1、 第第1章章 模態分析理論基模態分析理論基礎礎主講人：主講人：研究生課程研究生課程tjFetf)(tjXetx)(振動系統振動系統離散系統（有限自由度）連續系統（無限自由度）連續時間系統離散時間系統空間角度空間角度時間角度時間角度空間離散的連續時間系統空間離散的連續時間系統n振動分析的振動分析的“理論路線理論路線”n物理模型物理模型以質量、剛度和阻尼為參數的關于位移的振動微分方程n模態模型模態模型一系列固有頻率及相應的模態阻尼系數和模態振型。n響應模型響應模型一系列響應函數組成n在理論分析中，首先從物理模型開始最終到非參數模型。n在實驗分析中，首先從特性開始，最終推求物理模型。)()()()(

2、tftxktxctxm 物理參數模型物理參數模型)()()()(tftxktxctxm 0 kxxm txtxtxsin)0(cos)0()()cos()(tAtx另一種形式另一種形式)cos(tAx)0()0(arctg)0()0(22xxxxA兩種形式描述的物兩種形式描述的物塊振動，稱為無阻塊振動，稱為無阻尼自由振動，簡稱尼自由振動，簡稱自由振動。自由振動。 無阻尼的自由振動是以其靜平衡位置為振動中心的無阻尼的自由振動是以其靜平衡位置為振動中心的簡諧振動簡諧振動 初相位角 振 幅)()()()(tftxktxctxm 0kxxcxm 02kcm0222122, 1tAex衰減系數：固有頻率

3、：阻尼比：mc2mk122, 11. 1. 欠阻尼系統欠阻尼系統( (undercritically-damped system) )1dii222, 11)1()exp(sincos)(21ttAtAtxdd0kxxcxm 22, 11i)0(1xA dxxA)0()0(2)cos()exp()(ttAtxd2120020dxxxA0001tanxxxd)cos()exp()(ttAtxd1. 表示初始幅值為A的自由衰減振動響應，振動的周期為Td；2.阻尼對頻率或周期的影響；3.阻尼對振幅的影響；)/2exp(1dnnxx122, 12. 2. 臨界阻尼系統臨界阻尼系統( (critical

4、ly-damped system) )121)exp()(tBtAtx122, 13. 3. 過界阻尼系統過界阻尼系統(over(overcritically-damped system) )1122, 1)exp(sincos)(ttBtAtxn設系統作用簡諧激勵：設系統作用簡諧激勵：n穩態位移響應：穩態位移響應：n穩態速度響應：穩態速度響應：n穩態加速度響應：穩態加速度響應：( )ej tf tFej txXej txj X22()eej tj txjXX tjFetxktxctxm)()()( FXcjmk)(2振動微分方程：振動微分方程：n位移頻響函數位移頻響函數: 為穩態位移響應與激

5、勵幅值之比：為穩態位移響應與激勵幅值之比：21( )XHFkmj c2( )VVjXjHFFkmj c22( )AAj VHFFkmj c 頻響函數頻響函數n 加速度頻響函數加速度頻響函數：n 速度頻響函數：速度頻響函數：n頻響函數的倒數稱為頻響函數的倒數稱為阻抗阻抗n位移阻抗：位移阻抗：n速度阻抗：速度阻抗：n加速度阻抗：加速度阻抗：2( )FZkmj cX( )VFkZcj mVj2( )AFkcZmAj 單自由度系統，承受單位脈沖荷載單自由度系統，承受單位脈沖荷載 (t)時，響應為時，響應為h(t)單位脈沖響應函數（脈沖響應函數）單位脈沖響應函數（脈沖響應函數）( )mxcxkxt單位脈

6、沖激勵可以用單位脈沖函數（狄拉克單位脈沖激勵可以用單位脈沖函數（狄拉克 函數）函數） 000)(ttt1)( dtt0) 0 (xmx/ 1) 0(temthdtdsin1)(脈沖響應函數：脈沖響應函數：)()()()(tftxktxctxm cimkH21)()()()(FHX定義：(1)簡諧激勵時，穩態輸出相量與輸入幅值之比。(2)瞬態激勵時，輸出的傅里葉變換與輸入的傅里葉變換之比。(3)平穩隨機激勵時，輸出和輸入的互譜與輸入的自譜之比。dtethHti)()(dteHthti)(21)(n頻響函數頻響函數H( )是是脈沖響應函數脈沖響應函數h(t)的傅里葉變換的傅里葉變換n若系統的激勵為

7、若系統的激勵為n已知此時系統穩態輸出為已知此時系統穩態輸出為n因此因此n脈沖響應函數與頻響函數一樣是反映振動系統動態特性的量，頻脈沖響應函數與頻響函數一樣是反映振動系統動態特性的量，頻響函數在頻域內描述系統固有特性，而脈沖響應函數在時域內描響函數在頻域內描述系統固有特性，而脈沖響應函數在時域內描述系統固有特性。述系統固有特性。( )( )*( )() ( )d() ( )dx th tf th tff thjj( )e( ) ettx tXHFj()j-j( )() ( )de( )de( )edttx tf thFhFh-j( )( )edHh( )( )h tH線性系統的輸入與輸出關系線性

8、系統的輸入與輸出關系( )ej tf tFn根據傅里葉變換時域卷積性質，在時域的卷積在頻根據傅里葉變換時域卷積性質，在時域的卷積在頻域應為乘積域應為乘積( )( )*( )x th tf t( )( ) ( )XHF單位力作用下單位力作用下的系統時域與的系統時域與頻域的響應頻域的響應 簡諧激勵簡諧激勵下，頻響函數定義為系統的穩態響應幅值與激勵下，頻響函數定義為系統的穩態響應幅值與激勵的幅值之比的幅值之比( )XHF 瞬態激勵瞬態激勵f(t)下響應為下響應為x(t) ，一般可做傅里葉變換，一般可做傅里葉變換 系統在瞬態激勵下的頻響函數定義為在響應與激勵的傅里葉系統在瞬態激勵下的頻響函數定義為在響

9、應與激勵的傅里葉變換之比變換之比()F( )Ff t()F ( )Xx t( )( ) ( ) XHF 周期激勵周期激勵f(t)（周期為（周期為T）作用下，穩態位移響應為周期）作用下，穩態位移響應為周期T的函數的函數x(t)，都可寫為傅里葉級數的形式都可寫為傅里葉級數的形式系統在周期激勵下的頻響函數定義為在各倍頻點上穩態響應幅值與激勵系統在周期激勵下的頻響函數定義為在各倍頻點上穩態響應幅值與激勵的幅值之比的幅值之比( )XHF0022( )()e1()( )ejktkkTjktTkf tFFf tdtT0022( )()e1()( )ejktkkTjktTkx tXXx tdtT()() ()

10、 (1,2,)kkkXHFk 隨機振動中，隨機振動中，無論是激勵和響應信號都不能進行傅里葉變換，只能無論是激勵和響應信號都不能進行傅里葉變換，只能用概率統計方法來處理。頻響函數定義為輸出與輸入的互功率譜與用概率統計方法來處理。頻響函數定義為輸出與輸入的互功率譜與輸入的自功率譜之比輸入的自功率譜之比( )( ) ( )xfffGHGn由頻響函數表達式由頻響函數表達式n可得頻響函數復指數形式可得頻響函數復指數形式 21( )XHFkmj c22222112( )e , arctan1(1)4iHk 幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性 基本表達式基本表達式n頻響函數表示成復數形式：頻響函數表示成復數形

11、式：n其中其中 ( )( )( )RIHHjH2222211( )(1)4RHk 實頻特性實頻特性虛頻特性虛頻特性222212( )(1)4IHk 直角坐標表達式（復數形式）直角坐標表達式（復數形式）對于任一對于任一 ，根據上式可計算得到對應的一對，根據上式可計算得到對應的一對HR( )、 HI( )值，值，從而得到復平面上的一條矢量。從而得到復平面上的一條矢量。 從從0變到變到，矢端將畫出變化，矢端將畫出變化過程的軌跡，該軌跡過程的軌跡，該軌跡近似近似為一個圓。（為一個圓。（Nyquist圖）圖）22211( )( )44RIHHkk 222212( )(1)4IHk 2222211( )(

12、1)4RHk 矢量表達式矢量表達式n頻響函數表示成矢量形式：頻響函數表示成矢量形式： jHiHHIRin其中其中)()()()(tftKtCtMxxx nnnnnnmmmmmmmmmM212222111211nnnnnncccccccccC212222111211nnnnnnkkkkkkkkkK2122221112110 xKxM)()(tt 頻率：頻率：tjetXx)(0XMK)(20MK2特解特解該方程有非零解的該方程有非零解的充要條件是其系數充要條件是其系數矩陣行列式為零矩陣行列式為零頻率方程頻率方程特征方程特征方程設無重根，解得設無重根，解得 的的n個互異正根個互異正根 0i，稱為無阻

13、尼系統的固有頻率。，稱為無阻尼系統的固有頻率。即即特征方程的特征值特征方程的特征值.對一個具有n個自由度的系統，可以得到一個關于頻率的n次代數方程，方程的n個根表示體系可能存在的n個振型對應的頻率。具有最低頻率的陣型稱之為第一階振型，第二低頻率對應的振型為第二階振型。0MK2n0020100 xKxM)()(tt 振型分析：振型分析：0XMK)(20XMKii)(201.特征向量，或振型，特征向量，或振型，一般用一般用i來表示；來表示；2.對對n自由度系統，自由度系統，n個個振型；振型；nnnnnnn21222121211121tjetXx)(模態矩陣模態矩陣振型正交性：振型正交性：iiiMK

14、20jjjMK20iTjiiTjMK20jTijjTiMK200)(2020iTjjiM0iTjM0iTjK0iTjM當當i=j時，定義時，定義模態質量模態質量（主質量）（主質量）iTiimM0iTjK當當i=j時，定義時，定義模態剛度模態剛度（主剛度）（主剛度）iTiikMjikjiKjimjiiiTjiiTj00M振型正交性：振型正交性：第第j階模態慣性力在第階模態慣性力在第i階模態階模態運動中做功為零；第運動中做功為零；第j階模態階模態彈性力在第彈性力在第i階模態運動中做階模態運動中做功為零。功為零。模態質量與模態剛度：模態質量與模態剛度：iiTimMiiTikKiiiTiiTiimkM

15、K20)(00000021inTmdiagmmmM)(00000021inTkdiagkkkK模態質量矩陣模態質量矩陣模態剛度矩陣模態剛度矩陣頻響函數：頻響函數：)()()(tttfxKxM FX )(2MKniiiTiimk12)(HMKH21)(頻響函數矩陣頻響函數矩陣的模態展式的模態展式tjXetf)(脈沖響應函數：脈沖響應函數：niiTiiimHth122011)()(-FniiiTiimk12)(H多自由度粘性阻尼系統的運動方程：多自由度粘性阻尼系統的運動方程： ( )MxCxKxf t CMK1 nrrrxq111 ( )nnnrrrrrrrrrMqCqKqf t, 1,2,iqi

16、n其中：其中：進行坐標變換，設物理坐標系中矢量進行坐標變換，設物理坐標系中矢量x在模態坐標系中在模態坐標系中的坐標為：的坐標為：nms第第s階模態質量階模態質量nks第第s階模態剛度階模態剛度ncs第第s階模態阻尼系數階模態阻尼系數nqs第第s階模態坐標階模態坐標111 ( )nnnrrrrrrrrrMqCqKqf t ( )Tsssssssm qc qk qf tssscmk ( ) ej tf tFej tssqQ左乘左乘 sT令令 則 n不考慮起始條件，可得位移響應：不考慮起始條件，可得位移響應：22()e e j tTj tsssssTsssssmj ck QFFQmj ck11 ee

17、nnj tj trrrrrrxXqQ12211 TnnrrrrrrrrrnXXXQFmj ckX2211 12TTnnrrrrrrrrrrrrrFFXmj ckkj rr21 12TnrrrrrFXkj 21 12rrrYkj 1 nTrrrrXHYF位移響應位移響應頻響函數頻響函數211( )NNirjrijrirjrrrrrrHYkmj c 物理意義為：在物理意義為：在j點作用單位力時，在點作用單位力時，在i點點引起的響應引起的響應頻響函數頻響函數脈沖響應函數：脈沖響應函數：脈沖響應函數的傅氏變換脈沖響應函數的傅氏變換 頻響函數與模態參數的關系頻響函數與模態參數的關系n頻響函數矩陣中任一行

18、為頻響函數矩陣中任一行為 如果在結構上的某一固定點如果在結構上的某一固定點i點拾振，輪流激勵所有點，即點拾振，輪流激勵所有點，即可求得可求得H中的一行。中的一行。（單點拾振法單點拾振法）1211211221 NTiiiNrirrrNrirrrNrrNirrrNrrrrrHHHYYkmj c n頻響函數矩陣中任一列為頻響函數矩陣中任一列為 如果在結構上的某一固定點如果在結構上的某一固定點j點激振，在其他各點拾振，即點激振，在其他各點拾振，即可求得可求得H中的一列。（中的一列。（單點激勵法單點激勵法）111222211 jrrNNjjrrrrjrrrrrrNrNrNjHHYkmj cH 頻響函數與模態參數的關系頻響函數與模態參數的關系 頻響函數圖像頻響函數圖像n頻響函數表達式頻響函數表達式 n頻響函數的圖像可以看作為一系列單自由度系統的頻響頻響函數的圖像可以看作為一系列單自由度系統的頻響函數曲線的迭加。函數曲線的迭加。2111( )NNNirjrijrirjrrijrrrrrrHYHkmj c 1234523456F11234512345123451234512345模態階數模態階數12345頻率(Hz)34.4994100.6979 158.7263203.88