函數為：fYy=2bN0exp-2y2bN0(2) 采用Matlab模擬正態分布白噪聲通過上述RC電路，觀察輸入和輸出的噪聲波形以及輸出噪聲的概率密度。程序代碼：R=10; C=0.1; b=1/(R*C); n=1:1:128;h=b*exp(-n*b); x=randn(1,4096); y=conv(x,h); fy yi=ksdensity(y); subplot(3,1,1)plot(x);axis tight; title('x(n)');subplot(3,1,2)plot(y);axis

22、tight; title('y(n)');subplot(3,1,3)plot(fy);axis tight; title('fy');運行結果：(3) 模擬產生均勻分布的高斯白噪聲通過上述RC電路，觀察輸入和輸出的噪聲波形以及輸出噪聲的概率密度。程序代碼：R=10;C=0.1;b=1/(R*C);n=1:1:256;h=b*exp(-n*b);x=rand(1,1024);x=x-0.5;y=conv(h,x);fy yi=ksdensity(y);subplot(3,1,1);plot(x);title('x(n)');axis tight;

23、subplot(3,1,2); plot(y); title('y(n)');axis tight;subplot(3,1,3); plot(fy); title('fy'); axis tight;運行結果：(4) 改變RC電路的參數（電路的RC值），重做（2）和（3），與之前的結果進行比較。a) 改變RC的值為10000 0.1高斯輸入：均勻分布輸入：b) 改變RC的值為 10 0.001高斯輸入：均勻分布輸入：實驗小結若線性系統輸入為正態過程，則該系統輸出仍為正態過程。 非正態隨機過程通過線性系統后變換為正態過程。任意分布的白噪聲通過線性系統后輸出是服從正

24、態分布的；寬帶噪聲通過窄帶系統，輸出近似服從正態分布。 低通系統通帶過窄時，輸出與輸入差別很大，因為只有低頻可以通過，高頻量被抑制了。實驗四 窄帶隨機過程的產生及其性能測試實驗目的1. 理解和分析白噪聲通過線性系統后輸出的特性。2. 掌握窄帶隨機過程的特性，包括均值（數學期望）、方差、相關函數及功率譜密度等。實驗原理1. 窄帶隨機過程的萊斯表達式任何一個實平穩窄帶隨機過程X (t)都可以表示為Xt=atcos0t-btsin0t上式稱為萊斯表達式，根據上式可以模擬產生窄帶隨機過程，具體過程如圖4.1 所示。圖4.1 窄帶隨機過程的產生2. 窄帶隨機過程包絡與相位的概率密度包絡的概率密度為fAA

25、t=At2exp-At222,At0，服從瑞利分布。相位的概率密度為ft=12,0t2，呈均勻分布。3. 窄帶隨機過程包絡平方的概率密度包絡平方的概率密度為fUut=122exp-ut222,ut0，為指數概率密度函數。實驗內容及實驗結果1. 按圖4.1所示結構框圖，基于隨機過程的萊斯表達式，用MATLAB產生一滿足條件的窄帶隨機過程。程序代碼n=1:1:1024;h=exp(-n);c1=randn(1,1024);a=conv(c1,h);c2=randn(1,1024);b=conv(c2,h);fc=10000;i=1;x=zeros(1,1024);while i<1025x(

26、i)=a(i)*cos(2*pi*fc*i)-b(i)*sin(2*pi*fc*i);i=i+1;endplot(x);title('x');axis tight;實驗結果2. 畫出該隨機過程的若干次實現，觀察其形狀。實驗結果3. 編寫MATLAB程序計算該隨機過程的均值函數、自相關函數、功率譜、包絡、包絡平方及相位的一維概率密度，畫出相應的圖形并給出解釋。程序代碼：n=1:1:1024;h=exp(-n);c1=randn(1,1024);a=conv(c1,h);c2=randn(1,1024);b=conv(c2,h);fc=10000;i=1;x=zeros(1,1024);while i<1025x(i)=a(i)*cos(2*pi*fc*i)-b(i)*sin(2*pi*fc*i);i=i+1;endsubplot(3,2,1);plot(x);title('x');axis tight;%-均值&自相關函數-m=mean(x)R=xcorr(x);subplot(3,2,2);plot(R);title('R(x)');axis tight;%-功率譜密度-S,w=periodogram(x);subplot(3,2,3);plot(S);title('S(w