1、第一章第一章 緒論緒論1.1 1.1 數值分析的研究對象與特點數值分析的研究對象與特點1.2 1.2 數值計算的誤差數值計算的誤差1.3 1.3 誤差定性分析與避免誤差危害誤差定性分析與避免誤差危害練習練習q對象對象: 求解各種數學問題的數值計算方法及其理論與求解各種數學問題的數值計算方法及其理論與 軟件實現軟件實現 .q 特點特點: 1.11.1數值分析的研究對象與特點數值分析的研究對象與特點2.有可靠的理論分析有可靠的理論分析,能任意逼近并達到精度要求能任意逼近并達到精度要求;對近對近似算法要保證收斂性和數值穩定性似算法要保證收斂性和數值穩定性,還要進行誤差分析還要進行誤差分析.3.要有好

2、的計算復雜度要有好的計算復雜度,即時間復雜度及空間復雜度即時間復雜度及空間復雜度.4.要進行數值實驗要進行數值實驗.1.面向計算機面向計算機,要根據計算機的特點提供切實可行的要根據計算機的特點提供切實可行的有效算法有效算法.1.2 1.2 數值計算的誤差數值計算的誤差q誤差的來源誤差的來源q誤差及誤差限誤差及誤差限q有效數字有效數字q有效數字與相對誤差限的關系有效數字與相對誤差限的關系q數值運算的誤差估計數值運算的誤差估計1.31.3誤差定性分析與避免誤差危害誤差定性分析與避免誤差危害q病態問題與條件數病態問題與條件數q算法的數值穩定性算法的數值穩定性q避免誤差危害的原則避免誤差危害的原則q誤

3、差的來源誤差的來源v模型誤差模型誤差: : 在建立數學模型過程中在建立數學模型過程中, ,不可能將所有因不可能將所有因素均考慮素均考慮, ,必然要進行必要的簡化必然要進行必要的簡化, ,這就帶來了與實這就帶來了與實際問題的誤差際問題的誤差. .v測量誤差測量誤差: :測量已知參數時測量已知參數時, ,數據帶來的誤差數據帶來的誤差. .截斷誤差截斷誤差: :為了有限時間內得到結果為了有限時間內得到結果, ,用有限過程取用有限過程取代無窮過程時所產生的誤差代無窮過程時所產生的誤差. .舍入誤差舍入誤差: :由于計算機字長的有限性由于計算機字長的有限性, ,初始數據在機初始數據在機器內的表示以及進行

4、算術運算時產出的誤差器內的表示以及進行算術運算時產出的誤差. . q誤差及誤差限誤差及誤差限v誤差誤差: :v誤差限誤差限: :v相對誤差限相對誤差限: :v相對誤差相對誤差: :q有效數字有效數字有效數字的實質是有效數字的實質是? ?q有效數字與相對誤差限的關系有效數字與相對誤差限的關系q數值運算的誤差估計數值運算的誤差估計v多元函數的誤差傳播多元函數的誤差傳播v一元函數的誤差傳播一元函數的誤差傳播v二元算術運算的誤差傳播二元算術運算的誤差傳播q病態問題與條件數病態問題與條件數v病態問題病態問題: :輸入數據的微小擾動輸入數據的微小擾動( (誤差誤差),),引引起輸出數據起輸出數據( (解解

5、) )的相對誤差很大的相對誤差很大. .v條件數條件數: :輸入數據與輸出數據相對誤差的輸入數據與輸出數據相對誤差的比值比值C Cp p.(C.(Cp p越大問題的病態性越嚴重越大問題的病態性越嚴重) )v算法的數值穩定性算法的數值穩定性: :如果輸入的數據有誤如果輸入的數據有誤差差, ,而在計算過程中舍入誤差不增長則稱而在計算過程中舍入誤差不增長則稱此算法是數值穩定的此算法是數值穩定的. .q避免誤差危害的原則避免誤差危害的原則v避免除數絕對值遠小于被除數的除法避免除數絕對值遠小于被除數的除法. .v避免相近數相減避免相近數相減. .v避免大數避免大數“吃掉吃掉”小小數數. .v要簡化計算步驟要簡化計算步驟, ,減少運算次數減少運算次數. .v要選用數值穩定的算法要選用數值穩定的算法. .病態問題實例病態問題實例避免大數避免大數“吃掉吃掉”小數算小數算例例秦九韶算法秦九韶算法(Honour(Honour算法算法) )穩定性分析算例穩定性分析算例相近數相減算例相近數相減算例相近數相減算例相近數相減算例 有效數字的實質有效數字的實質有效數字實際上是四舍五入的數學語言化有效數字實際上是四舍五入的數學語言