1、本章主要內容 引言 用信號流圖表示網絡結構 無限長脈沖響應基本網絡結構 有限長脈沖響應基本網絡結構第5章 時域離散系統的基本網絡結構與狀態變量分析法時域離散系統或網絡的描述方法：差分方程：描述時域離散系統輸入輸出之間的關系。單位脈沖響應：系統對(n)的零狀態響應。系統函數：系統單位脈沖響應h(n)的Z變換 如果系統輸入輸出服從N階差分方程，即： 其系統函數H(z)為：5.1 引言0101()()()()()()1MNiiiiMiiiNiiiynbxniaynibzYzHzXzaz0101()()()()()()1MNiiiiMiiiNiiiynb xniaynib zYzHzXzaz Njjj

2、MiiiNjjjMiiizazbzXzYzHzzYazzXbzY10101)()()(,)()()( NjjjMiiiNjjjMiiiz az bz Xz Yz Hz z Y az z Xbz Y10101) () () ( , ) () () ( NjjjMiiiNjjjMiiiz az bz Xz Yz Hz z Y az z Xbz Y10101) () () ( , ) () () (iii=1對輸入信號的直接算法，已知x(n)、ai、bi和n時刻以前的y(n-i)，可以遞推出y(n) 為了用計算機或專用硬件對輸入信號的處理，必須把上式變換成一種算法，按照這種算法對輸入信號進行運算。

3、如果給定一個差分方程，對應不同的算法有很多種，例如： 因此研究實現信號的算法是一個很重要的問題，可用網絡結構表示具體的算法，因此，網絡結構實際表示的是一種運算結構。本章重點介紹數字系統的基本網絡結構5.1 引言1122113111()10. 80. 151. 52. 5()10. 310. 511()10. 310. 5HzzzHzzzHzzz1122113111()10. 80. 151. 52. 5()10. 310. 511()10. 310. 5HzzzHzzzHzzz1122113111()10. 80. 151. 52. 5()10. 310. 511()10. 310. 5Hzz

4、zHzzzHzzzH1(z)=H2(z)=H3(z)不同的系統函數對應不同的算法，不同的算法直接影響系統運算誤差，運算速度以及系統的復雜程度和成本 1、數字信號處理中的三種基本算法：乘法、加法和單位延遲5.2 用信號流圖表示網絡結構x1(n)+ x2(n)Z1和a為支路增益，箭頭表示信號流動方向，兩個變量相加，用一圓點表示。信號流圖的的圓點()表示節點，有輸入(x(n)、輸出(y(n)、中間節點。每個節點處的信號稱為節點變量，節點間連線稱為支路。所以信號流圖由連接節點的一些有方向性的支路構成。 x(n) z -1x(n-1)信號與系統的方框圖表示法延時單元DSP中三種基本運算流圖x(n)Z1x

5、(n-1)加法單元x1(n)x1(n)x2(n)乘法單元aax(n)x(n)ax(n)ax(n)x2(n)x1(n)+x2(n)2.基本信號流圖 不同的信號流圖代表不同的運算方法，而對于同一個系統函數可以有多種信號流圖相對應。從基本運算考慮，滿足以下條件，稱為基本信號流圖。 信號流圖中所有支路的增益是常數或者是z-1； 流圖環路中必須存在延時支路； 節點和支路的數目是有限的。 5.2 用信號流圖表示網絡結構例：判斷下列兩圖是否為基本信號流圖。 基本信號流圖對應一種具體的運算方法，非基本信號流圖不能用一種具體的運算方法來實現。網絡結構可以通過基本信號流圖來描述。5.2 用信號流圖表示網絡結構ax

6、(n)y(n)H(z)圖1-bx(n)y(n)圖2以上兩圖都不滿足基本信號流圖的條件，圖1支路的增益不是常數或Z-1，圖2的流圖環路中沒有延時支路。3.由基本信號流圖求系統函數H(z) 根據給定的信號流圖，設置中間節點變量，節點變量w(n)等于該節點的所有輸入支路變量之和。代入中間節點變量，就可以最終確定流圖的輸入與輸出關系，并根據輸入、輸出關系求出系統函數H(z)。例：已知基本信號流圖如下，求其系統函數H(z)。解:(1)首先在信號流圖中，設置中間節點變量w2(n)、w2(n) 、w1(n)，列出節點變量狀態方程；并對各方程求Z變換。5.2 用信號流圖表示網絡結構x(n)y(n)W2(n)W

7、2(n)W1(n)z-1b1b0-a2-a1b2z-15.2 用信號流圖表示網絡結構2211222221121)()( )( )( )()( zazazXzWzWzazWzazXzW)(1)()( )(221122110221102zXzazazbzbbzbzbbzWzY 2211221101)()()( zazazbzbbzXzYzHw1(n)=w2(n-1); w2(n)=w2(n-1);w2(n)=x(n)-a1w2(n)-a2w1(n); y(n)=b2w1(n)+b1w2(n)+b0w2(n); W1(z)=W2(z)z-1;W2(z)=W2(z) z-1; W2(z)=X(z)-a

8、1W2(z)-a2W1(z);Y(z)=b2W1(z)+b1W2(z)+b0W2(z);(2)求解狀態變量的Z變換方程，用X(z)和常數，Z-m表示Y(z),根據H(z)=Y(z)/X(z)，求出系統函數H(z)。4.網絡結構分類描述系統的差分方程為：一般將網絡結構分成兩類 有限長脈沖響應網絡(FIR) 特點: (1) 單位脈沖響應h(n)有限長； (2)網絡結構中不存在輸出對輸入的反饋支路； 其差分方程可表示為： 無限長脈沖響應網絡(IIR)： (1) 網絡的單位脈沖響應h(n)是無限長的； (2) 網絡結構中存在輸出對輸入的反饋支路，即:信號流圖中存在環路。5.2 用信號流圖表示網絡結構,

9、0( )0,nbnMh n其它n 0( )()Miiy nb x ni01()()()MNiiiiynbxn iayn i 01()( )( )MNiiiiynb xniayni+ IIR基本網絡結構有三種：直接型、級聯型和并聯型 一、直接型：(直接型、型) 對N階差分方程重寫如下： 1、直接型： 從差分方程出發，用基本運算單元直接畫出網絡流圖，第一部分(輸入)對應 ，第二部分(反饋)對應 設：M=N=2，根據差分方程直接畫出網絡結構5.3 無限長脈沖響應(IIR)基本網絡結構01()( )( )MNiiiiynb xniayni Miiinxb0)(01( )()()MNiiiiy nb x

10、 nia y ni直接I型優點：結構簡單、清晰；缺點：所用運算單元多，延時支路較多； ak、bk常數對濾波器的性能控制作用不明顯； 零、極點關系不明顯，調整困難5.3 無限長脈沖響應(IIR)基本網絡結構b0b1b2z 1z 1z 1z 1a1a2x ( n )x ( n 1 )x ( n 2 )y ( n )y ( n 1 )y ( n 2 )x ( n )y ( n )b0b1b2z 1z 1z 1z 1a1a2w2w1H1( z )H2( z )H2( z )H1( z )x ( n )y ( n )a1a2b0b1b2z 1z 1（ a ）（ b ）（ c ）W1W2 直接型 ： 由于

11、系統函數 H(z) = H1(z)H2(z) = H2(z)H1(z)，上圖中兩部分交換位置，由于節點變量W2=W2，前后兩部分延時支路可以合并。5.3 無限長脈沖響應(IIR)基本網絡結構b0b1b2z 1z 1z 1z 1a1a2x ( n )x ( n 1 )x ( n 2 )y ( n )y ( n 1 )y ( n 2 )x ( n )y ( n )b0b1b2z 1z 1z 1z 1a1a2w2w1H1( z )H2( z )H2( z )H1( z )x ( n )y ( n )a1a2b0b1b2z 1z 1（ a ）（ b ）（ c ）b0b1b2z 1z 1z 1z 1a1

12、a2x ( n )x ( n 1 )x ( n 2 )y ( n )y ( n 1 )y ( n 2 )x ( n )y ( n )b0b1b2z 1z 1z 1z 1a1a2w2w1H1( z )H2( z )H2( z )H1( z )x ( n )y ( n )a1a2b0b1b2z 1z 1（ a ）（ b ）（ c ）優點：結構簡單、清晰，延時支路比直接I型減少一半；缺點：ak、bk常數對濾波器的性能控制作用不明顯；零、極點關系不明顯，調整困難。系數量化效應敏感度高例：已知IIR數字濾波器的系統函數，畫出該濾波器的直接型結構。解：由H(z)寫出差分方程如下：5.3 無限長脈沖響應(I

13、IR)基本網絡結構12312384112( )5311448zzzH zzzz531()(1)(2 )(3 )8()4(1)4481 1(2 )2(3 )ynynynynxnxnxnxn531( )(1)(2)(3) 8 ( ) 4 (1)44811 (2) 2 (3)y ny ny ny nx nx nx nx nx(n)y(n)z 1z 1z 1 4811 2454381也可以按照系統函數表達式直接畫出直接II型網絡結構。二、級聯型對于系統函數 分子分母均為多項式，且多項式的系數一般為實數，現將分子分母多項式分別進行因式分解，得到將共軛成對的零點(極點)放在一起，形成一個二階多項式，系數仍

14、為實數，將分子、分母均為實數的二階多項式放在一起，形成一個二階網絡。5.3 無限長脈沖響應(IIR)基本網絡結構 NjjjMiiizazbzXzYzH101)()()( 系系統統函函數數1111(1)( )(1)MrrNrrC zH zAd z式中，A是常數，Cr，dr分別表示零點、極點，為實數或共軛成對的復數式中：0j、1j、2j、1j和2j均為實數。這樣，H(z)就分解成一些一階或二階數字網絡的級聯形式，如下式： H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z) ：級聯型結構不是唯一的式中Hi(z)表示一個一階或二階的數字網絡的系統函數，每個Hi(z)的網絡結構均采用前面介紹的直接型網絡結構表示。

15、5.3 無限長脈沖響應(IIR)基本網絡結構111101)( : zzzHjjjj 一一階階網網絡絡系系統統函函數數為為2211221101)( : zzzzzHiiiiii 為為二二階階網網絡絡系系統統函函數數格格式式二階網絡系統函數為：一階網絡系統函數為：y(n)x(n)1j0j1jz-1直接型一階網絡結構圖y(n)x(n)z-1z-11i0i2i2i1i直接型二階網絡結構IIR的級聯型網絡結構：H(z)= H1(z)H2(z)Hk(z)，級聯型示意圖：優點: 所需存儲器最少，系統結構組成靈活； 每個一階網絡決定一個零點、一個極點，每個二階網絡決定一對零點、一對極點。調整一階網絡和二階網絡

16、系數可以改變零極點位置，所以零、極點調整方便，便于調整頻響；缺點： 存在誤差積累、級聯結構中后面的網絡輸出不會傳送到前面，所以運算誤差的積累相對于直接型要小； 零、極點配合關系著網絡最優化的問題，而最佳配合關系不易確定。5.3 無限長脈沖響應(IIR)基本網絡結構y(n)x(n)H1(z) H2(z)Hk(z) 例:已知IIR數字濾波器的系統函數，畫出該濾波器的級聯型結構。5.3 無限長脈沖響應(IIR)基本網絡結構1231238 4112( )1 1.250.750.125zzzH zzzz解: 將H(z)的分子、分母進行因式分解，得112112(2 0.379)(4 1.245.264)(

17、 )(1 0.25)(10.5)zzzH zzzz為了減少單位延遲的數量，將一階的分子、分母多項式組成一個一階網絡，二階的分子、分母多項式組成一個二階網絡。則 H(z)的級聯型結構為：y(n)45.26z-1z-1 1.24-0.50.252 0.37z-1x(n)3、并聯型 將H(z)展成部分分式形式得到IIR并聯型結構，即：式中，Hi(z)通常為一階網絡和二階網絡，網絡系統均為實數。二階網絡的系統函數一般為：5.3 無限長脈沖響應(IIR)基本網絡結構12( )( )( )( )kH zH zHzHz1011212( )1iiiiizH za za z式中，0i、1i、1i和2 i都 是

18、實 數 。 如 果a2i=0則構成一階網絡。其輸出Y(z)表示為： Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z)表明：將x(n)送入每個二階(或一階)網絡后，將所有輸出相加得到輸出y(n)y(n)x(n)Hk(z)H2(z)H1(z)a優點： 所需存儲器最小； 無誤差積累，各級誤差互不影響，僅極點調整方便。所以，在要求準確傳輸極點的場合，宜采用這種結構;缺點: 零點調整不方便，當H(z)有多階極點時，部分分式展開不易。5.3 無限長脈沖響應(IIR)基本網絡結構例:若系統函數 ，求H(z)的并聯型結構。解：確定 H(z) 極點 z1=0.5，z2=0.25 均為一階極點

19、；并將 H(z) 表示成 Zn 正冪等式， 對H(z)展開成部分分式5.3 無限長脈沖響應(IIR)基本網絡結構.)(,)25. 01)(5 . 01 ()1 ()(1121并并聯聯型型結結構構求求若若系系統統函函數數zHzzzzH )25.0)(5 .0()1()(2 zzzzH即即zCzBzAzzzzzzH 25.05.0)25.0)(5.0()1()(218250125050250 zzzzzzzzzHA ).().()(.12 zzzH)(50250250250 zzzzzz25- ).().(B.282505012020 zzzzzzzzzH).)(.()(C5.3 無限長脈沖響應(

20、IIR)基本網絡結構825. 01255 . 011825. 05 . 0)()(11 zzCzBzzAzzzzHzH將上式每一部分用直接型結構實現，其并聯型結構如下圖：0.5Z-118y(n)x(n)80.25Z-125 FIR網絡結構特點 沒有反饋支路，即沒有環路，其單位脈沖響應是有限長的。設單位脈沖響應h(n)長度為N，其系統函數H(z)和差分方程為: 一、直接型(或稱卷積型、橫截型、橫向型) 直接按H(z)或者差分方程畫出沒有反饋支路的結構圖。5.4 有限長沖激響應(FIR)基本網絡結構10)()(NnnznhzH.)1()1 ()()0()()()(10nxhnxhmnxmhnyNm

21、.)1()1()()0()()()(10nxhnxhmnxmhnyNmx(n)y(n)z-1z-1z-1z-1h(0)h(1)h(N1)h(2)h(N-2)FIR 直接型網絡結構1L2L22120L02x(n)y(n)011121z-1z-1z-1z-1z-1z-1FIR級聯型網絡結構示意圖二、級聯型 H(z)進行因式分解，并將共軛成對的零點放在一起，形成一個系數為實數的二階網絡，形式如下：優點：調整零點位置比直接型方便。缺點：所需乘法器較多，H(z)階次較高時，因式分解不容易。 FIR網絡結構中還有線性相位型，將在第七章介紹。5.4 有限長沖激響應(FIR)基本網絡結構 LiiiizzzH1

22、22110)()( 0i、1i、2都是實數。如果2i=0則為一階網絡。例:已知FIR網絡系統函數H(z)=0.96+2Z-1+2.8Z-2+1.5Z-3，分別畫出H(z)直接型與級聯型結構。解：1. 根據H(z)直接畫出FIR直接型結構2. 對H(z)進行因式分解，H(z)=(0.6+0.5Z-1) (1.6+2Z-1+3Z-2)，畫出級聯結構。5.4 有限長沖激響應(FIR)基本網絡結構y(n)1. 5x(n)z-1z-1z-10.9622.8y(n)x(n)0.5321.60.6z-1z-1z-1三. 頻率采樣結構 頻率域等間隔采樣，相應的時域信號會以采樣點數為周期進行周期性延拓，如果在頻

23、率域采樣點數N大于等于原序列的長度M，則不會引起信號時域混疊，此時原序列的z變換H(z)與頻域采樣值H(k)滿足下面關系式： 要求：頻率域采樣點數NM，上式提供了一種稱為頻率采樣的FIR網絡結構。5.4 有限長沖激響應(FIR)基本網絡結構1101( )( )(1)1NNkkNH kH zzNWz2()(), 0 ,1 ,2 ,1j kNzeHk HzkN k=0,1,2,N-1對H(z)的內插公式寫成下式： 根據H(z)的表達式，網絡結構中有反饋支路，是由Hk(z)產生的，其極點為Zk=WN-k ，即單位圓上有等間隔分布的N個極點，由于Hc(Z)為梳狀濾波器，其零點為：零點也是等間隔分布在單

24、位圓上，極點和零點相互抵消，保證了網絡的穩定性。5.4 有限長沖激響應(FIR)基本網絡結構1011()()()()1()()1NckkNckkNHzHzHzNHzzHkHzWz1011()()()()1()()1NckkNckkNHzHzHzNHzzHkHzWz1011()()()()1()()1NckkNckkNHzHzHzNHzzHkHzWzH(z)是由一梳狀濾波器Hc(Z)和N個一階網絡Hk(z)的并聯結構進行級聯而成。2,0,1,2,1jkkNkNzeWkN5.4 有限長沖激響應(FIR)基本網絡結構x(n)y(n)z 1z 1 zNH(0)H(1)H(N 1)0NW1NW1NNWz

25、 1N1優點：頻響特性調整方便，在頻率采樣點k，H(ejk)=H(k)，只要調整H(k)(即一階網絡Hk(z)中乘法器的系數H(k)，可有效地調整頻響特性。易于標準化、模塊化：只要h(n)長度N相同，對于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分和N一階網絡部分結構完全相同，只是各支路增益H(k)不同。這樣，相同部分便于標準化、模塊化。 FIR濾波器頻率采樣結構頻率采樣結構兩個缺點： 系統穩定是靠位于單位圓上的N個零極點對消來保證的，由于寄存器的長度有限，有限字長效應可能使零極點不能完全抵消，影響系統的穩定性。 由于H(k)和W-kN一般為復數，要求乘法器完成復數乘法運算，這對硬件實現是不方便的。為了克服以上缺點，采取下面修正措施 將單位圓上的零極點向單位圓內收縮一點，收縮到半徑r1且r1，這樣，以z/r代替原H(z)表示式中z。5.4 有限長沖激響應(FIR)基本網絡結構1101( )( )(1)1NNNrkkNHkH zr zNrWz5.4 有限長沖激響應(FIR)基本網絡結構111)(11)(*1)(1)(1)()( zrWkHzrWkHzrWkNHzrWkHzHkNkNkNNkNK1()111101122()()()11()