1、第四講 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程一、)()(xfyn型微分方程二、),(yxfy 型微分方程三、型微分方程),(yyfy 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程一、)()(xfyn型微分方程二、),(yxfy 型微分方程三、型微分方程),(yyfy 令,) 1( nyz)(ddnyxz則1d)(Cxxfz即即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通過依次通過 n 次積分次積分, 可得含可得含 n 個任意常數的通解個任意常數的通解 ., )(xf21CxC解法解法舉例舉例u例例1 xyxcose

2、2 求微分方程求微分方程的通解的通解.u例例2 質量為質量為m的質點受力的質點受力F的作用沿的作用沿Ox軸作直線運動，軸作直線運動，設力設力F=F (t)在開始時刻在開始時刻t=0時時F (0)=F0,隨著時間隨著時間t的的增大，力增大，力F均勻地減小，直到均勻地減小，直到t=T時，時，F(T)=0.如果開始時質點位于原點，且初速度為零，求這如果開始時質點位于原點，且初速度為零，求這質點的運動規律質點的運動規律.可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程一、)()(xfyn型微分方程二、),(yxfy 型微分方程三、型微分方程),(yyfy 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程一、)()(x

3、fyn型微分方程二、),(yxfy 型微分方程三、型微分方程),(yyfy 設設, )(xpy ,py 則),(pxfp 通解通解),(1Cxp),(1Cxy再積分再積分, 得原方程通解得原方程通解21d),(CxCxy解法解法),(yxfy 特點特點不含有不含有y的項的項舉例舉例u例例3 求微分方程求微分方程yxyx 2)1 (2滿足初始條件滿足初始條件3|, 1|00 xxyy的特解的特解.u例例4 設有一均勻、柔軟的繩索，兩端固定，繩索僅受設有一均勻、柔軟的繩索，兩端固定，繩索僅受重力的作用而下垂，試問該繩索在平衡狀態時是重力的作用而下垂，試問該繩索在平衡狀態時是怎樣的曲線？怎樣的曲線？

4、MsgoyxTHA可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程一、)()(xfyn型微分方程二、),(yxfy 型微分方程三、型微分方程),(yyfy 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程一、)()(xfyn型微分方程二、),(yxfy 型微分方程三、型微分方程),(yyfy 令令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd),(ddpyfypp通解通解),(1Cyp),(1Cyy原方程的通解原方程的通解21),(dCxCyy解法解法),(yyfy 特點特點不含有不含有x的項的項舉例舉例u例例5 求微分方程求微分方程02 yyy的通解的通解.u例例6 一個離地面很高的物體，受地球引力的作用由靜止一個離地面很高的物體，受地球引力的