1、3.3.1幾何概型【明目標、知重點】1了解幾何概型的定義及其特點 2了解幾何概型與古典概型的區(qū)別3會用幾何概型的概率計算公式求幾何概型的概率【填要點、記疑點】1幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型2幾何概型的特點(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個 (2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等3幾何概型的概率公式 P(A).【探要點、究所然】情境導學在現(xiàn)實生活中，常常會遇到試驗的所有可能結(jié)果是無窮多的情況，例如：一個正方形方格內(nèi)有一內(nèi)切圓，往這個方格中投一個石子，求石子落在圓內(nèi)的概率，由于石子可能

2、落在方格中的任何一點，這個實驗不能用古典概型來計算事件發(fā)生的概率對此，我們必須學習新的方法來解決這類問題探究點一幾何概型的概念思考1計算隨機事件發(fā)生的概率，我們已經(jīng)學習了哪些方法？ 答(1)通過做試驗或計算機模擬，用頻率估計概率；(2)利用古典概型的概率公式計算思考2某班公交車到終點站的時間可能是11：3012：00之間的任何一個時刻；往一個方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一點上這兩個試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個，還是無限個？若沒有人為因素，每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相等？答出現(xiàn)的結(jié)果是無限個；每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的思考3下圖中有兩個轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當指針指向B區(qū)

3、域時，甲獲勝，否則乙獲勝你認為甲獲勝的概率分別是多少？答以轉(zhuǎn)盤(1)為游戲工具時，甲獲勝的概率為；以轉(zhuǎn)盤(2)為游戲工具時，甲獲勝的概率為.思考4上述每個扇形區(qū)域?qū)膱A弧的長度(或扇形的面積)和它所在位置都是可以變化的，從結(jié)論來看，甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的哪個因素有關？哪個因素無關？答與扇形的弧長(或面積)有關，與扇形區(qū)域所在的位置無關思考5玩轉(zhuǎn)盤游戲中所求的概率就是幾何概型，你能給幾何概型下個定義嗎？參照古典概型的特征，幾何概型有哪兩個基本特征？答如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型；幾何概型的基本特征

4、：(1)可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；(2)每個結(jié)果發(fā)生的可能性相等思考6古典概型和幾何概型有什么相同點和不同點？答相同點：兩者基本事件發(fā)生的可能性都是相等的；不同點：古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型要求基本事件有無限多個. 例1判斷下列試驗中事件A發(fā)生的概型是古典概型，還是幾何概型(1)拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個“4點”的概率；(2)思考3中，求甲獲勝的概率解(1)拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6×636種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；(2)游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域面積有關

5、，因此屬于幾何概型反思與感悟判斷一個概率是古典概型還是幾何概型的步驟：(1)判斷一次試驗中每個基本事件發(fā)生的概率是否相等，若不相等，那么這個概率既不是古典概型也不是幾何概型；(2)如果一次試驗中每個基本事件發(fā)生的概率相等，再判斷試驗結(jié)果的有限性，當試驗結(jié)果有有限個時，這個概率是古典概型；當試驗結(jié)果有無限個時，這個概率是幾何概型跟蹤訓練1判斷下列試驗是否為幾何概型，并說明理由：(1)某月某日，某個市區(qū)降雨的概率(2)設A為圓周上一定點，在圓周上等可能地任取一點與A連接，求弦長超過半徑的概率解(1)不是幾何概型，因為它不具有等可能性；(2)是幾何概型，因為它具有無限性與等可能性探究點二幾何概型的概

6、率公式問題對于具有幾何意義的隨機事件，或可以化歸為幾何問題的隨機事件，一般都有幾何概型的特性，那么，對于屬于幾何概型的試驗，如何求某一事件的概率？有沒有求幾何概型的概率公式呢？思考1有一根長度為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段的長度都不小于1 m的概率是多少？你是怎樣計算的？答從每一個位置剪斷都是一個基本事件，剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點如上圖，記“剪得兩段的長都不小于1 m”為事件A.把繩子三等分，于是當剪斷位置處在中間一段上時，事件A發(fā)生由于中間一段的長度等于繩長的，于是事件A發(fā)生的概率P(A).思考2射箭比賽的箭靶涂有五個彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)依次為白色、

7、黑色、藍色、紅色，靶心是金色，金色靶心叫“黃心”奧運會射箭比賽的靶面直徑是122 cm，黃心直徑是12.2 cm，運動員在距離靶面70 m外射箭假設射箭都等可能射中靶面內(nèi)任何一點，那么如何計算射中黃心的概率？答如右圖，由于中靶點隨機地落在面積為××1222 cm2的大圓內(nèi)，若要射中黃心，則中靶點落在面積為××12.22 cm2的圓內(nèi)，所以P0.01.思考3在裝有5升純凈水的容器中放入一個病毒，現(xiàn)從中隨機取出1升水，那么這1升水中含有病毒的概率是多少？你是怎樣計算的？答概率為，由于病毒在5升水中的哪個位置的可能性都有，1升水中含有病毒的概率為1升水的體積除

8、以5升水的體積思考4根據(jù)上述3個思考中求概率的方法，你能歸納出求幾何概型中事件A發(fā)生的概率的計算公式嗎？答P(A).例2某公共汽車站每隔10分鐘有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求乘客候車時間不超過6分鐘的概率解如下圖所示，設上輛車于時刻T1到達，而下輛車于時刻T2到達，則線段T1T2的長度為10，設T是線段T1T2上的點，且TT2的長為6，記“等車時間不超過6分鐘”為事件A，則事件A發(fā)生即當點t落在線段TT2上，即DT1T210，dTT26.所以P(A).故乘客候車時間不超過6分鐘的概率為.反思與感悟數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法利用圖解題的關鍵：首先用圖形準確表

9、示出試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的幾何區(qū)域，然后根據(jù)構(gòu)成這兩個區(qū)域的幾何長度(面積或體積)，用幾何概型概率公式求出事件A的概率跟蹤訓練2某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率解記“等待的時間小于10分鐘”為事件A，打開收音機的時刻位于50,60時間段內(nèi)則事件A發(fā)生由幾何概型的概率公式求得P(A)，即“等待報時的時間不超過10分鐘”的概率為.探究點三幾何概型的應用例3在RtABC中，A30°，過直角頂點C作射線CM交線段AB于M，求使|AM|>|AC|的概率解設事件D為“作射線CM，使|AM|>

10、;|AC|”在AB上取點C使|AC|AC|， 因為ACC是等腰三角形，所以ACC75°， A907515，90， 所以P(D).反思與感悟幾何概型的關鍵是選擇“測度”，如本例以角度為“測度”因為射線CM落在ACB內(nèi)的任意位置是等可能的若以長度為“測度”，就是錯誤的，因為M在AB上的落點不是等可能的跟蹤訓練3在ABC中，B60°，C45°，高AD，在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，求BM<1的概率解B60°，C45°，BAC75°，在RtADB中，AD，B60°， BD1，BAD30°.記事件N為“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM<1”，則可得BAM<BAD時事件N發(fā)生由幾何概型的概率公式得P(N).【當堂測、查疑缺】1下列關于幾何概型的說法錯誤的是(A)A幾何概型也是古典概型中的一種 B幾何概型中事件發(fā)生的概率與位置、形狀無關C幾何概型中每一個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性 D幾何概型在一次試驗中能出現(xiàn)的結(jié)果有無限個2面積為S的ABC，D是BC的中點，向ABC內(nèi)部投一點，那么點落在ABD內(nèi)的概率為(B)A. B. C. D.3ABCD為長方形，AB2，BC1，O為AB的中點，在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概