1、(I) (I) 兩點分布兩點分布 設設E E是一個只有兩種可能結果的是一個只有兩種可能結果的隨機試驗隨機試驗, ,用用= 1 1, , 2 2 表示其樣本空間表示其樣本空間. . P( P( 1 1)=p , P()=p , P( 2 2)=1-p)=1-pl來源來源X()=1, = 10, = 2 200200件產品中件產品中, ,有有196196件是正品件是正品,4,4件是次品件是次品, ,今從中隨機地抽取一件今從中隨機地抽取一件, ,若規若規定定例例 5 5X()=1, 取到合格品0, 取到不合格品 則則 PX=1=196/200=0.98, PX=1=196/200=0.98, PX=

2、0=4/200=0.02 PX=0=4/200=0.02 故故 X X服從參數為服從參數為0.980.98的兩點分布的兩點分布 . . 即即 X X B(1,0.98). B(1,0.98).例例6 設生男孩的概率為設生男孩的概率為p,生女孩的概率為生女孩的概率為q=1-p，令令X表示隨機抽查出生的表示隨機抽查出生的4 4個嬰兒個嬰兒中中“男孩男孩”的個數的個數. .貝努里概型貝努里概型 和和 二項分布二項分布(II)我們來求我們來求X的概率分布的概率分布. .4 , 3 , 2 , 1 , 0,)1 (44kppCkXPkkkX的概率分布是：的概率分布是：男男 女女X表示隨機抽查的表示隨機抽

3、查的4 4個嬰兒中男孩的個數，個嬰兒中男孩的個數，生男孩的概率為生男孩的概率為 p.X=0X =1X =2X =3X =4X可取值可取值0,1,2,3,4.例例7 將將一枚均勻骰子拋擲一枚均勻骰子拋擲3次，次，令令X 表示表示3 3次中出現次中出現“4”4”點的次數點的次數3 , 2 , 1 , 0,)65()61(33kCkXPkkkX的概率分布是：的概率分布是：不難求得，不難求得， 擲骰子：擲骰子：“擲出擲出4 4點點”，“未擲出未擲出4 4點點” 一般地，一般地，設在一次試驗中我們只考慮兩個設在一次試驗中我們只考慮兩個互逆的結果：互逆的結果：A或或 ， 或者形象地把兩個互或者形象地把兩個

4、互逆結果叫做逆結果叫做“成功成功”和和“失敗失敗”. .A 新生兒：新生兒：“是男孩是男孩”，“是女孩是女孩” 抽驗產品：抽驗產品：“是正品是正品”，“是次品是次品”再設我們重復地進行再設我們重復地進行n次獨立試驗次獨立試驗 ( “( “重復重復”是指這次試驗中各次試驗條件是指這次試驗中各次試驗條件相同相同 ) ) 這樣的這樣的n次獨立重復試驗稱作次獨立重復試驗稱作n重貝努里重貝努里試驗，簡稱貝努里試驗或試驗，簡稱貝努里試驗或貝努里概型貝努里概型. . 每次試驗成功的概率都是每次試驗成功的概率都是p，失敗的概率，失敗的概率都是都是q=1-=1-p. . 用用X表示表示n重貝努里試驗中事件重貝努

5、里試驗中事件A（成成功功）出現的次數，則）出現的次數，則nkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1 ()(稱稱r.v.r.v.X服從參數為服從參數為n和和p的二項分布，記作的二項分布，記作 XB(n,p)注注: 貝努里概型對試驗結果沒有等可能貝努里概型對試驗結果沒有等可能的要求，但有下述要求：的要求，但有下述要求：（1）每次試驗條件相同；）每次試驗條件相同；二項分布描述的是二項分布描述的是n重貝努里試驗中出現重貝努里試驗中出現“成功成功”次數次數X的概率分布的概率分布.（2）每次試驗只考慮兩個互逆結果）每次試驗只考慮兩個互逆結果A或或 ， A 且且P(A)=p ， ； pAP1)(（3）各

6、次試驗相互獨立）各次試驗相互獨立. .例例8 某類燈泡使用時數在某類燈泡使用時數在2000小時以上視為正小時以上視為正品品. .已知有已知有一大批一大批這類的燈泡這類的燈泡, ,其次品率是其次品率是0.2. .隨機抽出隨機抽出2020只燈泡做壽命試驗只燈泡做壽命試驗, ,求這求這2020只燈泡只燈泡中恰有中恰有3 3只是次品的概率只是次品的概率. .解解: : 設設X為為2020只燈泡中次品的個只燈泡中次品的個數數 ,則則. X B (20, 0.2)，,)8 . 0()2 . 0()(2020kkkCkXP.20,.,1 ,0k 下面我們研究二項分布下面我們研究二項分布B(n,p)B(n,p

7、)和兩和兩點分布點分布B(1,p)B(1,p)之間的一個重要關系之間的一個重要關系. . 說明說明 設試驗設試驗E E只有兩個結果只有兩個結果:A:A和和 . . 記記p=P(A),p=P(A),則則P( )= 1- p ,0p1,P( )= 1- p ,0p0 是常數是常數,則稱則稱 X 服從參數為服從參數為 的的泊松分布泊松分布,記作記作XP( ).(III) 泊松分布易見易見01!,2,1,00kkekkkXP例例9 9 某一無線尋呼臺某一無線尋呼臺, ,每分鐘收到尋呼的次每分鐘收到尋呼的次數數X X服從參數服從參數 =3=3的泊松分布的泊松分布. . 求求:(1):(1)一分鐘內恰好收

8、到一分鐘內恰好收到3 3次尋的概率次尋的概率. . (2) (2)一分鐘內收到一分鐘內收到2 2至至5 5次尋呼的概率次尋呼的概率.解解: (1)PX=3=(3(1)PX=3=(33 3/3!)e/3!)e-3-30.22400.2240 (2) P2X5 (2) P2X5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(3 =(32 2/2!)+(3/2!)+(33 3/3!)+(3/3!)+(34 4/4!)+(3/4!)+(35 5/5!)e/5!)e-3-3 0.7169 0.7169解解:例例 1010 某一城市每天發生火災的次數某一城市每天發

9、生火災的次數X X服從參數服從參數為為0.80.8的泊松分布的泊松分布. . 求求: :該城市一天內發生該城市一天內發生3 3次以上火災的概率次以上火災的概率. . PX3=1- PX3PX3=1- PX0，則稱則稱X服從參數為服從參數為 和和 的正態分布的正態分布. (Normal)(II)、正態分布、正態分布 的圖形特點的圖形特點),(2N 正態分布的密度曲線是一條關于正態分布的密度曲線是一條關于 對對稱的鐘形曲線稱的鐘形曲線. .特點是特點是“兩頭小，中間大，左右對稱兩頭小，中間大，左右對稱”. . 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形決定了圖形中峰的陡峭程度中峰的陡

10、峭程度. . 正態分布正態分布 的圖形特點的圖形特點),(2N故故f(x)以以為對稱軸，并在為對稱軸，并在x=處達到最大處達到最大值值: :xexfx,)()(22221 令令x=+ +c, x=- -c (c0), 分別代入分別代入f (x), 可可得得f (+ +c)=f (- -c)且且 f (+ +c) f (), f (- -c)f ()21)(f這說明曲線這說明曲線 f(x)向左右伸展時，越來越向左右伸展時，越來越貼近貼近x軸。即軸。即f (x)以以x軸為漸近線。軸為漸近線。 xexfx,)()(22221 當當x 時，時，f(x) 0, ,用求導的方法可以證明，用求導的方法可以證

11、明，xexfx,)()(22221 為為f (x)的兩個拐點的橫坐標。的兩個拐點的橫坐標。x = 這是高等數學的內容，如果忘記了，課下這是高等數學的內容，如果忘記了，課下再復習一下。再復習一下。實例實例 年降雨量問題，我們用上海年降雨量問題，我們用上海99年年年降雨量的數據畫出了頻率直方圖。年降雨量的數據畫出了頻率直方圖。從直方圖，我們可以初步看出，年降從直方圖，我們可以初步看出，年降雨量近似服從正態分布。雨量近似服從正態分布。下面是我們用某大學大學生的身高的下面是我們用某大學大學生的身高的數據畫出的頻率直方圖。數據畫出的頻率直方圖。紅線紅線是擬是擬合的正態合的正態密度曲線密度曲線可見，某大學

12、大學生的身高應可見，某大學大學生的身高應服從正態分布。服從正態分布。人的身高高低不等，但中等身材的占大人的身高高低不等，但中等身材的占大多數，特高和特矮的只是少數，而且較多數，特高和特矮的只是少數，而且較高和較矮的人數大致相近，這從一個方高和較矮的人數大致相近，這從一個方面反映了服從正態分布的隨機變量的特面反映了服從正態分布的隨機變量的特點。點。 除了我們在前面遇到過的年降雨量和除了我們在前面遇到過的年降雨量和身高外身高外, ,在正常條件下各種產品的質量指標，在正常條件下各種產品的質量指標，如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農作如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農作物的產量，小麥的穗長、株高；測量

13、誤差，物的產量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態分布等，都服從或近似服從正態分布. .(III) 、設、設X ,),(2NX的分布函數是的分布函數是xdtexFxt,)()(22221 dtexxt2221)(IV)(IV)、標準正態分布、標準正態分布1, 0的正態分布稱為標準正態分布的正態分布稱為標準正態分布. .xexx,21)(22其密度函數和分布函數常用其密度函數和分布函數常用 和和 表示：表示：)(x)(x)(x )(x 它的依據是下面的定理：它的依據是下面的定理： 標準正態分布的重要性在于，

14、標準正態分布的重要性在于，任何一個任何一個一般的正態分布都可以通過線性變換轉化為一般的正態分布都可以通過線性變換轉化為標準正態分布標準正態分布. . 根據定理根據定理1,1,只要將標準正態分布的分布只要將標準正態分布的分布函數制成表，就可以解決一般正態分布的概函數制成表，就可以解決一般正態分布的概率計算問題率計算問題. .),(2NXXY, ,則則 N(0,1) 設設定理定理1 書末附有標準正態分布函數數值表，有了書末附有標準正態分布函數數值表，有了它，可以解決一般正態分布的概率計算查表它，可以解決一般正態分布的概率計算查表. .（V V）、正態分布表）、正態分布表)(1)(xxdtexxt2

15、221)(表中給的是表中給的是x0時時, (x)的值的值.當當-x175的概率為P X175=1751XP)65. 0(1)69. 7170175(1=0.2578解解: (2) : (2) 設車門高度為設車門高度為h cm, ,按設計要求按設計要求P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我們來求滿足上式的最小的下面我們來求滿足上式的最小的 h. .（2 2）公共汽車車門的高度是按成年）公共汽車車門的高度是按成年男性與車門頂頭碰頭機會在男性與車門頂頭碰頭機會在0.01以下以下來設計的，問車門高度應如何確定來設計的，問車門高度應如何確定? ?因為因為XN( (170,7.,7.69

16、2),),) 1 , 0(69. 7170NX )69. 7170(h故故 P(X0.9969. 7170h所以所以 = =2.33, ,即即 h=170+17.92 188設計車門高度為設計車門高度為188厘米時，可使厘米時，可使男子與車門碰頭男子與車門碰頭機會不超過機會不超過0.01. .P(X h ) 0.99求滿足求滿足的最小的的最小的h .若若 r.v. X的概率密度為：的概率密度為：則稱則稱X服從區間服從區間( a, b)上的均勻分布，記作：上的均勻分布，記作：X Ua, b)(xfab其它, 0,1)(bxaabxf二、均勻分布二、均勻分布(Uniform)（注：（注：X U（a

17、, b）均勻分布常見于下列情形：均勻分布常見于下列情形： 如在數值計算中，由于四舍五如在數值計算中，由于四舍五 入，小數入，小數點后某一位小數引入的誤差，例如對小數點點后某一位小數引入的誤差，例如對小數點后第一位進行四舍五后第一位進行四舍五 入時，那么一般認為誤入時，那么一般認為誤差服從（差服從（-0.5, 0.5）上的均勻分布。）上的均勻分布。若X Ua, b，則對于滿足，則對于滿足bdca的c,d, 總有abcddxxfdXcPba)(則稱則稱 X 服從參數為服從參數為 的指數分布的指數分布. 指數分布常用于可靠性統計研究指數分布常用于可靠性統計研究中，如元件的壽命中，如元件的壽命.三、三、指數分布：指數分布：若若 r.v X具有概率密度具有概率密度000)(xxexfx0