1、電 磁 場場場 論論 復復 習習 1.1 標量場和矢量場 場是一個標量或一個矢量的位置函數,即場中任一個點都有一個確定的標量值或矢量. .例如,在直角坐標下, 標量場)()( ),(222z2y1x45zyx 如溫度場,電位場,高度場等;矢量場zy2x2xyzzxxy2)z,y,x(eeeA如流速場,電場,渦流場等.形象描繪場分布的工具-場線矢量場-矢量線標量場-等值線(面). .constzyxh),( 其方程為0d lA其方程為dzAdyAdxAzyx三維場在直角坐標下:二維場dyAdxAyx圖0.1.2 矢量線圖0.1.1 等值線1.2 標量場的梯度一. 梯度)cos,cos,(cos)

2、z,y,x(l),z,y,x(g)cos,cos,(cosle設當 ,即 與 方向一致時, 為最大.0),(leglegl 設一個標量函數(x,y,z),若函數 在點P可微,則 在點P沿任意方向 的方方向導數向導數為: lgradzyxzyxeeeg梯度(gradient)哈密頓算子)z,y,x(式中),cos(|lleggegl則有: 式中 ， ， ，分別是與x,y,z軸的夾角 證明說明例1 三維高度場的梯度例2 電位場的梯度高度場的梯度 與過該點的等高面垂直； 數值等于該點位移的最大變化率； 指向地勢升高的方向。電位場的梯度 與過該點的等位面垂直； 指向電位增加的方向。 數值等于該點的最大

3、方向導數；二. 梯度的物理意義 標量場的梯度是一個矢量,是空間坐標點的函數; 梯度的方向為該點最大方向導數的方向,即與等值面相垂直的方向，它指向函數的增加方向. 梯度的大小為該點標量函數 的最大變化率，即該點最大方向導數;圖0.2.2 電位場的梯度圖0.2.1 三維高度場的梯度1.3 矢量場的通量與散度一、通量 矢量 E E 沿有向曲面S S 的面積分SE dS 0 (有正源) 0 (有負源) = 0 (無源)圖0.3.1 矢量場的通量 圖0.3.2 矢量場的通量 若S 為閉合曲面 ，可以根據凈通量的大小判斷閉合面中源的性質:sdsE說明dS組成的閉合曲面。是由，其中的值求：若矢量場例hzzr

4、yxSdxs, 0,1222SAeAx321321SSSSddddSSSSASASASA及側面，則有：分別表示上下頂面、解：以3SSddSASA則：代入得：將dydxdxdzdydzdzyxeeeS32SShrxdydzdSAxyzohrS1S3S2所圍封閉曲面的通量。與平面園錐面求有內向外穿過：若矢量場例Hzzyxzyx222,2zyxeeer2121SSSdddSSSrSrSr則有：、分別表示側面與底面、解：以022SddSSrSr處處垂直，則與上其中代入得：將dydxdxdzdydzdzyxeeeS11321111SSSSSSSHHHdxdyHHdxdyzdxdyydxdzxdydzdd

5、SrSrxyzoHS2S1二、散度 如果包圍點P的閉合面S S所圍區域V V以任意方式縮小為點P時, 通量與體積之比的極限存在，即Sv10vdSAAlimdiv散度(divergence)計算公式zAyAxAzyxAAdiv三、散度的物理意義 散度代表矢量場的通量源的分布特性 A A= 0 (無源） A A= 0 (負源) A A= 0 (正源) 在矢量場中，若 A= 0，稱之為有源場， 稱為(通量)源密度；若矢量場中處處 A=0，稱之為無源場。 矢量的散度是一個標量，是空間坐標點的函數；說明四、高斯公式(散度定理)V1nn0VnSdVVlimdnAASA高斯公式 該公式表明了區域V 中場A與

6、邊界S上的場A之間的關系。VSdVdASA 矢量函數的面積分與體積分的互換。Sv10vdSAAlimdiv圖0.3.3 散度定理 由于 是通量源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面的通量，對 體積分后，為穿出閉合面S S的通量AA參考奧高公式1.4 矢量場的環量與旋度一、環量該環量表示繞線旋轉趨勢的大小。水流沿平行于水管軸線方向流動=0，無渦旋運動流體做渦旋運動0，有產生渦旋的源 矢量A沿空間有向閉合曲線L的線積分環量LdlA例：流速場圖0.4.2 流速場圖0.4.1 環量的計算的環量。沿正向求平面中的正方形為：設矢量場例lRyxzlxyAeeAyx,|0,3llxdyydxd)(lA為正向，據此

7、有：向面閉曲線總曲逆時針方解：無特殊聲明，對平積分值與此相同。上的積分，其他各段的依對稱性，只需計算 1 l200001)()()(RdyyRdxRxxdyydxxdyydxRRRRl4321)()()()(, 4, 3, 2, 1llllxdyydxxdyydxxdyydxxdyydxllll則：部分分別標記為將積分曲線在各象限的xyRl1l2l3l424R則：轉換二、旋度1. 環量密度 過點P作一微小曲面S S,它的邊界曲線記為L,面的法線方與曲線繞向成右手螺旋法則。當S S點P時,存在極限LdS1dSdPSllim環量密度取不同的路徑，其環量密度不同。2. 旋度 旋度是一個矢量，模值等于

8、環量密度的最大值；方向為最大環量密度的方向。AArot 旋度(curl)它與環量密度的關系為ndSdeA rot 在直角坐標系下zyxzyxzyxAAAeeeA說明的環量密度。）處的旋度及沿方向，求點（：已知例yxyxeeleeA001,4yxyx0,zyxAyxyAyxxA解：zeA ）處，所以：在（001)(21zx0eel方向的單位矢量為：lzzyxyxyxAAAzyxeeeeAzyx2)(21(0lA)量密度為：因而：沿其方向的環流三、旋度的物理意義 矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數。 點P的旋度的大小是該點環量密度的最大值。 在矢量場中，若A=J0,稱之為旋度場(或渦旋場)，J

9、 稱為旋度源(或渦旋源)； 點P的旋度的方向是該點最大環量密度的方向。四、斯托克斯(Stockes)定理 A 是環量密度，即圍繞單位面積環路上的環量。因此，其面積分后，環量為iiiddilSAAl)(SAlAd)(dSlStockes定理在電磁場理論中，Gauss公式和 Stockes公式是兩個非常重要的公式。 矢量函數的線積分與面積分的互換。 該公式表明了區域S中場A與邊界L上的場A之間的關系 若矢量場處處A=0，稱之為無旋場。圖 0.4.3 斯托克斯定理。例：利用斯托克斯定理解例352422) 11 ()00()00(RdSdSSSSldSedSeeedSA)lAzzyx為正向，據此有：向

10、面閉曲線總選逆時針方解：無特殊聲明，對平題目1.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理： 在有限區域內，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場域邊界條件在電磁場中電荷密度電流密度J場域邊界條件（矢量A唯一地確定）例：判斷矢量場的性質?FF?FF?FF=0=0=000=01.6 三種特殊形式的場 1.平行平面場：如果在經過某一軸線(設為 Z 軸)的一族平行平面上，場 F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，則稱這個場為平行平面場。 2.軸對稱場：如果在經過某一軸線(設為 Z 軸)的一族子午面上，場 F 的分布都相同，即 F=f(r,)，則稱這個場為軸對稱場。

11、 3,球面對稱場：如果在一族同心球面上(設球心在原點)，場 F 的分布都相同，即 F=f(r)，則稱這個場為球面對稱場。 作業.0013,ArrrrrrzzyyxxzyxzyxAAA)z , y, x(zyxzyxeeeAeeereeer2.3.式中：試證明下列各題1.M0Mlxyz方向導數：研究標量場，還需對對它的局部狀態進行深入分析，即要考察標量在場中各點的鄰域內沿某一方向的變化情況。為此引入方向導數的概念。返回設M0是標量場= (x)中的一個已知點，從 出發沿某一方向引一條射線l，在l上 的臨近取一點M， 若當M趨近于 時。 的極限存在，則稱此極限為函數(x)在 處沿l方向的方向導數，記

12、作：MM00M0MM 0lim00MMlMMM0M0M0M證明返回)cos,cos,(cos),(zyxl證明：證：M點坐標為 , 由于在 可微，故： ),(000zzyyxxM0MzzyyxxMM0 為比 高階的無窮小。 兩邊同除以 zzyyxxcoscoscoszyx當 趨于0時對上式取極限，可得： coscoscoszyxl圖！哈密頓算子！哈密頓算子 哈密頓算子是一個運算符，可將一個標量場轉換成哈密頓算子是一個運算符，可將一個標量場轉換成一個矢量場；而對于矢量來說，它又可以看作一個矢量，一個矢量場；而對于矢量來說，它又可以看作一個矢量，參與矢量的點積和叉積運算。參與矢量的點積和叉積運算。

13、返回dSdS為曲面的面元（矢量），其方向取面元的法線方向，其大小為ds,即： dS=nds n為法線方向的單位矢量 在直角坐標系中：n的方向由兩種情況：1、對開曲面的面元，設這個開曲面是由封閉曲線l所圍成的，則選定l方向后，沿l繞行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向；2、對封閉曲面上的面元，n取封閉曲面的外法向方向。則：dSdnS返回dxdydxdzdydzdzyxeeeS返回zzyyxxAAAeeeA設：證明散度計算式高階的無窮小。為比內的某一點是包圍體積，是其中：有積分中值定理）由奧高公式）上的通量為：點的小封閉面則在一個包含VVMSVVdVdSMMzAyAxAVzAyAxASzyxzy

14、x,.(.()(0SAzAyAxAMzAyAxAMVMVzyxzyxVdivlimlim00A由此：返回VSdVdASA高斯公式VSdVzRyQxPRdxdyQdxdzPdydz)(奧高公式即：zyxRQPeeeAAAAeeeReeeSSeeelAzyxzyxzyxrotRRRsMMdSxRRRdddlSMyAxAzxAzAyzAyAxxMzAyAxxSzAyAxzyxyAxAxAzAzAyASyAxAxAzAzAyAlxyzxyzyzyzxyzxyzxyzxyz所以：、，同理：則：有積分中值定理有：的相應投影點為方向的投影在的旋度，居上式可知：為設密度最大。方向相同時，環流與當且僅當由斯托克斯定理）上的環流量為：的邊界曲線點的小封閉面則在一個包含0000| ;)()()()(.()()()(返回zzyyxxAAAeeeA設：說明旋度計算式返回SlddSAlA)(斯托克斯公式