1、微分方程模型微分方程模型 例例 1 火車啟動火車啟動 例例 2 細(xì)菌增長細(xì)菌增長 例例 4 交通黃燈交通黃燈 例例 3 溶液濃度溶液濃度 例例 5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型 如果有一個實(shí)際問題，要找一個量如果有一個實(shí)際問題，要找一個量 y ，與另一個量與另一個量 t（時間或其他變量）的關(guān)系，（時間或其他變量）的關(guān)系，這種關(guān)系涉及量這種關(guān)系涉及量 y 在每個在每個 t 時的瞬時變化率，時的瞬時變化率，而且這個瞬時變化率與量而且這個瞬時變化率與量 y 與與 t 的關(guān)系可以的關(guān)系可以確定，那么這樣的問題通常可以通過微分確定，那么這樣的問題通常可以通過微分方程來解決。方程來解決。 利用微分方程解決這樣的問題的

2、一般利用微分方程解決這樣的問題的一般步驟如下：步驟如下： （分為六步）（分為六步） 注意到實(shí)際問題中有與數(shù)學(xué)中注意到實(shí)際問題中有與數(shù)學(xué)中“導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)”有關(guān)的常用詞，如有關(guān)的常用詞，如“速度速度”、“速率速率”（運(yùn)動學(xué)、化學(xué)反應(yīng)（運(yùn)動學(xué)、化學(xué)反應(yīng)中）；中）；“邊際的邊際的”（經(jīng)濟(jì)學(xué)中）；（經(jīng)濟(jì)學(xué)中）；“增長增長”（生物學(xué)、金融、經(jīng)濟(jì)等中）；（生物學(xué)、金融、經(jīng)濟(jì)等中）；“衰變衰變”（放射性問題中）；（放射性問題中）；以及與以及與“改變改變”、“變化變化”、“增加增加”、“減少減少”等有關(guān)詞語，等有關(guān)詞語，都可能都可能是是微分方程的微分方程的問題問題。第一步第一步:第二步第二步：梳理出實(shí)際問題中所涉及

3、的各種量，：梳理出實(shí)際問題中所涉及的各種量，使用一致的物理單位。使用一致的物理單位。第三步第三步：梳理出與結(jié)果有關(guān)的并且有著函數(shù)：梳理出與結(jié)果有關(guān)的并且有著函數(shù)關(guān)系（待求）的兩個量作為要求的函數(shù)的自關(guān)系（待求）的兩個量作為要求的函數(shù)的自變量變量 t 與因變量與因變量 y ，而與變化率有關(guān)的量即，而與變化率有關(guān)的量即是待求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。是待求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。第四步第四步：了解問題中所涉及的原則或物理定律。：了解問題中所涉及的原則或物理定律。第五步第五步：依據(jù)：依據(jù) 第二、第三、第四步第二、第三、第四步 建立微分建立微分方程。方程。 還有已知的對應(yīng)某個還有已知的對應(yīng)某個 t 的的 y 的值（可的值（可能

4、還有能還有 y 的導(dǎo)數(shù)的值）就是求解微分方程所的導(dǎo)數(shù)的值）就是求解微分方程所需要的初始值。需要的初始值。第六步第六步：求微分方程的解并給出問題的答案。：求微分方程的解并給出問題的答案。 下面我們從易到難給出微分方程模型之應(yīng)下面我們從易到難給出微分方程模型之應(yīng)用案例用案例例例1 火車啟動火車啟動例例 1：火車啟動：火車啟動題目題目：一列火車從靜止開始啟動，均勻地加速，：一列火車從靜止開始啟動，均勻地加速，五分鐘時速度達(dá)到五分鐘時速度達(dá)到 300 千米。問：這段時間內(nèi)千米。問：這段時間內(nèi)該火車行進(jìn)了多少路程？該火車行進(jìn)了多少路程？解解 這個問題相對比較簡單，問題與這個問題相對比較簡單，問題與“加速

5、加速”、“速度速度”有關(guān)，所以與導(dǎo)數(shù)有關(guān)；有關(guān)，所以與導(dǎo)數(shù)有關(guān)；例例1 火車啟動火車啟動涉及的量為：涉及的量為： “時間時間”（小時），（小時），“路程路程”（千米），（千米），“速速度度”（千米（千米/小時），小時），“加速度加速度”（常數(shù)（常數(shù) a ）; 有（待定）函數(shù)關(guān)系的兩個量定為：有（待定）函數(shù)關(guān)系的兩個量定為： 路程路程 y 時間時間 t ；涉及的原則或物理定律：涉及的原則或物理定律： 導(dǎo)數(shù)速度，二階導(dǎo)數(shù)加速度；導(dǎo)數(shù)速度，二階導(dǎo)數(shù)加速度；例例1 火車啟動火車啟動建立微分方程建立微分方程：. 22adtydbatdtdy 或或通解為通解為：(1) .212cbtaty 初始值初始值:

6、.)/(,)(,)(3006050000yyy代入代入（1）求得求得:.,360000abc因此因此:.(km .)()/(）51260518006052y#例例2 細(xì)菌增長細(xì)菌增長例例 2：細(xì)菌增長：細(xì)菌增長題目題目：細(xì)菌的增長率與總數(shù)成正比。如果培養(yǎng)：細(xì)菌的增長率與總數(shù)成正比。如果培養(yǎng)的細(xì)菌總數(shù)在的細(xì)菌總數(shù)在 24h 內(nèi)由內(nèi)由 100 增長為增長為 400 , 那么，那么，前前12h 后的細(xì)菌總數(shù)是多少？后的細(xì)菌總數(shù)是多少？解解 這個問題也比較簡單。這個問題也比較簡單。 問題與問題與“增長率增長率”有關(guān)，所以與導(dǎo)數(shù)有關(guān)；有關(guān)，所以與導(dǎo)數(shù)有關(guān)；涉及的量為：涉及的量為： “時間時間”（小時），

7、（小時），“細(xì)菌總數(shù)細(xì)菌總數(shù)”（個），（個）， “速度速度”（個（個/小時）小時）; 有（待定）函數(shù)關(guān)系的兩個量定為：有（待定）函數(shù)關(guān)系的兩個量定為： 細(xì)菌總數(shù)細(xì)菌總數(shù) y ，時間，時間 t ；涉及的原則或物理定律：涉及的原則或物理定律： 導(dǎo)數(shù)增長率導(dǎo)數(shù)增長率.例例2 細(xì)菌增長細(xì)菌增長建立微分方程建立微分方程：.kydtdy 通解為通解為：(2) .ktcey 初始值初始值:.400)24(,100)0( yy代入（代入（2）求得）求得:.24/ )4(ln,100 kc因此因此:. )200(100)12(4ln)24/12(個細(xì)菌個細(xì)菌 ey# .10024/4lntey 我們要求的是我們

8、要求的是:例例2 細(xì)菌增長細(xì)菌增長例例3 溶液濃度溶液濃度例例 3：溶液濃度：溶液濃度題目題目：一水槽內(nèi)盛滿酸性溶液，其體積為：一水槽內(nèi)盛滿酸性溶液，其體積為 V，注清水入槽內(nèi)，目的在于減弱酸性，但隨時保注清水入槽內(nèi)，目的在于減弱酸性，但隨時保持溶液均勻和體積持溶液均勻和體積 V 的不變。的不變。 設(shè)在某一瞬間設(shè)在某一瞬間已經(jīng)注入清水的總量為已經(jīng)注入清水的總量為 x，用，用 S 表示這時槽內(nèi)表示這時槽內(nèi)含有酸性溶液的濃度，問要使酸性減弱一半，含有酸性溶液的濃度，問要使酸性減弱一半，應(yīng)注入清水多少？應(yīng)注入清水多少？解解 這個問題比前兩個例子要復(fù)雜。這個問題比前兩個例子要復(fù)雜。 問題與問題與“減減

9、弱弱”有關(guān)，所以可能與導(dǎo)數(shù)有關(guān)；但酸性濃度有關(guān)，所以可能與導(dǎo)數(shù)有關(guān)；但酸性濃度“減弱的程度減弱的程度”也就是濃度的也就是濃度的“變化率變化率”與其他與其他量（濃度、清水的量）的關(guān)系不明確。量（濃度、清水的量）的關(guān)系不明確。A:所以確定濃度的所以確定濃度的“變化率變化率”與與“酸性濃度酸性濃度”，“清水的量清水的量”的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵。的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵。涉及的量為：涉及的量為： “清水的總量清水的總量”，“酸性濃度酸性濃度”（用純量單（用純量單位位:1）. “酸性濃度變化率酸性濃度變化率”，體積（常數(shù)），其，體積（常數(shù)），其中都使用題目中的純量單位中都使用題目中的純量單位; 有（待定）

10、函數(shù)關(guān)系的兩個量定為：有（待定）函數(shù)關(guān)系的兩個量定為： 酸性濃度酸性濃度 S，清水的總量，清水的總量 x；涉及的原則或物理定律：涉及的原則或物理定律： 導(dǎo)數(shù)變化率，溶液保持均勻，體積導(dǎo)數(shù)變化率，溶液保持均勻，體積 V 不變不變.例例3 溶液濃度溶液濃度VSx清水清水溶液溶液例例3 溶液濃度溶液濃度xVVxSxxS)()(例例3 溶液濃度溶液濃度xxSxxSdxdSx )()(lim0建立微分方程：建立微分方程： )()(1lim0 xSxVVxSxxVSxVxSxxx )(1lim0即：即：VSdxdS 例例3 溶液濃度溶液濃度通解為通解為：(3) .lncVxS 初始值初始值:. 1)0(

11、S代入（代入（3）求得）求得:. 0 c因此有因此有:(1/ 2)ln(1/ 2)ln2.xVV # .lnSVx 我們要求的是我們要求的是:即：要使酸性減弱一般，應(yīng)注入清水即：要使酸性減弱一般，應(yīng)注入清水 V ln2 .B:設(shè)容器內(nèi)有設(shè)容器內(nèi)有100L鹽水鹽水,內(nèi)含有鹽內(nèi)含有鹽10kg，現(xiàn)以，現(xiàn)以3L/min的速度注入質(zhì)量濃度為的速度注入質(zhì)量濃度為0.01kg/L的淡鹽水，同時以的淡鹽水，同時以2L/min的速度抽出混合均與的鹽水。求容器內(nèi)鹽含的速度抽出混合均與的鹽水。求容器內(nèi)鹽含量變化的數(shù)學(xué)模型。量變化的數(shù)學(xué)模型。解：解：設(shè)設(shè)t時刻容器內(nèi)的鹽量為時刻容器內(nèi)的鹽量為x(t)kgt到到t+dt

12、, dt時間內(nèi)容器中鹽的改變量為時間內(nèi)容器中鹽的改變量為dx,dx=注入注入的鹽水所含鹽量的鹽水所含鹽量-抽出抽出的鹽水中所含鹽量的鹽水中所含鹽量dt3010. dtttx22-3100 dtttxdtdx22-3100030 .dttxdt1002030.txdtdx1002030.又因為容器內(nèi)原有鹽又因為容器內(nèi)原有鹽10kg,即即t=0時，時，x=10,即即x(0)=10,該問題的數(shù)學(xué)模型為該問題的數(shù)學(xué)模型為1001002030)(.xtxdtdx1000301002)(.xtxdtdx其解為其解為34100109010)(.t分析：分析： t時刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為時刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量

13、濃度為ttxtp100)()(時，當(dāng)t。010.)(tp說明：說明：若長時間的進(jìn)行上述稀釋過程，容器若長時間的進(jìn)行上述稀釋過程，容器內(nèi)內(nèi)鹽水的質(zhì)量濃度將趨于注入溶液的質(zhì)鹽水的質(zhì)量濃度將趨于注入溶液的質(zhì)量量濃度。濃度。24100109100010)()(.)(tttx推廣：推廣：設(shè)容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量濃度的溶液，以流速設(shè)容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量濃度的溶液，以流速 注注入質(zhì)量濃度為入質(zhì)量濃度為 的溶液（同一種溶液，只是質(zhì)量濃的溶液（同一種溶液，只是質(zhì)量濃度不同），假定溶液立即被攪勻，并以度不同），假定溶液立即被攪勻，并以 的流速流的流速流出這種混合溶液。試建立容器中質(zhì)量濃度與時間的出這種混合溶液。試建立容

14、器中質(zhì)量濃度與時間的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型。解解:設(shè)設(shè)t時刻容器內(nèi)的溶質(zhì)質(zhì)量為時刻容器內(nèi)的溶質(zhì)質(zhì)量為x(t),dt時間內(nèi)容器中溶質(zhì)的改變量為時間內(nèi)容器中溶質(zhì)的改變量為dx,dx=注入注入的溶質(zhì)質(zhì)量的溶質(zhì)質(zhì)量-流出流出的溶質(zhì)質(zhì)量的溶質(zhì)質(zhì)量1V1C2V初始質(zhì)量為初始質(zhì)量為x(0),溶液初始體積為溶液初始體積為0VdtVC11dtVC22（液體的混合，氣體的混合液體的混合，氣體的混合）該問題的數(shù)學(xué)模型為該問題的數(shù)學(xué)模型為022110 xxVCVCdtdx)(dtVC11dtVC22-dx是流入溶液的質(zhì)量濃度，是流入溶液的質(zhì)量濃度， 為為 時刻容器中時刻容器中 溶液的質(zhì)量濃度，溶液的質(zhì)量濃度，tVVVxC

15、)(21021C2Ct例例4 黃燈時間黃燈時間例例 4：黃燈時間：黃燈時間題目題目：交通管理紅綠燈處紅燈亮之前黃燈應(yīng)該：交通管理紅綠燈處紅燈亮之前黃燈應(yīng)該亮多長時間？亮多長時間？說明：說明： 在交通管理中，定期地亮一段時間的黃燈是在交通管理中，定期地亮一段時間的黃燈是為了讓那些正行使在交叉路口上或距交叉路口太為了讓那些正行使在交叉路口上或距交叉路口太近無法停下的車輛通過路口。這樣，紅綠燈之間近無法停下的車輛通過路口。這樣，紅綠燈之間應(yīng)保持足夠長時間的黃燈，使那些應(yīng)保持足夠長時間的黃燈，使那些“無法停車無法停車”（即來不及在路口前停下）的駕駛員有機(jī)會在黃（即來不及在路口前停下）的駕駛員有機(jī)會在黃

16、燈亮的時候通過路口。燈亮的時候通過路口。例例4 黃燈時間黃燈時間解：解： 這個問題比上個例子還要復(fù)雜，從問題的這個問題比上個例子還要復(fù)雜，從問題的語言描述中不能立即看出與微分有什么關(guān)系。這語言描述中不能立即看出與微分有什么關(guān)系。這就需要先將問題分析、分解。就需要先將問題分析、分解。 這個問題的解決過程和方法對于做建模競賽這個問題的解決過程和方法對于做建模競賽題很有參考價值。題很有參考價值。分析：分析：駛近路口的駕駛員，在看到黃燈信號后要駛近路口的駕駛員，在看到黃燈信號后要作出決定：是停車還是通過路口？作出決定：是停車還是通過路口？ 如果他以法定速度行使，當(dāng)決定停車時，他如果他以法定速度行使，當(dāng)

17、決定停車時，他必須有足夠的必須有足夠的“停車距離停車距離”；當(dāng)決定通過路口時，；當(dāng)決定通過路口時，他必須有足夠的時間使他能夠完全通過路口，這他必須有足夠的時間使他能夠完全通過路口，這也包括做決定的時間（也包括做決定的時間（“反應(yīng)時間反應(yīng)時間”）及停車所）及停車所需的最短距離的行駛時間。需的最短距離的行駛時間。于是，于是，例例4 黃燈時間黃燈時間于是，于是，黃燈狀態(tài)應(yīng)持續(xù)的時間包括：黃燈狀態(tài)應(yīng)持續(xù)的時間包括：（1）駕駛員的）駕駛員的“反應(yīng)時間反應(yīng)時間”；（2）“停車所需時間停車所需時間” （在剎車所需的最短距離內(nèi)）（在剎車所需的最短距離內(nèi)）; （3）“通過交叉路口的時間通過交叉路口的時間”。 有

18、了這么多的時間，駕駛員就能在剎車有了這么多的時間，駕駛員就能在剎車距離內(nèi)安全停車，否則也能安全通過路口。距離內(nèi)安全停車，否則也能安全通過路口。例例4 黃燈時間黃燈時間 如果法定速度為如果法定速度為 v0，（見下圖，（見下圖4-1）交叉路）交叉路口的寬度為口的寬度為 I，典型的車身長度為，典型的車身長度為 L，那么通過，那么通過路口的時間為路口的時間為 (I+L)/v0.（注意車身必須全部通注意車身必須全部通過路口，這樣，路口的計算長度就是過路口，這樣，路口的計算長度就是 I+L.）路寬路寬 I車長車長 L剎車距剎車距離離 Db反應(yīng)時間反應(yīng)時間 T行進(jìn)車速行進(jìn)車速 v0黃燈時間應(yīng)黃燈時間應(yīng),0V

19、LIDTb bD？圖圖4-1例例4 黃燈時間黃燈時間評注評注： 前面的工作是一般建模都要遇到的前面的工作是一般建模都要遇到的過程，而模型的好差在于對停車距離的過程，而模型的好差在于對停車距離的處理。處理。 如果停車距離使用經(jīng)驗數(shù)據(jù)來處理，如果停車距離使用經(jīng)驗數(shù)據(jù)來處理，那么這個模型在數(shù)學(xué)機(jī)理上就有些欠缺；那么這個模型在數(shù)學(xué)機(jī)理上就有些欠缺； 若通過在剎車過程中引入一個抵抗若通過在剎車過程中引入一個抵抗摩擦力，利用微分方程來處理這個停車摩擦力，利用微分方程來處理這個停車距離，就使得模型上了一個檔次。距離，就使得模型上了一個檔次。例例4 黃燈時間黃燈時間 對于這個剎車距離問題，顯然與對于這個剎車距

20、離問題，顯然與“速度速度”有關(guān)，速度要從有關(guān)，速度要從 v0 變到變到 0，從而用到導(dǎo)數(shù)，從而用到導(dǎo)數(shù). 涉及的量為：涉及的量為： “距離距離”（米），（米），“時間時間”（秒），（秒）， “速度速度”， “加速度加速度”，摩擦力等；，摩擦力等； 有（待定）函數(shù)關(guān)系的兩個量定為：有（待定）函數(shù)關(guān)系的兩個量定為： 距離距離 x， 時間時間 t； 涉及的原則或物理定律：涉及的原則或物理定律： 力學(xué)定律力學(xué)定律 F=ma.例例4 黃燈時間黃燈時間圖圖4-2 設(shè)汽車重量為設(shè)汽車重量為 W，摩擦系數(shù)為，摩擦系數(shù)為 f. 根據(jù)定根據(jù)定義，對汽車的制動力為義，對汽車的制動力為 fW，其方向與汽車行，其方向與

21、汽車行進(jìn)方向相反（見圖進(jìn)方向相反（見圖4-2）.WfW x應(yīng)用力學(xué)定律：應(yīng)用力學(xué)定律：F=ma例例4 黃燈時間黃燈時間 停車過程看成是汽車在常力停車過程看成是汽車在常力 fW 作用下作用下的直線運(yùn)動，其方程為：的直線運(yùn)動，其方程為：其中其中 g 是重力加速度。是重力加速度。1)-(4 22fWdtxdgW 初始值有：初始值有：要求的剎車距離就是直到要求的剎車距離就是直到. , 0)0(00vdtdxxt 0 dtdx時時 x 的值。的值。例例4 黃燈時間黃燈時間00 vdtdxt 在在的條件下對（的條件下對（4-1）兩邊積分得）兩邊積分得2)-(4 0vfgtdtdx 于是于是0 dtdx時，

22、時，t = tb =v0/(fg)。 在在 x(0)=0 的條件下對（的條件下對（4-2）兩邊積分，得）兩邊積分，得從而得從而得4)-(4 2)( 20fgvDtxbb 3)-(4 21 02tvfgtx 1)-(4 22fWdtxdgW 例例4 黃燈時間黃燈時間注意注意，在計算時間時，要將速度，在計算時間時，要將速度 v0 通常用的通常用的單位單位 km/h 換成換成 m/s. 現(xiàn)在可以計算出現(xiàn)在可以計算出“黃燈時間黃燈時間”模型應(yīng)用和數(shù)據(jù)試驗（模型應(yīng)用和數(shù)據(jù)試驗（暫略暫略）)2(20fgvDb .2000vLIfgvTvLIDTAb 例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型例例 5：作戰(zhàn)模型：作戰(zhàn)模型題目

23、題目：討論傳統(tǒng)的正規(guī)戰(zhàn)爭、游擊戰(zhàn)爭、以及：討論傳統(tǒng)的正規(guī)戰(zhàn)爭、游擊戰(zhàn)爭、以及分別使用正規(guī)部隊和游擊部隊的所謂混合戰(zhàn)爭分別使用正規(guī)部隊和游擊部隊的所謂混合戰(zhàn)爭的作戰(zhàn)模型。的作戰(zhàn)模型。引言：引言：第一次世界大戰(zhàn)期間，第一次世界大戰(zhàn)期間，F(xiàn) W Lanchester提出了幾個關(guān)于空戰(zhàn)戰(zhàn)術(shù)的尚不成熟的數(shù)學(xué)模型，提出了幾個關(guān)于空戰(zhàn)戰(zhàn)術(shù)的尚不成熟的數(shù)學(xué)模型，后來人們不斷地對這些模型進(jìn)行改進(jìn)，得到了關(guān)后來人們不斷地對這些模型進(jìn)行改進(jìn)，得到了關(guān)于傳統(tǒng)的正規(guī)戰(zhàn)爭、游擊戰(zhàn)爭、以及分別使用正于傳統(tǒng)的正規(guī)戰(zhàn)爭、游擊戰(zhàn)爭、以及分別使用正規(guī)部隊和游擊部隊的所謂混合戰(zhàn)爭的作戰(zhàn)模型。規(guī)部隊和游擊部隊的所謂混合戰(zhàn)爭的作戰(zhàn)模型。

24、并且用這些模型成功地解釋了越南戰(zhàn)爭和美日的并且用這些模型成功地解釋了越南戰(zhàn)爭和美日的硫磺島戰(zhàn)役的情況。硫磺島戰(zhàn)役的情況。例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型 當(dāng)然，這些模型是非常簡單的，只考慮雙當(dāng)然，這些模型是非常簡單的，只考慮雙方的兵力的多少和戰(zhàn)斗力的強(qiáng)弱，并且當(dāng)時只方的兵力的多少和戰(zhàn)斗力的強(qiáng)弱，并且當(dāng)時只使用槍炮之類的常規(guī)武器。兵力因戰(zhàn)斗減員和使用槍炮之類的常規(guī)武器。兵力因戰(zhàn)斗減員和非戰(zhàn)斗減員而減少，由于增援而增加；戰(zhàn)斗力非戰(zhàn)斗減員而減少，由于增援而增加；戰(zhàn)斗力是殺傷對方的能力，它與射擊率（單位時間的是殺傷對方的能力，它與射擊率（單位時間的射擊次數(shù)）、射擊命中率以及戰(zhàn)爭類型（正規(guī)射擊次數(shù)）、射擊命中率

25、以及戰(zhàn)爭類型（正規(guī)戰(zhàn)、游擊戰(zhàn)等）有關(guān)。即這些模型僅考慮戰(zhàn)場戰(zhàn)、游擊戰(zhàn)等）有關(guān)。即這些模型僅考慮戰(zhàn)場上的兵力的優(yōu)劣，并沒有考慮交戰(zhàn)雙方的政治、上的兵力的優(yōu)劣，并沒有考慮交戰(zhàn)雙方的政治、外交、經(jīng)濟(jì)、社會等因素，所以僅用這些模型外交、經(jīng)濟(jì)、社會等因素，所以僅用這些模型來判別一場戰(zhàn)爭的結(jié)局是不現(xiàn)實(shí)的。來判別一場戰(zhàn)爭的結(jié)局是不現(xiàn)實(shí)的。例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型 但是這樣的模型對于局部戰(zhàn)爭和戰(zhàn)役但是這樣的模型對于局部戰(zhàn)爭和戰(zhàn)役仍然會有參考價值。更重要的是，這些仍然會有參考價值。更重要的是，這些建模的思路和方法為我們借助數(shù)學(xué)模型建模的思路和方法為我們借助數(shù)學(xué)模型去討論社會科學(xué)中的實(shí)際問題提供了可去討論社會科學(xué)

26、中的實(shí)際問題提供了可以借鑒的示例。以借鑒的示例。例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型一般戰(zhàn)爭模型一般戰(zhàn)爭模型 用用 x(t) 和和 y(t) 分別表示交戰(zhàn)的雙方在分別表示交戰(zhàn)的雙方在時刻時刻 t 的兵力（人數(shù)），假設(shè)的兵力（人數(shù)），假設(shè) x(t) 和和 y(t) 為時間的可導(dǎo)函數(shù)。從變化率入手，雙方為時間的可導(dǎo)函數(shù)。從變化率入手，雙方兵力變化的情況滿足下面的微分方程組：兵力變化的情況滿足下面的微分方程組：( , )() (5-1)( , )()dxf x yx utdtdyg x yy vtdt例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型其中，其中， f(x,y)， g(x,y) 表示各方的戰(zhàn)斗減員表示各方的戰(zhàn)斗減員率；率；

27、 0, 0 表示非戰(zhàn)斗減員率與本方兵表示非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力的比例常數(shù)；力的比例常數(shù)；u(t)，v(t) 分別表示各方的分別表示各方的增援率。增援率。 問題是要針對不同的戰(zhàn)爭類型，先估問題是要針對不同的戰(zhàn)爭類型，先估計戰(zhàn)斗減員率計戰(zhàn)斗減員率 f(x,y)， g(x,y)，再分析微分再分析微分方程的解，從而確定誰將方程的解，從而確定誰將“贏得贏得”戰(zhàn)斗。戰(zhàn)斗。( , )( ) (5-1)( , )( )dxf x yxu tdtdyg x yyv tdt 例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型 甲乙雙方都用正規(guī)部隊參加作戰(zhàn)，分甲乙雙方都用正規(guī)部隊參加作戰(zhàn)，分析一下甲方的戰(zhàn)斗減員率析一

28、下甲方的戰(zhàn)斗減員率 f(x,y). 甲方士兵公開活動，處于乙方每一個甲方士兵公開活動，處于乙方每一個士兵的殺傷范圍之內(nèi)，一旦甲方每個士兵士兵的殺傷范圍之內(nèi)，一旦甲方每個士兵被殺傷，乙方的火力立即集中在其余的士被殺傷，乙方的火力立即集中在其余的士兵身上，所以甲方的戰(zhàn)斗減員率只與乙方兵身上，所以甲方的戰(zhàn)斗減員率只與乙方的兵力有關(guān)，可以簡單地假設(shè)的兵力有關(guān)，可以簡單地假設(shè) f(x,y) 與與 y 成正比，即成正比，即 f(x,y)=ay, a0.例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型 a 表示乙方平均每個士兵對甲方士兵表示乙方平均每個士兵對甲方士兵的殺傷率（單位時間的殺傷數(shù)），稱為的殺傷率（單位時間的殺傷數(shù)），稱

29、為乙方的有效戰(zhàn)斗系數(shù)。乙方的有效戰(zhàn)斗系數(shù)。a 可以進(jìn)一步分解可以進(jìn)一步分解為為 a=ry py，其中，其中 ry 是乙方的是乙方的 射擊率射擊率（每（每個士兵單位時間的射擊次數(shù)），個士兵單位時間的射擊次數(shù)），py 是每是每次射擊的次射擊的 命中率命中率。 類似地，類似地，g(x,y)=bx, b0，甲方的有，甲方的有效戰(zhàn)斗系數(shù)為效戰(zhàn)斗系數(shù)為 b=rx px，其中，其中 rx 和和 px 是是甲方的射擊率和命中率。甲方的射擊率和命中率。例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型 將戰(zhàn)斗減員率的表達(dá)式代入將戰(zhàn)斗減員率的表達(dá)式代入（5-1）給出正規(guī)戰(zhàn)爭的數(shù)學(xué)模型：給出正規(guī)戰(zhàn)爭的數(shù)學(xué)模型：( ) (5-2)( )dxa

30、yxu tdtdybxyv tdt 在分析戰(zhàn)爭結(jié)局時在分析戰(zhàn)爭結(jié)局時忽略忽略非戰(zhàn)斗減員一項，非戰(zhàn)斗減員一項，并且假設(shè)雙方都并且假設(shè)雙方都沒有增援沒有增援。例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型 記雙方的初始兵力分別為記雙方的初始兵力分別為 x0 和和 y0, 則方程則方程 (5-2) 簡化為：簡化為： (5-3)dxaydtdybxdt 00)0(,)0(yyxx 且滿足初始條件：且滿足初始條件：解此方程得：解此方程得：222200,. (5-4)aybxkkaybx例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型202022,bxaykkbxay 為雙曲線簇，如下圖，箭頭表示時間為雙曲線簇，如下圖，箭頭表示時間 t 增增加的方向

31、加的方向O)(txbk /)(tyak /平局 , 0k乙方勝 0,k甲方勝 0,k222222000 xabykybabkxkxabakyk,例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型2020bxayk 由由，進(jìn)一步分析例如，進(jìn)一步分析例如乙方取勝乙方取勝 (k0) 的條件：的條件：200. (5-5)yyxxr pxaybr p 此式說明雙方初始兵力之比此式說明雙方初始兵力之比 x0/y0 以以平方關(guān)系影響著戰(zhàn)爭的結(jié)局。所以這種正平方關(guān)系影響著戰(zhàn)爭的結(jié)局。所以這種正規(guī)戰(zhàn)爭作戰(zhàn)的數(shù)學(xué)模型稱為規(guī)戰(zhàn)爭作戰(zhàn)的數(shù)學(xué)模型稱為平方律模型平方律模型。例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型游擊戰(zhàn)爭模型游擊戰(zhàn)爭模型 甲乙雙方都用游擊部隊參加

32、作戰(zhàn)，還甲乙雙方都用游擊部隊參加作戰(zhàn)，還是先分析一下甲方的戰(zhàn)斗減員率是先分析一下甲方的戰(zhàn)斗減員率 f(x,y). 甲方士兵在乙方士兵看不到的某個面甲方士兵在乙方士兵看不到的某個面積為積為 Ax 的區(qū)域內(nèi)活動，乙方士兵向甲方的的區(qū)域內(nèi)活動，乙方士兵向甲方的這個區(qū)域射擊，并且不知道殺傷的情況。這個區(qū)域射擊，并且不知道殺傷的情況。這時，甲方的戰(zhàn)斗減員率可以簡單的假設(shè)這時，甲方的戰(zhàn)斗減員率可以簡單的假設(shè)為為 f(x,y) 與與 xy 成正比，即成正比，即 f(x,y)=cxy, c0 表示乙方的有效戰(zhàn)斗系數(shù)。表示乙方的有效戰(zhàn)斗系數(shù)。例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型c 可以進(jìn)一步分解為可以進(jìn)一步分解為 類似地，

33、類似地，g(x,y)=dxy, d0，甲方的有效，甲方的有效戰(zhàn)斗系數(shù)為戰(zhàn)斗系數(shù)為其中其中 ry 仍是乙方的仍是乙方的 射擊率，射擊率，而每次射擊的而每次射擊的命中率命中率 py 是乙方一次射擊的有效面積是乙方一次射擊的有效面積 Ary 與甲方的活動面積之比，其中有效面積與甲方的活動面積之比，其中有效面積 Ary 為單個游擊隊員身體暴露部分的面積。為單個游擊隊員身體暴露部分的面積。,xyryyyAArprc .yxrxxxAArprd 例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型 將這里的戰(zhàn)斗減員率的表達(dá)式代入將這里的戰(zhàn)斗減員率的表達(dá)式代入 (5-1) 給出游擊戰(zhàn)爭的數(shù)學(xué)模型：給出游擊戰(zhàn)爭的數(shù)學(xué)模型：( ) (5-

34、6)( )dxcxyx u tdtdydxyy v tdt 仍然仍然忽略忽略非戰(zhàn)斗減員一項，并且假非戰(zhàn)斗減員一項，并且假設(shè)雙方都設(shè)雙方都沒有增援沒有增援。記雙方的初始兵力。記雙方的初始兵力分別為分別為 x0 和和 y0, 則方程則方程（6-6）簡化為：簡化為：例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型 (5-7)dxcxydtdydxydt 00)0(,)0(yyxx 解此方程得：解此方程得：00,. (5-8)cy dx kk cydx且滿足初始條件：且滿足初始條件： 這是直線簇，如下圖，箭頭表示時間這是直線簇，如下圖，箭頭表示時間 t 增加的方向：增加的方向：例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型O)(txdk /)(t

35、yck /平局 , 0k甲方勝 , 0k乙方勝 , 0k00,dxcykxcdcky 上圖的直線簇，箭頭表示時間上圖的直線簇，箭頭表示時間 t 增加的增加的方向。方向。例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型00dxcyk 由由，進(jìn)一步分析例如，進(jìn)一步分析例如甲方取勝甲方取勝 (k0 表示乙方表示乙方的有效戰(zhàn)斗系數(shù)，的有效戰(zhàn)斗系數(shù)，,xyryyyAArprc 乙方的戰(zhàn)斗減員率假設(shè)為乙方的戰(zhàn)斗減員率假設(shè)為 g(x,y)=bx, b0 表示甲方的有效戰(zhàn)斗系數(shù)，表示甲方的有效戰(zhàn)斗系數(shù)，b=rxpx.例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型 同樣忽略非戰(zhàn)斗減員一項，并且假同樣忽略非戰(zhàn)斗減員一項，并且假設(shè)雙方都沒有增援。記雙方的初始兵

36、力設(shè)雙方都沒有增援。記雙方的初始兵力分別為分別為 x0 和和 y0, 則得出混合戰(zhàn)爭作戰(zhàn)的數(shù)則得出混合戰(zhàn)爭作戰(zhàn)的數(shù)學(xué)模型為：學(xué)模型為： (5-10)dxcxydtdybxdt 00)0(,)0(yyxx 此方程的解為：此方程的解為：滿足初始條件：滿足初始條件：例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型 這是拋物線簇，如下圖，箭頭表示時這是拋物線簇，如下圖，箭頭表示時間間 t 增加的方向：增加的方向：22002,2. (5-11)cybx kk cybxO)(tx)2/( bk)(tyck /平局 , 0k甲方勝 , 0k乙方勝 , 0k.2,20202bxcykxcbcky 拋物線方程：拋物線方程：例例5 作戰(zhàn)

37、模型作戰(zhàn)模型下面用一些歷史數(shù)據(jù)來看看模型的效果下面用一些歷史數(shù)據(jù)來看看模型的效果.，進(jìn)一步分析例如乙方，進(jìn)一步分析例如乙方取勝取勝 (k0) 的條件：的條件：20200022 (5-12)xxxyryyr p Abxcxr A x 此式說明雙方初始兵力之比此式說明雙方初始兵力之比 x0/y0 以拋物線以拋物線關(guān)系影響著戰(zhàn)爭的結(jié)局。所以這種混合戰(zhàn)爭作關(guān)系影響著戰(zhàn)爭的結(jié)局。所以這種混合戰(zhàn)爭作戰(zhàn)的數(shù)學(xué)模型稱為戰(zhàn)的數(shù)學(xué)模型稱為拋物線律模型拋物線律模型。2002. (5-13)xxxyryr p Ayxr A0202bxcyk 由由或或例例5 作戰(zhàn)模型作戰(zhàn)模型硫黃島戰(zhàn)役硫黃島戰(zhàn)役 硫黃島位于東京以南硫黃島位于東京以南 660英里，是一座火英里，是一座火山島，面積僅山島，面積僅 8 平方英里。二次大戰(zhàn)后期，美平方英里。二次大戰(zhàn)后期，美國與日本在這里進(jìn)行了一場殘酷的戰(zhàn)爭。國與日本在這里進(jìn)行了一場殘酷的戰(zhàn)爭。 美軍在美軍在1945 年年2 月月19日開始進(jìn)攻，激烈的戰(zhàn)日開始進(jìn)攻，激烈的戰(zhàn)斗持續(xù)了一個多月，日方的守軍斗持續(xù)了一個多月，日方的守軍 21500 人全部陣人全部陣亡或被俘，美軍投入亡或被俘，美軍投入 73000人，傷亡人，傷亡 20265 人。人。 戰(zhàn)斗進(jìn)行到戰(zhàn)斗進(jìn)行到 28 天時，美軍宣布占領(lǐng)該島，天時，美軍宣布占領(lǐng)該島，實(shí)際戰(zhàn)斗到實(shí)際戰(zhàn)斗到 36 天才停止