1、結構幾何構造的基本分類結構是用來承受和傳遞載荷的。結構是用來承受和傳遞載荷的。如果不計材料的應變，在其受到如果不計材料的應變，在其受到任意載荷作用時其形狀和位置沒有發生剛體位移時，稱之為任意載荷作用時其形狀和位置沒有發生剛體位移時，稱之為幾何幾何不變結構或幾何穩定結構不變結構或幾何穩定結構，反之則稱為，反之則稱為幾何可變結構或幾何不穩幾何可變結構或幾何不穩定結構定結構。幾何可變結構不能承受和傳遞載荷。對結構進行幾何構。幾何可變結構不能承受和傳遞載荷。對結構進行幾何構造分析也是能夠對工程結構作有限單元法分析的必要條件。造分析也是能夠對工程結構作有限單元法分析的必要條件。 造成幾何可變的幾種原因造

2、成幾何可變的幾種原因結構的計算簡圖（力學模型）實際結構總是很復雜的，完全按照結構的實際情況進行力學分析實際結構總是很復雜的，完全按照結構的實際情況進行力學分析是不可能的，也是不必要的，因此在對實際結構進行力學計算之是不可能的，也是不必要的，因此在對實際結構進行力學計算之前，必須將其作合理的簡化，使之成為前，必須將其作合理的簡化，使之成為既反映實際結構的受力狀既反映實際結構的受力狀態與特點，又便于計算的幾何圖形態與特點，又便于計算的幾何圖形。這種被抽象化了的簡單的理。這種被抽象化了的簡單的理想圖形稱之為想圖形稱之為結構的計算簡圖，有時也稱為結構的力學模型結構的計算簡圖，有時也稱為結構的力學模型。

3、結構計算所常用的結點和支座的簡化形式結構計算所常用的結點和支座的簡化形式: :（1 1）結點：）結點： 鉸結點；鉸結點； 剛結點；剛結點； 混合結點。混合結點。（2 2）支座：）支座： 活動鉸支座；活動鉸支座； 固定鉸支座固定鉸支座 ； 固定支座固定支座 ； 定向支座定向支座 。結構的分類與基本特征按結構在空間的位置分按結構在空間的位置分結構可分為結構可分為平面結構平面結構和和空間結構空間結構兩大類兩大類按結構元件的幾何特征分按結構元件的幾何特征分 桿系結構：桿系結構：梁、拱、桁架、剛架、桁構結構等梁、拱、桁架、剛架、桁構結構等 。 板殼結構板殼結構 實體結構：實體結構：長、寬、高三個尺寸都很

4、大，具有同一量級。長、寬、高三個尺寸都很大，具有同一量級。 混合結構混合結構 按結構的自由度分按結構的自由度分 靜定結構靜定結構自由度為零的幾何不變結構。自由度為零的幾何不變結構。 超靜定結構超靜定結構自由度小于零的幾何不變結構。自由度小于零的幾何不變結構。 結構的分類與基本特征靜定結構的靜定結構的特征特征a. a. 靜定結構的內力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯靜定結構的內力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯一的。一的。b. b. 靜定結構的內力及支座反力與材料的性質和截面特征（幾何尺寸，形靜定結構的內力及支座反力與材料的性質和截面特征（幾何尺寸，形狀）無關。狀）無

5、關。c. c. 靜定結構上無外載荷作用時，其內力及支座反力全為零。靜定結構上無外載荷作用時，其內力及支座反力全為零。d. d. 若靜定結構在載荷作用下，若靜定結構在載荷作用下， 結構中的某一部分能不依靠于其它部分，結構中的某一部分能不依靠于其它部分， 獨立地與載荷保持平衡時，則其它部分的內力為零。獨立地與載荷保持平衡時，則其它部分的內力為零。e. e. 當將一平衡力系作用于靜定結構的一個幾何不變部分時，結構的其余當將一平衡力系作用于靜定結構的一個幾何不變部分時，結構的其余部分都無內力產生。部分都無內力產生。 f. f. 當靜定結構中的一個內部幾何不變部分上的載荷作等效變換時，其余當靜定結構中的

6、一個內部幾何不變部分上的載荷作等效變換時，其余部分的內力不變。部分的內力不變。g. g. 當靜定結構中的一個內部兒何不變部分作構造改變時，其余部分的內當靜定結構中的一個內部兒何不變部分作構造改變時，其余部分的內力不變。力不變。 結構的分類與基本特征超靜定結構的超靜定結構的特征特征a. a. 超靜定結構僅僅滿足靜力平衡條件的解有無窮多個，但同時滿足結構超靜定結構僅僅滿足靜力平衡條件的解有無窮多個，但同時滿足結構變形協調條件的解僅有一個。變形協調條件的解僅有一個。 b. b. 超靜定結構的內力及支反力不僅與載荷有關，而且與林料的力學性能超靜定結構的內力及支反力不僅與載荷有關，而且與林料的力學性能和

7、截面尺寸有關。和截面尺寸有關。 c. c. 超靜定結構在非載荷因素作用下，如溫度變化、支座沉陷、制造誤差超靜定結構在非載荷因素作用下，如溫度變化、支座沉陷、制造誤差等而產生的位移會受到多余約束的限制，結構內必將產生內力。等而產生的位移會受到多余約束的限制，結構內必將產生內力。 d. d. 超靜定結構中的多余約束破壞后，結構仍然保持幾何不變性，因而仍超靜定結構中的多余約束破壞后，結構仍然保持幾何不變性，因而仍有一定的承載能力，有一定的承載能力， 不致整個結構遭受破壞。不致整個結構遭受破壞。 e. e. 超靜定結構由于具有多余的約束，因而比相應的靜定結構具有較大的超靜定結構由于具有多余的約束，因而

8、比相應的靜定結構具有較大的剛度和穩定性，剛度和穩定性， 在載荷作用下，內力分布也較均勻，且內力峰值也較靜在載荷作用下，內力分布也較均勻，且內力峰值也較靜定結構為小。定結構為小。結構的對稱性及其利用對稱結構在正對稱載荷下，對稱軸截面上只能產生正對稱的位對稱結構在正對稱載荷下，對稱軸截面上只能產生正對稱的位移，反對稱的位移為零；對稱結構在反對稱載荷下，對稱軸截移，反對稱的位移為零；對稱結構在反對稱載荷下，對稱軸截面上只有反對稱的位移，正對稱的位移為零。面上只有反對稱的位移，正對稱的位移為零。奇數跨的剛架奇數跨的剛架正對稱荷載作用下的變形及分析簡化正對稱荷載作用下的變形及分析簡化結構的對稱性及其利用

9、奇數跨的剛架奇數跨的剛架反對稱荷載作用下的變形及分析簡化反對稱荷載作用下的變形及分析簡化結構的對稱性及其利用偶數跨的剛架偶數跨的剛架正對稱荷載作用下的變形及分析簡化正對稱荷載作用下的變形及分析簡化結構的對稱性及其利用偶數跨的剛架偶數跨的剛架反對稱荷載作用下的變形及分析簡化反對稱荷載作用下的變形及分析簡化結構的自由度及其計算自由度：自由度：指結構在所在空間運動時，可以獨立改變的幾何參數指結構在所在空間運動時，可以獨立改變的幾何參數的數目，也就是確定該結構位置時所需的獨立參數的數目。的數目，也就是確定該結構位置時所需的獨立參數的數目。約束：約束：指減少結構自由度的裝置，即限制結構運動的裝置。指減少

10、結構自由度的裝置，即限制結構運動的裝置。具體包括：具體包括：a. a. 支座鏈桿的約束；支座鏈桿的約束；b. b. 鉸的約束鉸的約束: : 單鉸；單鉸； 復鉸；復鉸； 完全鉸與不完全鉸。完全鉸與不完全鉸。桁架自由度計算公式桁架自由度計算公式桁架中的結點數為桁架中的結點數為j，桿件數為，桿件數為g，支座鏈桿數為，支座鏈桿數為z，則桁架的自由度則桁架的自由度W 為為平面桁架平面桁架空間桁架空間桁架結構的自由度及其計算平面混合結構的自由度計算平面混合結構的自由度計算其計算過程比較復雜，主要原因在于必須先進行一些構件的其計算過程比較復雜，主要原因在于必須先進行一些構件的拆分，拆分完畢之后計算方式與桁架

11、一致。拆分，拆分完畢之后計算方式與桁架一致。計算結果有三種可能：計算結果有三種可能：W0 表明結構缺少必要的約束，表明結構缺少必要的約束， 可運動，可運動， 故結構必定是幾何可變體系。故結構必定是幾何可變體系。b. W=0 表明結構具有保證幾何不變所需的最少的約束數。表明結構具有保證幾何不變所需的最少的約束數。c. W0 表明結構具有多余約束。表明結構具有多余約束。注意：結構的自由度注意：結構的自由度W0是組成幾何不變體系的必要條件，是組成幾何不變體系的必要條件，但不是充分條件。為什么？但不是充分條件。為什么？幾何不變結構的組成規律幾何不變結構的組成規律(1) (1) 二元體規則二元體規則由兩

12、根不在同一條直線上的鏈桿聯結一個新結點所組成的結由兩根不在同一條直線上的鏈桿聯結一個新結點所組成的結構稱為二元體。二元體規則是指在一個幾何不變結構上，由構稱為二元體。二元體規則是指在一個幾何不變結構上，由增加二元體而發展的結構，是一個幾何不變結構。鉸接三角增加二元體而發展的結構，是一個幾何不變結構。鉸接三角形是最簡單的幾何不變結構。形是最簡單的幾何不變結構。鉸接三角形鉸接三角形幾何不變結構的組成規律幾何不變結構的組成規律瞬變結構瞬變結構一個結構，當它受載荷作用時會產生微小的位移，但位移一一個結構，當它受載荷作用時會產生微小的位移，但位移一旦發生后，即轉變成一幾何不變結構，但結構的內力可能為旦發

13、生后，即轉變成一幾何不變結構，但結構的內力可能為無限大值或不定值，這樣的結構稱為瞬變結構。顯然，瞬變無限大值或不定值，這樣的結構稱為瞬變結構。顯然，瞬變結構在工程結構設計中應盡量避免。結構在工程結構設計中應盡量避免。 最簡單的瞬變結構最簡單的瞬變結構幾何不變結構的組成規律幾何不變結構的組成規律(2) (2) 兩剛片規則兩剛片規則兩剛片用三根既不完全平行也不交于同一點的鏈桿相聯，所兩剛片用三根既不完全平行也不交于同一點的鏈桿相聯，所得結構是幾何不變結構。得結構是幾何不變結構。兩剛片連接規則兩剛片連接規則瞬變結構瞬變結構常變結構常變結構幾何不變結構的組成規律幾何不變結構的組成規律(3) (3) 三

14、剛片規則三剛片規則三個剛片用不在同一直線上的三個單鉸兩兩相聯，所得結構三個剛片用不在同一直線上的三個單鉸兩兩相聯，所得結構是幾何不變結構。是幾何不變結構。基本三角形結構基本三角形結構三剛片規則示意圖三剛片規則示意圖幾何不變結構的組成規律幾何不變結構的組成規律結構幾何構造分析示例結構幾何構造分析示例如果用自由度公式計算：如果用自由度公式計算：結構示意圖結構示意圖j=6， g=8， z= 4自由度為零，應是幾何不變結構。自由度為零，應是幾何不變結構。剛片剛片和和間用桿件間用桿件DB、FE相聯，虛鉸位置相聯，虛鉸位置在此二平行桿件延長線的無窮遠處；在此二平行桿件延長線的無窮遠處；剛片剛片和和間用桿件

15、間用桿件DA及支座鏈桿及支座鏈桿相聯，相聯，虛鉸位置在虛鉸位置在F點；點；剛片剛片和和用桿件用桿件BA、支座鏈桿、支座鏈桿相聯，相聯， 虛鉸位置在虛鉸位置在C點。點。三鉸可看成位于同一條直線上，三鉸可看成位于同一條直線上，故此結構為幾何瞬變結構。故此結構為幾何瞬變結構。空間結構幾何構造分析空間結構幾何構造分析規律規律1 1空間中一點與一剛體用三根鏈桿相連且三鏈桿不在同一平空間中一點與一剛體用三根鏈桿相連且三鏈桿不在同一平面內，則組成幾何不變的結構、且無多余約束。面內，則組成幾何不變的結構、且無多余約束。 空間點與基礎連接空間點與基礎連接瞬變結構瞬變結構空間結構幾何構造分析空間結構幾何構造分析規

16、律規律2 2一個幾何不變結構（或剛體）與基礎用六根即不平行也不相一個幾何不變結構（或剛體）與基礎用六根即不平行也不相交于同一條直線的鏈桿相聯，所組成的結構是幾何不變的結交于同一條直線的鏈桿相聯，所組成的結構是幾何不變的結構，且無多余約束。構，且無多余約束。幾何不變結構幾何不變結構可變結構可變結構瞬變結構瞬變結構常變結構常變結構空間結構幾何構造分析空間結構幾何構造分析規律規律3 3一個幾何不變結構（一個幾何不變結構（ 或剛體或剛體 ）與另一個幾何不變結構）與另一個幾何不變結構（或剛體）用六根即不平行也不相交于同一條直線的鏈桿相（或剛體）用六根即不平行也不相交于同一條直線的鏈桿相聯，所組成的結構是

17、幾何不變的結構，且無多余約束。聯，所組成的結構是幾何不變的結構，且無多余約束。空間桁架結構空間桁架結構空間網狀結構空間網狀結構實際工程中的桿系結構工程上許多由金屬構件所組成的結構，如塔式桁構支承架、起重工程上許多由金屬構件所組成的結構，如塔式桁構支承架、起重機起重臂架、鋼結構橋梁、鋼結構建筑等可以歸結為桿系結構。機起重臂架、鋼結構橋梁、鋼結構建筑等可以歸結為桿系結構。桿系結構可按各桿軸線及外力作用線在空間的位置分為平面桿系桿系結構可按各桿軸線及外力作用線在空間的位置分為平面桿系和空間桿系結構，也可按各桿之間是鉸接還是剛接分為桁架結構和空間桿系結構，也可按各桿之間是鉸接還是剛接分為桁架結構和剛架

18、結構。和剛架結構。桁架和剛架的區別桁架結構桁架結構平面桁架平面桁架空間桁架空間桁架桿件與桿件間為鉸接桿件與桿件間為鉸接鉸接點只傳遞力而不傳遞轉矩鉸接點只傳遞力而不傳遞轉矩每根桿件均為二力桿每根桿件均為二力桿桿件不產生彎曲變形和彎曲應桿件不產生彎曲變形和彎曲應力力有限元計算采用桿元（桿單元：有限元計算采用桿元（桿單元：barbar）桁架和剛架的區別剛架結構剛架結構平面剛架平面剛架空間剛架空間剛架桿件與桿件間可理解為焊接桿件與桿件間可理解為焊接連接點可傳遞力也可傳遞轉連接點可傳遞力也可傳遞轉矩矩剛架有限元分析采用梁元剛架有限元分析采用梁元（beambeam）可當作剛架的常見結構：高可當作剛架的常見

19、結構：高壓線塔；客車車身骨架；管壓線塔；客車車身骨架；管式摩托車車架；自行車車架；式摩托車車架；自行車車架；長江大橋長江大橋桿系結構的離散由于桿系結構本身是由真實桿件聯接而成，故離散化比較簡單，由于桿系結構本身是由真實桿件聯接而成，故離散化比較簡單，一般將桿件或者桿件的一段一般將桿件或者桿件的一段( ( 一根桿又分為幾個單元一根桿又分為幾個單元 ) )作為一個作為一個單元，桿件與桿件相連接的交點稱為結點。離散要點為：單元，桿件與桿件相連接的交點稱為結點。離散要點為：a. a. 桿件的轉折點、匯交點、自由端、集中載荷作用點、支承桿件的轉折點、匯交點、自由端、集中載荷作用點、支承點以及沿桿長截面突

20、變處等均可設置成結點。這些結點都是根點以及沿桿長截面突變處等均可設置成結點。這些結點都是根據結構本身特點來確定的。據結構本身特點來確定的。b. b. 結構中兩個結點間的每一個等截面直桿可以設置為一個單元。結構中兩個結點間的每一個等截面直桿可以設置為一個單元。c. c. 變截面桿件可分段處理成多個單元，取各段中點處的截面變截面桿件可分段處理成多個單元，取各段中點處的截面近似作為該單元的截面，各單元仍按等截面桿進行計算。近似作為該單元的截面，各單元仍按等截面桿進行計算。桿系結構的離散d. d. 對曲桿組成的結構，可用多段折線代替，每端折線為一個對曲桿組成的結構，可用多段折線代替，每端折線為一個單元

21、。如若提高計算精度，也可以在桿件中間增加結點。單元。如若提高計算精度，也可以在桿件中間增加結點。e. e. 在有限元法計算中，載荷作用到結點上。當結構有非結點在有限元法計算中，載荷作用到結點上。當結構有非結點載荷作用時，應該按照靜力等效的原則將其變換為作用在結點載荷作用時，應該按照靜力等效的原則將其變換為作用在結點上的等效結點載荷。上的等效結點載荷。 桿系結構的離散及荷載等效桿系結構的離散及荷載等效桿系結構有限元中的坐標系為了建立結構的平衡條件，對結構進行整體分析，尚需要建立為了建立結構的平衡條件，對結構進行整體分析，尚需要建立一個對每個單元都適用的統一坐標系，即結構坐標系或稱之為一個對每個單

22、元都適用的統一坐標系，即結構坐標系或稱之為整體坐標系、總體坐標系。整體坐標系、總體坐標系。在進行有限元法計算中，由于涉及到對所有單元進行類似運算，在進行有限元法計算中，由于涉及到對所有單元進行類似運算，所以這些計算以單元自己的所以這些計算以單元自己的i-ji-j為基準建立的局部坐標系是會為基準建立的局部坐標系是會帶來很大方便的。帶來很大方便的。 整體坐標系與局部坐標系整體坐標系與局部坐標系桿系結構單元位移與載荷向量結點位移列向量為：結點位移列向量為：二維情況下單元的位移和載荷二維情況下單元的位移和載荷單元單元e結點位移列向量為結點位移列向量為 單元單元e結點力列向量為結點力列向量為當線位移及相

23、應力與坐標軸方向一致時為正，反之為負；轉角位當線位移及相應力與坐標軸方向一致時為正，反之為負；轉角位移和力矩，按右手法則定出的矢量方向若與坐標軸正向相一致時移和力矩，按右手法則定出的矢量方向若與坐標軸正向相一致時為正。對于任意方向的力學向量，應分解為沿坐標軸方向的分量。為正。對于任意方向的力學向量，應分解為沿坐標軸方向的分量。正負號規定：正負號規定：桿系結構單元的位移函數有限單元法分析中，雖然對不同結構可能會采取不同的單元類有限單元法分析中，雖然對不同結構可能會采取不同的單元類型，采用的單元的位移模式不同，但是構建的位移函數的數學型，采用的單元的位移模式不同，但是構建的位移函數的數學模型的性能

24、、能否真實反映真實結構的位移分布規律等，直接模型的性能、能否真實反映真實結構的位移分布規律等，直接影響計算結果的真實性、計算精度及解的收斂性。影響計算結果的真實性、計算精度及解的收斂性。為了保證解的收斂性，選用的位移函數應當滿足下列要求為了保證解的收斂性，選用的位移函數應當滿足下列要求: :a. a. 單元位移函數的項數，至少應等于單元的自由度數。它的階單元位移函數的項數，至少應等于單元的自由度數。它的階數至少包含常數項和一次項。至于高次項要選取多少項，則應數至少包含常數項和一次項。至于高次項要選取多少項，則應視單元的類型而定。視單元的類型而定。b. b. 單元的剛體位移狀態和應變狀態應當全部

25、包含在位移函數中。單元的剛體位移狀態和應變狀態應當全部包含在位移函數中。c. c. 單元的位移函數應保證在單元內連續，以及相鄰單元之間的單元的位移函數應保證在單元內連續，以及相鄰單元之間的位移協調性。位移協調性。桿系結構單元的位移函數桁架結構桿單元的位移函數桁架結構桿單元的位移函數由于每根桿件均為二力桿，事實上剛才的由于每根桿件均為二力桿，事實上剛才的由單元結點位移，確定待定系數項由單元結點位移，確定待定系數項上式不僅是桁架結構中桿單元的位移函數，對于桿系結構中單上式不僅是桁架結構中桿單元的位移函數，對于桿系結構中單元的軸向位移狀態，都是采用這個位移函數進行表示的。元的軸向位移狀態，都是采用這

26、個位移函數進行表示的。=0=0=0=0桿系結構單元的位移函數剛架結構梁單元的位移函數剛架結構梁單元的位移函數軸向位移狀態的表達和前面一樣，現在軸向位移狀態的表達和前面一樣，現在只考慮節點另外的四個位移分量，根據只考慮節點另外的四個位移分量，根據材料力學，沿梁長各截面的轉角為材料力學，沿梁長各截面的轉角為故梁單元平面彎曲的位移表達式可分為僅包含四個待定系數的故梁單元平面彎曲的位移表達式可分為僅包含四個待定系數的多項式：多項式：桿系結構單元的位移函數剛架結構梁單元的位移函數剛架結構梁單元的位移函數將其代回將其代回v(x)的表達式進行整理后的表達式進行整理后于是：于是：平面剛架梁單元的應力應變在彈性

27、范圍內，并且不考慮剪力的影響時，平面剛架單元內任在彈性范圍內，并且不考慮剪力的影響時，平面剛架單元內任一點的軸向線應變由兩部分組成，即軸向應變與彎曲應變之和，一點的軸向線應變由兩部分組成，即軸向應變與彎曲應變之和，其軸向應變與平面桁架軸向應變相同。其軸向應變與平面桁架軸向應變相同。軸向應變為軸向應變為彎曲應變為彎曲應變為y為梁單元任意截面上任意點至中性為梁單元任意截面上任意點至中性軸軸(x軸軸)的距離。的距離。彎曲應變計算示意圖得出平面剛架單元應變得出平面剛架單元應變平面剛架梁單元的應力應變將剛才已經建立的位移函數代入，則應變為將剛才已經建立的位移函數代入，則應變為進一步的，應力為進一步的，應

28、力為其中，其中，B 稱為平面剛架梁單元的應變轉換矩陣。稱為平面剛架梁單元的應變轉換矩陣。 平面剛架梁單元的有限元方程采用虛功原理進行推導：采用虛功原理進行推導：假設梁單元的假設梁單元的i，j 結點發生虛位移為結點發生虛位移為那么單元內會發生相應的虛應變為：那么單元內會發生相應的虛應變為： 外力在虛位移上的功與內力在虛應變上的功相等：外力在虛位移上的功與內力在虛應變上的功相等： 上式為局部坐標下的平面剛架梁單元的有限元方程。上式為局部坐標下的平面剛架梁單元的有限元方程。平面剛架梁單元的剛度矩陣根據習慣，那么單元剛度為根據習慣，那么單元剛度為進行積分運算后得到進行積分運算后得到 A：桿的橫截面：桿

29、的橫截面面積；面積；I：桿的橫截面：桿的橫截面對主軸的慣性矩對主軸的慣性矩 桁架桿單元的剛度矩陣如果是桁架結構，那么矩陣形式將比較簡單如果是桁架結構，那么矩陣形式將比較簡單平面桁架桿單元，每個單元自由度平面桁架桿單元，每個單元自由度未知量未知量只有兩個節點位移只有兩個節點位移空間桁架桿單元，每個單元自由度空間桁架桿單元，每個單元自由度未知量也未知量也只有兩個節點位移，只有兩個節點位移，但是由于空間性，所以每個節點位移會表現為但是由于空間性，所以每個節點位移會表現為3 3個分量個分量空間剛架梁單元的剛度矩陣當剛架結構擴展到了空間狀態，則每個結點有當剛架結構擴展到了空間狀態，則每個結點有6 6個位

30、移分量，個位移分量，其單元結點位移列向量其單元結點位移列向量 空間剛架局部坐標下的單元剛度矩陣是空間剛架局部坐標下的單元剛度矩陣是12121212的。的。 空間剛架梁單元的剛度矩陣桿系結構單元剛度矩陣的性質單元剛度矩陣僅與單元的幾何特征和材料性質有關。僅與單元剛度矩陣僅與單元的幾何特征和材料性質有關。僅與單元的橫截面積單元的橫截面積A A、慣性矩、慣性矩I I、單元長度單元長度l l、單元的彈性模、單元的彈性模量量E E有關。有關。b. b. 單元剛度矩陣是一個對稱陣。在單元剛度矩陣對角線單元剛度矩陣是一個對稱陣。在單元剛度矩陣對角線兩側對稱位置上的兩個元素數值相等，即，根據是反力互兩側對稱位

31、置上的兩個元素數值相等，即，根據是反力互等定理。等定理。c. c. 單元剛度矩陣是一個奇異陣。單元剛度矩陣是一個奇異陣。d. d. 單元剛度矩陣可以分塊矩陣的形式表示。具有確定的單元剛度矩陣可以分塊矩陣的形式表示。具有確定的物理意義。物理意義。單元剛度矩陣的物理意義物理意義：物理意義：Kij代表在代表在i結點發生單位位移時，結點發生單位位移時，j結點需要施加的結點需要施加的力。力。整體坐標下的單元剛度矩陣在整體坐標系中單元結點力向量和結點位移列向量可分別表示成在整體坐標系中單元結點力向量和結點位移列向量可分別表示成向量轉換于是于是整體坐標下的單元剛度矩陣那么就有那么就有一般簡寫為一般簡寫為同樣

32、的道理同樣的道理T：平面剛架梁單元的從局部：平面剛架梁單元的從局部坐標系向整體坐標系的轉換矩陣。坐標系向整體坐標系的轉換矩陣。 整體坐標下的單元剛度矩陣將坐標轉換矩陣代入原有限元控制方程，則將坐標轉換矩陣代入原有限元控制方程，則整體坐標下的單元剛度矩陣整體坐標下的單元剛度矩陣整體坐標下的單元剛度矩陣仍然為對稱陣、奇異陣。整體坐標下的單元剛度矩陣仍然為對稱陣、奇異陣。整體剛度矩陣的集成以下圖所示的剛架結構為例以下圖所示的剛架結構為例剛架實例其結點載荷列向量分別為其結點載荷列向量分別為結構載荷列向量：結構載荷列向量：結點位移列向量結點位移列向量整體剛度矩陣的集成以下圖所示的剛架結構為例以下圖所示的

33、剛架結構為例剛架實例其結點載荷列向量分別為其結點載荷列向量分別為結構載荷列向量：結構載荷列向量：結點位移列向量結點位移列向量整體剛度矩陣的集成其整體的平衡方程為其整體的平衡方程為簡寫為：簡寫為：整體剛度矩陣整體剛度矩陣整體剛度矩陣的性質1.僅與各單元的幾何特性、材料特性，即僅與各單元的幾何特性、材料特性，即A、I、l、E 等因素有關。等因素有關。2.為對稱方陣為對稱方陣3.為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因為建立整體剛度矩陣時沒為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因為建立整體剛度矩陣時沒有考慮結構的邊界約束條件。有考慮結構的邊界約束條件。4.為稀疏矩陣為稀疏矩陣約束的處理建立結構平衡方程式時，并未考慮支承

34、條件（約束），也就建立結構平衡方程式時，并未考慮支承條件（約束），也就是說，將原始結構處理成一個自由懸空的、存在剛體位移的是說，將原始結構處理成一個自由懸空的、存在剛體位移的幾何可變結構。整體剛度矩陣是奇異矩陣，因此，無法求解。幾何可變結構。整體剛度矩陣是奇異矩陣，因此，無法求解。約束處理常用方法有劃約束處理常用方法有劃0 0置置1 1法和乘大數法。法和乘大數法。（a）固定支座（b）支座發生位移對于如圖對于如圖 (a)(a)所示，結構約束（支座）位移全部為零，此時做約束處理時，所示，結構約束（支座）位移全部為零，此時做約束處理時，采用填采用填0 0置置1 1法比較適宜。對于如圖法比較適宜。對于如圖 (b)(b)所示，某約束（支座）位移為給定所示，某約束（支座）位移為給定的強迫值，此時做約束處理時，采用乘大數法比較適宜。的強迫