1、類型一：利用柯西不等式求最值例1求函數的最大值解：且， 函數的定義域為，且，即時函數取最大值，最大值為法二：且， 函數的定義域為由，得即，解得時函數取最大值，最大值為.當函數解析式中含有根號時常利用柯西不等式求解【變式1】設且，求的最大值及最小值。利用柯西不等式得,故最大值為10，最小值為-10【變式2】已知，求的最值.法一：由柯西不等式于是的最大值為，最小值為.法二：由柯西不等式于是的最大值為，最小值為.【變式3】設2x+3y+5z=29，求函數的最大值根據柯西不等式 ，故。當且僅當2x+1=3y+4=5z+6，即時等號成立，此時，變式4：設= (1，0，- 2)，= (x，y，z)，若x2

2、 + y2 + z2 = 16，則的最大值為。【解】= (1，0，- 2)，= (x，y，z)= x - 2z由柯西不等式12 + 0 + (- 2)2(x2 + y2 + z2) ³ (x + 0 - 2z)2Þ5 ´ 16 ³ (x - 2z)2Þ- 4£ x £ 4Þ- 4£ £ 4，故的最大值為4:變式5：設x，y，z Î R，若x2 + y2 + z2 = 4，則x - 2y + 2z之最小值為時，(x，y，z) = 解(x - 2y + 2z)2 £ (x2 +

3、y2 + z2)12 + ( - 2) 2 + 22 = 49 = 36x - 2y + 2z最小值為 - 6，公式法求 (x，y，z) 此時 ，變式6：設x, y, zR，若，則之最小值為_，又此時_。解析：最小值變式7：設a，b，c均為正數且a + b + c = 9，則之最小值為解： ()(a + b + c)Þ()9 ³ (2 + 3 + 4)2 = 81 Þ³ = 9變式8：設a, b, c均為正數，且，則之最小值為_解：: ，最小值為18變式9：設x，y，z Î R且，求x + y + z之最大、小值:【解】由柯西不等式知42+（)

4、2 + 22 ³ Þ25 ´ 1 ³ (x + y + z - 2)2Þ5 ³ |x + y + z - 2| Þ- 5 £ x + y + z - 2 £ 5- 3 £ x + y + z £ 7故x + y + z之最大值為7，最小值為 - 3類型二：利用柯西不等式證明不等式基本方法：（1）巧拆常數 （例1） （2）重新安排某些項的次序（例2）（3）改變結構 （例3） （4）添項（例4）例1設、為正數且各不相等，求證：又、各不相等，故等號不能成立。例2、為非負數，+=1，求證：即例

5、3若>>，求證：解：，所證結論改為證 例4，求證：左端變形，只需證此式即可。【變式1】設a,b,c為正數，求證：，即。同理，將上面三個同向不等式相加得，【變式2】設a,b,c為正數，求證：于是即【變式3】已知正數滿足 證明。解： 又因為在此不等式兩邊同乘以2，再加上得：，故。類型三：柯西不等式在幾何上的應用6ABC的三邊長為a、b、c，其外接圓半徑為R，求證： 證明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左邊=。【變式】ABC之三邊長為4，5，6，P為三角形內部一點，P到三邊的距離分別為x，y，z，求的最小值。且4x+5y+6z=由柯西不等式(4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62)(x2+y2+z2)×77x2+y2+z2。柯西不等式 等號當且僅當或時成立（k為常數，）利用柯西不等式可處理以下問題：1） 證明不等式例2:已知正數滿足 證明 證明： 又因為 在此不等式兩邊同乘以2，再加上得：故2） 解三角形的相關問題例3 設是內的一點，是到三邊的距離，是外接圓的半徑，證明證明： 記為的面積，則3） 求最值例4已知實數滿足， 試求的最值解： 即由條件可