1、421第七章 同態(tài)信號(hào)處理同態(tài)信號(hào)處理 l 當(dāng)觀察值是信號(hào)和噪聲的線性疊加時(shí)，若信號(hào)和當(dāng)觀察值是信號(hào)和噪聲的線性疊加時(shí)，若信號(hào)和噪聲的頻率范圍不同，使用線性濾波器噪聲的頻率范圍不同，使用線性濾波器(FIR或或IIR濾波器濾波器)l 若信號(hào)和噪聲的頻率范圍相同或部分重疊，使用若信號(hào)和噪聲的頻率范圍相同或部分重疊，使用維納濾波器或卡爾曼濾波器維納濾波器或卡爾曼濾波器l 當(dāng)信號(hào)和噪聲不是線性相加，而是乘法或卷積關(guān)當(dāng)信號(hào)和噪聲不是線性相加，而是乘法或卷積關(guān)系，不能使用線性濾波器，需要使用同態(tài)濾波器系，不能使用線性濾波器，需要使用同態(tài)濾波器 1 、廣義線性的基本概念廣義線性的基本概念l 同態(tài)濾波器或同態(tài)

2、系統(tǒng)的基礎(chǔ)：同態(tài)濾波器或同態(tài)系統(tǒng)的基礎(chǔ)： 廣義線性疊加原理廣義線性疊加原理l 以前論述的線性系統(tǒng)屬于狹義線性系統(tǒng)以前論述的線性系統(tǒng)屬于狹義線性系統(tǒng) 滿足線性疊加原理滿足線性疊加原理422l 狹義線性系統(tǒng)狹義線性系統(tǒng)概念可推廣到概念可推廣到廣義線性系統(tǒng)廣義線性系統(tǒng)范疇范疇l 若干個(gè)元素若干個(gè)元素x1，x2，構(gòu)成一個(gè)集合構(gòu)成一個(gè)集合 G，元素間，元素間定義一種運(yùn)算定義一種運(yùn)算 。G 被稱(chēng)為群需滿足被稱(chēng)為群需滿足4個(gè)條件：個(gè)條件： 封閉性：封閉性：x1x2 G 結(jié)合性：結(jié)合性：x1(x2 x3)= (x1x2)x3狹義線性系統(tǒng)：狹義線性系統(tǒng)：若設(shè)系統(tǒng)的變換為若設(shè)系統(tǒng)的變換為L(zhǎng) ，則有，則有)()()

3、()()()(112121nxcLncxLnxLnxLnxnxL其中其中x1(n)、x2(n)是任意的兩個(gè)輸入，是任意的兩個(gè)輸入，c是任意常數(shù)是任意常數(shù)423l 群群G 構(gòu)成了一個(gè)矢量空間構(gòu)成了一個(gè)矢量空間 l 設(shè)群設(shè)群G 和和H 元素間的代數(shù)運(yùn)算分別為元素間的代數(shù)運(yùn)算分別為和和 ，元素與常數(shù)元素與常數(shù)c的運(yùn)算分別為的運(yùn)算分別為 和和 ，若，若G 和和H 間的間的映射映射T 有：有： Tx1(n) x2(n)= Tx1(n)O Tx2(n) Tc x(n)=c Tx(n)則稱(chēng)這種映射為則稱(chēng)這種映射為同態(tài)映射同態(tài)映射，其中，其中G 和和H 稱(chēng)為同態(tài)群稱(chēng)為同態(tài)群l 若若G和和H的元素一一對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)

4、的元素一一對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)G 和和H為為同構(gòu)群同構(gòu)群l 同態(tài)群同態(tài)群包含包含同構(gòu)群同構(gòu)群存在單位元素存在單位元素I：Ixx Ix存在逆元素：存在逆元素：xx-1x-1 xI424l 若將系統(tǒng)的輸入和輸出分別看成輸入矢量空間若將系統(tǒng)的輸入和輸出分別看成輸入矢量空間和輸出矢量空間的矢量，輸入矢量空間矢量間的和輸出矢量空間的矢量，輸入矢量空間矢量間的運(yùn)算為運(yùn)算為，矢量和標(biāo)量的運(yùn)算為，矢量和標(biāo)量的運(yùn)算為 ；輸出矢量空間；輸出矢量空間矢量間的運(yùn)算為矢量間的運(yùn)算為 ，矢量和標(biāo)量的運(yùn)算為，矢量和標(biāo)量的運(yùn)算為 ；T 看成是系統(tǒng)的變換，則有：看成是系統(tǒng)的變換，則有： Tx(n) y(n)O該系統(tǒng)滿足廣義線性疊加原理：

5、該系統(tǒng)滿足廣義線性疊加原理： Tx1(n) x2(n)= Tx1(n)O Tx2(n) Tc x(n)=c Tx(n)因此可把該系統(tǒng)稱(chēng)為因此可把該系統(tǒng)稱(chēng)為同態(tài)系統(tǒng)同態(tài)系統(tǒng) 425l 同態(tài)系統(tǒng)同態(tài)系統(tǒng)以其輸入矢量空間和輸出矢量空間的運(yùn)以其輸入矢量空間和輸出矢量空間的運(yùn)算來(lái)分類(lèi)：算來(lái)分類(lèi)：n 輸入矢量空間運(yùn)算為輸入矢量空間運(yùn)算為、輸出矢量空間運(yùn)算為、輸出矢量空間運(yùn)算為O的同態(tài)系統(tǒng)，稱(chēng)為的同態(tài)系統(tǒng)，稱(chēng)為和和O同態(tài)系統(tǒng)同態(tài)系統(tǒng)n 若若和和O是加法，是加法， 和和 是乘法，則此時(shí)的同態(tài)是乘法，則此時(shí)的同態(tài)系統(tǒng)就是系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)l 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)可以看成是可以看成是同態(tài)系統(tǒng)同態(tài)系統(tǒng)的一個(gè)特例的

6、一個(gè)特例 例：例：若若T 表示對(duì)數(shù)變換表示對(duì)數(shù)變換ln ，代表乘法運(yùn)算，代表乘法運(yùn)算，O代表加法運(yùn)算，代表加法運(yùn)算， 代表指數(shù)運(yùn)算，代表指數(shù)運(yùn)算， 代表乘法運(yùn)算，代表乘法運(yùn)算，試分析該系統(tǒng)是否滿足同態(tài)系統(tǒng)要求？試分析該系統(tǒng)是否滿足同態(tài)系統(tǒng)要求？ 解：解：Tx1(n)x2(n)=lnx1(n)x2(n)=lnx1(n)+lnx2(n) =Tx1(n)OTx2(n)Tc x(n)=lnx(n)c=clnx(n)= c Tx(n)結(jié)論：該系統(tǒng)是同態(tài)系統(tǒng)結(jié)論：該系統(tǒng)是同態(tài)系統(tǒng) 426l T 表示對(duì)數(shù)變換，表示對(duì)數(shù)變換， 表示指數(shù)變換表示指數(shù)變換l 任何一個(gè)同態(tài)系統(tǒng)都可表示為三個(gè)子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)任何一個(gè)同態(tài)

7、系統(tǒng)都可表示為三個(gè)子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)T LTO-1x(n) y(n)x(n) y(n)-1OTx(n)T LTO-1 y(n)x(n) y(n)Ol 三個(gè)子系統(tǒng)都是同態(tài)系統(tǒng)三個(gè)子系統(tǒng)都是同態(tài)系統(tǒng)l 第一個(gè)系統(tǒng)第一個(gè)系統(tǒng)T 稱(chēng)為運(yùn)算稱(chēng)為運(yùn)算的特征系統(tǒng)的特征系統(tǒng)l 第三第三個(gè)個(gè)系統(tǒng)系統(tǒng) 稱(chēng)為運(yùn)算稱(chēng)為運(yùn)算O的特征系統(tǒng)的逆系統(tǒng)的特征系統(tǒng)的逆系統(tǒng)l 第二個(gè)系統(tǒng)第二個(gè)系統(tǒng) L 則為線性系統(tǒng)則為線性系統(tǒng) -1OT427 Tx1(n)x2(n)=Tx1(n)T x2(n) T c x(n)=cT x(n)l 三個(gè)子系統(tǒng)三個(gè)子系統(tǒng)均滿足廣義的線性疊加原理均滿足廣義的線性疊加原理 )( )( )(O)()()(1 -o

8、1 -o2-1o1-1o21-1onyTcnycTnyTnyTnynyT)( )( )()()()(2121nxcLnxcLnxLnxLnxnxL其中其中 )(1nxT x1(n)(2nxT x2(n)( nxT x(n)()(11nxLny)()(22nxLny)( )( nxLny)()( 11-1onynyT)()( 22-1onynyT)()( -1onynyT428l 乘法同態(tài)系統(tǒng)：輸入、輸出矢量空間矢量間的運(yùn)乘法同態(tài)系統(tǒng)：輸入、輸出矢量空間矢量間的運(yùn)算是乘法運(yùn)算算是乘法運(yùn)算(、 為乘法運(yùn)算，為乘法運(yùn)算， 、 為指數(shù)運(yùn)算為指數(shù)運(yùn)算)l 根據(jù)相乘信號(hào)的形式，分為：根據(jù)相乘信號(hào)的形式，分

9、為：n 實(shí)數(shù)乘法同態(tài)系統(tǒng)實(shí)數(shù)乘法同態(tài)系統(tǒng)n 復(fù)數(shù)乘法同態(tài)系統(tǒng)復(fù)數(shù)乘法同態(tài)系統(tǒng) 2 、乘積同態(tài)系統(tǒng)乘積同態(tài)系統(tǒng)(1)、實(shí)數(shù)乘積同態(tài)系統(tǒng)、實(shí)數(shù)乘積同態(tài)系統(tǒng)T.LT.-1x(n) y(n)x(n) y(n). .429l第一個(gè)子系統(tǒng)是乘法運(yùn)算的特征系統(tǒng)第一個(gè)子系統(tǒng)是乘法運(yùn)算的特征系統(tǒng) T )()()()()()(2121nxcTnxTnxTnxTnxnxTc其中其中c c為任意常數(shù)，且有：為任意常數(shù)，且有： )()(11nxTnx)()(22nxTnx)()( nxTnxl第二個(gè)子系統(tǒng)是線性系統(tǒng)第二個(gè)子系統(tǒng)是線性系統(tǒng) L )( )( )()()()(2121nxcLnxcLnxLnxLnxnxL同樣

10、同樣c c為任意常數(shù)，且有：為任意常數(shù)，且有： )()(11nxLny)()(22nxLny)( )( nxLny4210l第三個(gè)子系統(tǒng)是乘法運(yùn)算特征系統(tǒng)的逆系統(tǒng)第三個(gè)子系統(tǒng)是乘法運(yùn)算特征系統(tǒng)的逆系統(tǒng) T-1 cnyTnycTnyTnyTnynyT)( )( )()()()(112111211l三個(gè)子系統(tǒng)中，第一個(gè)子系統(tǒng)三個(gè)子系統(tǒng)中，第一個(gè)子系統(tǒng) T 將矢量間的將矢量間的乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加法運(yùn)算，矢量和常數(shù)間的指數(shù)乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加法運(yùn)算，矢量和常數(shù)間的指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)換為乘法運(yùn)算。因此運(yùn)算轉(zhuǎn)換為乘法運(yùn)算。因此 T 對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)運(yùn)算同樣同樣c c為任意常數(shù)，且有：為任意常數(shù)，且有： )()(11

11、1nyTny)()(212nyTny)( )(1nyTny)()(ln)(ln)()()()(ln)(ln)()(ln)()(21212121nxcTnxcnxnxTnxTnxTnxnxnxnxnxnxTcc4211l第三個(gè)子系統(tǒng)第三個(gè)子系統(tǒng) T-1 將矢量間的加法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為將矢量間的加法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為乘法運(yùn)算，矢量和常數(shù)間的乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為指數(shù)乘法運(yùn)算，矢量和常數(shù)間的乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為指數(shù)運(yùn)算。因此運(yùn)算。因此 T-1 對(duì)應(yīng)指數(shù)運(yùn)算對(duì)應(yīng)指數(shù)運(yùn)算同樣同樣c c為任意常數(shù)，且有：為任意常數(shù)，且有： ccnxTnxnycnycTnyTnyTnynynynynynyT)()(exp)(exp)()()()(ex

12、p)(exp)()(exp)()(1121112121211)(ln)()(111nxnxTnx)(ln)()(222nxnxTnx)(ln)()( nxnxTnx4212l信號(hào)處理中，若觀察值是信號(hào)和噪聲的乘積，就信號(hào)處理中，若觀察值是信號(hào)和噪聲的乘積，就可使用乘法的同態(tài)濾波系統(tǒng)可使用乘法的同態(tài)濾波系統(tǒng)(同態(tài)濾波器同態(tài)濾波器)進(jìn)行處理進(jìn)行處理例：例：利用同態(tài)濾波的方法提取利用同態(tài)濾波的方法提取圖像的反射圖圖像的反射圖圖像灰度值圖像灰度值s(x，y)可表示為：可表示為：s(x，y)= si(x，y) sr(x，y) 其中其中si(x，y)表示照度圖，表示照度圖， sr(x，y) 表示反射圖表示

13、反射圖 根據(jù)圖像特性，有：根據(jù)圖像特性，有：0sr(x，y)1，0s(x，y) si(x，y)0，ln A才有意義，為此，常取才有意義，為此，常取ln |A|l 第一項(xiàng)第一項(xiàng)ln |A|的反的反Z變換為：變換為： 它對(duì)復(fù)倒譜的貢獻(xiàn)很有規(guī)律的，且與它對(duì)復(fù)倒譜的貢獻(xiàn)很有規(guī)律的，且與x(n)無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)，因此在討論因此在討論x(n)的復(fù)倒譜時(shí)可以忽略的復(fù)倒譜時(shí)可以忽略l 后面四項(xiàng)的對(duì)數(shù)可以先展開(kāi)成后面四項(xiàng)的對(duì)數(shù)可以先展開(kāi)成z-1或或z的冪級(jí)數(shù)后，的冪級(jí)數(shù)后，再求反再求反Z變換變換 000|A|ln nn0) 1(00nnMnn0,0,0|,|ln)(42311111nndnbnncnanAnxNini

14、NiniNiniNini4231l 結(jié)論：結(jié)論：復(fù)倒譜具有以下性質(zhì)復(fù)倒譜具有以下性質(zhì)1復(fù)倒譜的長(zhǎng)度總是無(wú)限長(zhǎng)的復(fù)倒譜的長(zhǎng)度總是無(wú)限長(zhǎng)的2復(fù)倒譜的幅度至少按復(fù)倒譜的幅度至少按1/|n|的速度衰減的速度衰減3最小相位序列在單位圓外無(wú)零點(diǎn)和極點(diǎn)，最小相位序列在單位圓外無(wú)零點(diǎn)和極點(diǎn)， 即：即：N2N40，因此其復(fù)倒譜是因果序列，因此其復(fù)倒譜是因果序列(2)、復(fù)倒譜的計(jì)算方法、復(fù)倒譜的計(jì)算方法l 復(fù)倒譜的計(jì)算方法：復(fù)倒譜的計(jì)算方法： 直接計(jì)算法、復(fù)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法和遞推計(jì)算法直接計(jì)算法、復(fù)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法和遞推計(jì)算法l 若是最小相位序列，復(fù)倒譜計(jì)算有一種簡(jiǎn)便方法若是最小相位序列，復(fù)倒譜計(jì)算有一種簡(jiǎn)便方法最小相位序列

15、復(fù)倒譜計(jì)算的簡(jiǎn)便方法最小相位序列復(fù)倒譜計(jì)算的簡(jiǎn)便方法l 復(fù)倒譜復(fù)倒譜 可表示為偶序列和奇序列之和：可表示為偶序列和奇序列之和：)( nx)()()( nxnxnxoe42322/)( )( )(, 2/)( )( )(nxnxnxnxnxnxoe最小相位序列的復(fù)倒譜是因果序列：最小相位序列的復(fù)倒譜是因果序列： 0)( , 0; 0)( , 0nxnnxn0, 00),0 ( 0),(2)( ,0, 00),(0),(2)( nnxnnxnxnnnxnnxnxoee結(jié)論：結(jié)論： 復(fù)倒譜復(fù)倒譜 可從偶序列可從偶序列 或奇序列或奇序列 和和 得到得到l 若若x(n)是實(shí)序列，則是實(shí)序列，則 也是實(shí)序

16、列也是實(shí)序列l(wèi) 實(shí)序列的偶序列，其傅里葉變換是實(shí)序列本身傅里實(shí)序列的偶序列，其傅里葉變換是實(shí)序列本身傅里葉變換的實(shí)部葉變換的實(shí)部)( nx)( nxe)( nxo)0(ox)( nx4233 的傅里葉變換：的傅里葉變換： 結(jié)論：結(jié)論： 若得到若得到ln|X(ej )|，通過(guò)傅里葉反變換得出，通過(guò)傅里葉反變換得出 ，然，然后得到后得到l 實(shí)際應(yīng)用中常用離散傅里葉變換代替傅里葉變換實(shí)際應(yīng)用中常用離散傅里葉變換代替傅里葉變換l 具體的計(jì)算步驟具體的計(jì)算步驟a. 先計(jì)算先計(jì)算x(n)的離散傅里葉變換：的離散傅里葉變換：)(arg| )(|ln)(ln)(jjjjeXjeXeXeX)( nx 的傅里葉變

17、換：的傅里葉變換： )( nxe| )(|lnjeX)( nxe)( nx10,)()(10/2NkenxkXNnNnkjb. 得到得到 的離散傅里葉變換：的離散傅里葉變換：)( nxe4234l 采用采用N點(diǎn)離散傅里葉變換和離散傅里葉反變換，算出的點(diǎn)離散傅里葉變換和離散傅里葉反變換，算出的 (記為：記為： )是理論值是理論值 以以N為周期延拓的結(jié)果為周期延拓的結(jié)果l 由于由于 是無(wú)限長(zhǎng)序列，因此是無(wú)限長(zhǎng)序列，因此 也是無(wú)限長(zhǎng)序列，以也是無(wú)限長(zhǎng)序列，以N為為周期進(jìn)行延拓必然會(huì)造成混疊周期進(jìn)行延拓必然會(huì)造成混疊l 從混疊的序列算出的從混疊的序列算出的 ，只能是一種近似的解，只能是一種近似的解l

18、的幅度至少按的幅度至少按1/|n|的速度衰減，所以只要的速度衰減，所以只要N取得足夠大，取得足夠大，這種混疊造成的失真還是可以忽略的這種混疊造成的失真還是可以忽略的d. 最后計(jì)算復(fù)倒譜最后計(jì)算復(fù)倒譜 ：10, | )(|ln)(NkkXkXec. 通過(guò)離散傅里葉反變換計(jì)算：通過(guò)離散傅里葉反變換計(jì)算：10,)(1)(11/2NnekXNnxNkNknjee12/, 02/,0),(2/1),(2)( NnNNnnnxNnnxnxee)(nxe)( nxe)(nxe)( nx)( nxe)( nx)( nx4235直接計(jì)算法直接計(jì)算法 l 先求先求x(n)的的N點(diǎn)離散傅里葉變換點(diǎn)離散傅里葉變換X(

19、k)，k=0N-1，然后求然后求X(k)的復(fù)對(duì)數(shù)的復(fù)對(duì)數(shù) ，最后利用離散傅里葉反，最后利用離散傅里葉反變換得到變換得到l 采用采用N點(diǎn)離散傅里葉變換和離散傅里葉反變換，算點(diǎn)離散傅里葉變換和離散傅里葉反變換，算出的出的 是理論值是理論值 以以N為周期延拓的結(jié)果為周期延拓的結(jié)果l 由于由于 是無(wú)限長(zhǎng)序列，以是無(wú)限長(zhǎng)序列，以N為周期進(jìn)行延拓必然為周期進(jìn)行延拓必然會(huì)造成混疊會(huì)造成混疊l 好在好在 的幅度至少按的幅度至少按1/|n|的速度衰減，只要的速度衰減，只要N取取得足夠大，這種混疊造成的失真還是可以忽略的得足夠大，這種混疊造成的失真還是可以忽略的l 當(dāng)當(dāng)N不夠大時(shí)，可以在不夠大時(shí)，可以在x(n)序列后面補(bǔ)零后進(jìn)行計(jì)序列后面補(bǔ)零后進(jìn)行計(jì)算，從