1、1一般線性方程組是指形式為一般線性方程組是指形式為(1)11112211211222221122 nnnnsssnnsa xa xa xba xa xa xba xa xa xb 是方程的個數(shù)是方程的個數(shù) ; (1,2, ,1,2, )ijais jn s12,nx xxn的方程組，其中的方程組，其中 代表代表 個未知量的系數(shù)，個未知量的系數(shù)， 稱為方程組的稱為方程組的系數(shù)系數(shù)； 稱為稱為常數(shù)項常數(shù)項 。 (1,2, )ibis 一、一般線性方程組的基本概念一、一般線性方程組的基本概念2方程組的解方程組的解設(shè)設(shè) 是是 個數(shù)，如果個數(shù)，如果 分別用分別用 12,nk kkn12,nx xx12,

2、nk kk代入后，代入后，(1)中每一個式子都變成恒等式中每一個式子都變成恒等式,則稱有序數(shù)組則稱有序數(shù)組 是（是（1）的一個）的一個解解.12(,)nk kk(1)的解的全體所成集合稱為它的的解的全體所成集合稱為它的解集合解集合解集合是空集時就稱方程組（解集合是空集時就稱方程組（1）無解無解3同解方程組同解方程組如果兩個線性方程組有相同的解集合，則稱它們?nèi)绻麅蓚€線性方程組有相同的解集合，則稱它們是是同解的同解的4方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣矩陣矩陣111212122212nnsssna aaa aaAa aa 稱為方程組（稱為方程組（1）的）的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 ;而矩

3、陣而矩陣11121121222212nnssssnaaabaaabAbaaa 稱為方程組（稱為方程組（1）的）的增廣矩陣增廣矩陣1引例引例 解：第二個方程乘以解：第二個方程乘以2 2，再與第一個方程對換次序得，再與第一個方程對換次序得第二個方程減去第一個方程的第二個方程減去第一個方程的2 2倍，倍，二、消元法解一般線性方程組二、消元法解一般線性方程組解線性方程組解線性方程組12311112322212323113250 xxxxxxxxx 12312312322313250 xxxxxxxxx 第三個方程減去第一個方程的第三個方程減去第一個方程的3 3倍，得倍，得 第三個方程減去第二個方程的第

4、三個方程減去第二個方程的5 5倍，得倍，得123232323526xxxxxxx 1232332339xxxxxx 第三個方程乘以第三個方程乘以 ，得，得xxxxx 1223503xxxx 第一個方程加上第三個方程；第一個方程加上第三個方程；第二個方程加上第三個方程，得第二個方程加上第三個方程，得 這樣便求得原方程組的解為這樣便求得原方程組的解為123503xxx (5,0,3).或或定義定義線性方程組的初等變換是指下列三種變換線性方程組的初等變換是指下列三種變換 用一個非零的數(shù)乘某一個方程；用一個非零的數(shù)乘某一個方程； 將一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上；將一個方程的

5、倍數(shù)加到另一個方程上； 交換兩個方程的位置交換兩個方程的位置性質(zhì)性質(zhì)線性方程組經(jīng)初等變換后，得到的線性方程線性方程組經(jīng)初等變換后，得到的線性方程組與原線性方程組同解組與原線性方程組同解2線性方程組的初等變換線性方程組的初等變換 11112211211222221122(1)nnnnsssnnsa xa xa xba xa xaxba xa xa xb 11211122221212211222221122()()()nnnnnsssnnsakaxakaxakaxbkba xa xaxba xa xa xb 如對方程組如對方程組（1）作第二種初等變換作第二種初等變換: :簡便起見，不妨設(shè)把第二個方

6、程的簡便起見，不妨設(shè)把第二個方程的k k倍加到第一個倍加到第一個方程得到新方程組方程得到新方程組（1）（1）設(shè)設(shè) 是方程組是方程組（1）的任一解，則的任一解，則12(,)nc cc11 112 21121 122 2221 12 2n nn nsssn nsa ca ca cba ca ca cba ca ca cb 112111222212()()()nnnakacakacakac11 112 2121 122 22()()n nn na ca ca ck a ca ca c 12bkb 所以所以 也是方程組也是方程組（1）的解的解. .12(,)nc cc于是有于是有同理可證的同理可證的（

7、1）任一解也是任一解也是（1）的解的解.故方程組故方程組（1 ）與與（1）是同解的）是同解的. .3利用初等變換解一般線性方程組利用初等變換解一般線性方程組（化階梯方程組）（化階梯方程組） 11112211211222221122(1)nnnnsssnnsa xa xa xba xa xaxba xa xa xb 先檢查先檢查(1)中中 的系數(shù)，若的系數(shù)，若 全為零，全為零，11211,saaa1x則則 沒有任何限制，即沒有任何限制，即 可取任意值，從而方程組可取任意值，從而方程組1x1x(1)可以看作是可以看作是 的方程組來解的方程組來解2,nxx如果如果 的系數(shù)不全為零，不妨設(shè)，的系數(shù)不全

8、為零，不妨設(shè)，1x110.a 分別把第一個方程分別把第一個方程 的倍加的倍加 到第到第i個方程個方程 111iaa (2, )is (3)111122112222222nnnnssnnsa xa xa xba xa xba xa xb 于是于是(1)就變成就變成其中其中1111,2, ,2, .iaijijjaaaaisjn 再考慮方程組再考慮方程組 (4)2222222nnssnnsa xaxba xa xb 即，方程組即，方程組(3)有解當(dāng)且僅當(dāng)方程組有解當(dāng)且僅當(dāng)方程組(4)有解。有解。(3)是同解的，因此方程組是同解的，因此方程組(1)有解當(dāng)且僅當(dāng)有解當(dāng)且僅當(dāng) (4)有解有解對方程組對方

9、程組(4)重復(fù)上面的討論，并且一步步作下去，重復(fù)上面的討論，并且一步步作下去，最后就得到一個最后就得到一個階梯形方程組階梯形方程組.的一個解；而方程組的一個解；而方程組(3)的解都是方程組的解都是方程組(4)有解。有解。顯然，方程組顯然，方程組(4)的一個解代入方程組的一個解代入方程組(3)就得出就得出(3)而而(1)與與這時去掉它們不影響這時去掉它們不影響(5)的解的解(5)111122111222222100000rrnnrrnnrrrrnnrrc xc xc xc xdc xc xcxdc xc xdd 其中其中0,2, .iicir 方程組方程組(5)中的中的“”這樣一些恒等式可能不出

10、現(xiàn)這樣一些恒等式可能不出現(xiàn)而且而且(1)與與(5)是同解的是同解的 也可能出現(xiàn)，也可能出現(xiàn)，為了討論的方便，不妨設(shè)所得的階梯形方程組為為了討論的方便，不妨設(shè)所得的階梯形方程組為考察方程組的解的情況考察方程組的解的情況: 由由Cramer法則，此時法則，此時(6)有唯一解，從而有唯一解，從而(1)有唯一解有唯一解rn(6)1111221122222nnnnnnnnc xc xc xdc xc xdc xd i)若若 這時階梯形方程組為這時階梯形方程組為 rn 其中其中 0,2, .iicin 時，方程組時，方程組(5)有解，從而有解，從而(1)有解，有解，10rd 10rd 時，方程組時，方程組

11、(5)無解，從而無解，從而(1)無解無解分兩種情況：分兩種情況：此時去掉此時去掉 “” 的方程的方程此時方程組此時方程組(7)有無窮多個解，從而有無窮多個解，從而(1)有無窮多個解有無窮多個解. (7)111122111,111222222,112,11rrrrnnrrrrnnrrrrr rrrnnc xc xc xdcxc xc xc xdcxc xc xdcxc x ii)若若 ，這時階梯形方程組可化為，這時階梯形方程組可化為 rn 其中其中 0,2, .iicir 事實上，任意給事實上，任意給 一組值，由一組值，由(7)就唯一就唯一1,rnxx 地定出的地定出的 一組值一組值1,rxx稱

12、為一組稱為一組自由未知量自由未知量 1,rnxx 而而 通過通過1,rnxx 1,rxx一般地，我們可以把一般地，我們可以把這樣一組表達式稱為方程組這樣一組表達式稱為方程組(1)的的一般解一般解，表示出來表示出來 線性方程組消元法的矩陣表示線性方程組消元法的矩陣表示不妨設(shè)線性方程組不妨設(shè)線性方程組(1)的增廣矩陣的增廣矩陣11121121222212nnssssnaaabaaabAbaaa 經(jīng)過一系列經(jīng)過一系列初等行變換初等行變換化成階梯陣化成階梯陣111211,1112222,122,11000000000000000000000rrnrrnrrr rrnrrcccccdccccdcccdd

13、 其中其中 0,2, .iicir 10rd 時，方程組時，方程組 (1)無解無解 10rd 時，方程組時，方程組(1) 有解有解. 且方程組且方程組(1)與方程組與方程組(7)同解同解(7)111122111,111222222,112,11rrrrnnrrrrnnrrrrr rrrnnc xc xc xdcxc xc xc xdcxc xc xdcxc x 當(dāng)當(dāng) 時時 ，方程組，方程組(1)有無窮多解有無窮多解 rn 所以，當(dāng)所以，當(dāng) 時，方程組時，方程組(1)有唯一解；有唯一解； rn （ 這樣，方程組這樣，方程組(1)(1)有沒有解，以及有怎樣的解，有沒有解，以及有怎樣的解，都可以通過它的增廣矩陣看出。）都可以通過它的增廣矩陣看出。） 例解下列方程組例解下列方程組12341234123452724213650 xxxxxxxxxxxx 512172142 113650 136502142 15121710 14 3224 7 136500 71612 10 0005 解：對方程組的增廣矩陣作初等行變換解：對方程組的增廣矩陣作初等行變換從最后一行知，原方程組無解。從最后一行知，原方程組無