1、線性代數論文題目： 行列式的解法技巧與方法20目錄一、行列式的定義和性質41.1 行列式的定義41.2 行列式的性質4二、求解行列式的技巧72.1 定義法72.2 化三角形法72.3 析因法82.4 連加法102.5 按行按列展開（降階法）112.6 遞推法122.7 數學歸納法132.8 加邊法（升階法）152.9 拆項法162.10 拉普拉斯法182.11 利用范德蒙行列式法19注：此次論文，雙金濤負責資料的收集、篩選，劉坤負責最后的整理與排版摘 要：行列式是線性代數課程里基本而重要的內容之一，在數學中有著廣泛的應用，懂得如何計算行列式顯得尤為重要。本文先闡述行列式的基本性質，然后介紹各種

2、具體的方法，最后由行列式與其它知識的聯系介紹其它幾種方法。通過這一系列的方法進一步提高我們對行列式的認識，對我們以后的學習帶來十分有益的幫助。關鍵詞:行列式 ； 矩陣； 范德蒙行列式 ； 遞推法行列式在高等代數課程中的重要性以及在考研中的重要地位使我們有必要對行列式進行較深入的認識，本文對行列式的解題技巧進行總結歸納。作為行列式本身而言，我們可以發現它的兩個基本特征：當行列式是一個三角形行列式時，計算將變得十分簡單，于是將一個行列式化為三角形行列式便是行列式計算的一個基本思想；行列式的另一特征便是它的遞歸性，即一個行列式可以用比它低階的一系列行列式表示，于是對行列式降階從而揭示其內部規律也是我

3、們的一個基本想 法，即遞推法。這兩種方法也經常一起使用，而其它方法如：加邊 法、降階法、數學歸納法、拆行（列）法、因式分解法等可以看成是它們衍生出的具體方法。一、行列式的定義和性質1.1 行列式定義定義 行列式與矩陣不同，行列式是一個值，它是所有不同行不同列的數的積的和，那些數的乘積符號由他們的逆序數之和有關，逆序數為偶數,符號為正，逆序數為奇數，符號為負。00100200.n1000000n例 1 計算行列式Dn(n 1)(n 2)解： D不為零的項一般表示為aan2n 2aan！,故Dn 11nnn( 1)2n!.1.2 行列式的性質按照行列式的值可分為以下幾類： 性質 1 行列式值為 0

4、1) 如果行列式有兩行(列)相同，則行列式值為 0;2) 如果行列式有兩行(列)成比例，則行列式值為 0;3) 行列式中有一行(列)為 0，則行列式的值為 0。性質 2 行列式值不變1) 把一行(列)的倍數加到另一行(列)，行列式值不變, 即aaaaaa11121n11121nai1ai2ainai1cak1ai2cak 2aincaknaaaaaak1k 2knk1k 2knaan1n 2aaaannn1n2nn其中cR 。2) 行列互換，行列式值不變, 即aa1112aa2122aan1n2aaaa1n1121n1aaaa2n =1222n2aaaann1n2nnn3) 如果行列式的某一行

5、(列)是兩組數的和，那么它就等于兩個行列式的和, 這兩個行列式除這一行(列)外其余與原來行列式對應相同,即aabcbcbcbbbccc11a2a2nan1aa2an1aa2na1112n1n 2aaa1n1112nnn1n 2aaaa1n11121nnnn1n 2nn性質 3 行列式的值改變一行(列)的公因子可以提出去，或者說用一數乘以行列式的一行(列)就等于用該數乘以此行列式aaaaaa11121n11121nkai1kai2kaink ai1ai2ainaaaaaan1n2nnn1n2nn性質 4 行列式反號對換行列式兩行(列)的位置，行列式反號aa1112aaaa1n11121naai1

6、i2aaaaink1k 2kn（10）aak1k 2aaaakni1i2inaan1n2aaaannn1n2nn例 2一個n 階行列式Da的元素滿足aa ,i,j1,2,n,則稱反nijijji對稱行列式，證明：奇階數行列式為零.證明： 由aa知aa ，即a0,i 1,2,n .故行列式可表示為ijjiiiiiii11110xa0 D=(n-1)a+x 00xa0a000(n-1)a+x(x-a)n 1 ,xa由行列式的性質 AA'，0aaa0aaa12131n12131na0aaa0aa12232n12232naa0a( 1)naa0a1 n Dn13233n13233nnD.aaa

7、0aaa01n2n3n1n2n3nnnn當 n 為奇數時，得DD ,因而得 D0 .二、 求解行列式的技巧2.1 定義法當行列式中含零元較多時，定義法可行。例 3 計算 n 級行列式ab0000ab00D00a00b000a解：按定義，易見 j =1 ， 2， j =n ，或 j =2 ， j =3 ， j=n ， j =1.1得 D= a n+ ( 1)n 1 b n 12.2 三角形行列式法n12n 1n化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或對角形行列式計算的一種方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上（下）三角形行列式或對角形行列式的性質將行列

8、式化為三角形行列式計算。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。例 4：計算如下行列式的值：123n1n234n1D3n4512n12n2n1分析顯然若直接化為三角形行列式，計算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質。注意到從第 1 列開始；每一列與它一列中有 n-1 個數是差 1 的， 根據行列式的性質，先從第 n-1 列開始乘以1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以1 加到第 n-1 列，一直到第一列乘以1 加到第 2 列。然后把第 1 行乘以1 加到各行去，再將其化為三角形行列式，計算就簡單多了。解：D31n11n11111111111211

9、11n1000n200n0(i2,n)rir1n1n111(i2,n) 1r11nrin1n000100nn1n000000n1 n(n1) 1n22n2n1( n)n 10n00n0(n 1)(n 2)( 1)200n0201 n(n1)n0n000n0000(n1)2nn 1n(n 1) 22.3 析因法如果行列式 D 中有一些元素是變數 x（或某個參變數）的多項式，那么可以將行列式 D 當作一個多項式 f(x)，然后對行列式施行某些變換，求出 f(x)的互素的一次因式，使得 f(x)與這些因式的乘積 g(x)只相差一個常數因子 C，根據多項式相等的定義，比較 f(x)與 g(x)的某一項

10、的系數，求出 C 值，便可求得D=Cg(x) 。那在什么情況下才能用呢？要看行列式中的兩行（其中含變數 x），若 x 等于某一數 a1時，使得兩行相同，根據行列式的性質，可使得 D=0。那么 xa1便是一個一次因式，再找其他的互異數使得 D=0，即得到與 D 階數相同的互素一次因式，那么便可用此法。例 5：蘭州大學 2004 招收攻讀碩士研究生考試工試題第四大題第（1）小題。需求如下行列式的值。xaaa12naxaa12nDn 1aaaa123naaax123分析根據該行列式的特點，當xa . i 1,2, ,n 時，有Din 10 。但大家認真看一下，該行列式 D是一個 n+1 次多項式，而

11、這時我們只找出了 nn+1個一次因式xa . i 1,2, ,n ,那么能否用析因法呢？我們再仔細看一下，每in行的元素的和數都是一樣的，為：aix，那么我們從第 2 列開始到第 n+1i 1n列都加到第 1 列，現提出公因式aix，這樣行列式的次數就降了一次。從i 1而再考慮析因法。解：naxaaai12ni 1naxxaa1aaa12ni2n1xaai 1n2nD(ax)n 1inaxaai23i 1ni 11aaaa23nn1aax23axaaxi23i 1令：1aaa12n1xaa2nD'n 11aaa23n1aax23顯然當： xa . i 1,2, ,n 時， Di'

12、;0 。n 1又D'為 n 次多項式。n 1設D'C (xa)(xa)(xa )n 112n又D'中x 的最高次項為xn ，系數為 1，C=1n 1D'(xa)(xa)(xa )n 112n因此得：nD(an 1ii 1nx)D'n 1(ax)(xai1)(xa2)(xa )ni 12. 4 連加法若行列式中某加上其余各列（行），使該列（行）元素均相等或出現較多零，從而簡化行列式計算的方法稱為連加法。xaaaaxaa例6Daaxaaaax解：它的特點是各列元素之和為 （n-1）a+x ,因此把各行都加到第一行， 然而第一行再提出（n-1）a+x ,得11

13、11axaaD=(n-1)a+x aaxaaaax將第一行乘以（-a）分別加到其余各行，化為三角形行列式，則11110xa0 D=(n-1)a+x 00xa00(n-1)a+x(x-a)n 10a0xa25 按行按列展開（降階法）降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運算更加簡便，往往是根據行列式的特點，先利用列式的性質化簡，使行列式中有較多的零出現，然后再展開。a00010a00000a00n000a01000a例 7計算行列式 D.解： 按第 1 行展開：a0000a000a 0a00a00 ( 1)n！00a0000a0

14、00a1000Dnan( 1)n1( 1)n an2anan2anan2 .2. 6 遞推法應用行列式的性質，把一個 n 階行列式表示為具有相同結構的較低階行列式（比如，n-1 階或 n-1 階與 n-2 階等）的線性關系式，這種關系式稱為遞推關系式。根據遞推關系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給 n 階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法。例 8，證明如下行列式等式：000100D0100n0001證明：Dnn 1n 1, 其中分析此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外， 其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角”行列式1。從行列式的左上

15、方往右下方看，即知 D與 Dn-1 n具有相同的結構。因此可考慮利用遞推關系式計算。證明：Dn按第 1 列展開，再將展開后的第二項中 n-1 階行列式按第一行展開有：D（ ）DnDn1n2這是由 Dn-1和 Dn-2 n-2表示 Dn的遞推關系式。若由上面的遞推關系式從 n 階逐階往低階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關系式是由 n-1 階和 n-2 階行列式表示 n 階行列式，因此，可考慮將其變形為：D Dn Dn1Dn1（ Dn2Dn1）n2或D DnDn1Dn1（ Dn2 Dn1）n2現可反復用低階代替高階，有：D Dn（Dn1 Dn1） （2n2D Dn2） （3n3D Dn3）n4

16、n （2D D ）=n2()2()n(1)21同樣有：D Dn （Dn1 Dn1） （2n2D Dn2） （3n3D Dn3）n4 n （2D D ）=n2()2()n(2)21因此當時由（1）（2）式可解得： Dnn 1n 12. 7 數學歸納法一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數學歸納法給出猜想的證明。因此，數學歸納法一般是用來證明行列式等式。因為給定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。例 9 證明：2cos10Dn0012cos100012cos000002cos100012cossin(n1) sin(sin0)證：當n1,2 時，有：D2c

17、os1sin(11) sin2cos1sin(2 1)D4cos21212cossin結論顯然成立。現假定結論對小于等于n1時成立。即有：Dsin(n21)n 2sin,Dsin(n1 1)n 1sin將D按第 1 列展開，得：n2cos1002cos00012cos0012cos00Dn002cos1002cos10012cos0012cos(n 1)(n1)2cosDDn 1n 22cossin(n1 1)sin(n21)sinsin2cossinnsin(n1) sin2cossinnsinncoscosnsinsin sinncoscosnsinsinsin(n1) sin故當對n 時

18、，等式也成立。得證。2. 8 加邊法（升階法）有時為了計算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進行計算，這種計算行列式的方法稱為加邊法或升階法。當然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計算。要根據需要和原行列式的特點選取所加的行和列。加法適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為 n-1 個元素的倍數的情況。加邊法的一般做法是：1aaa1a100n11aD21nan11n0aa112n0a21ann0an1abaa1n1111nabaa2n2212nabaannnn1nn12特殊情況取aaa1bbb1或n12n例 10、計算 n 階行列式：x 21x

19、xx x11 21 2x xx 21x xD1 221 2nx xx xx 211 21 2n分析 我們先把主對角線的數都減 1，這樣我們就可明顯地看出第一行為x 與 x ,x , x 相乘，第二行為x 與 x ,x , x 相乘，第n 行為 x 與112n212nnx ,x , x 相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子 x ,x , x ，從12n12n而就可考慮此法。解：2n12n1x xx xx1001xxx11xxx0x21D0x xn2 10x x1 2x212x x1 2x x2 nx211x0102x001c1(ix ci i 11,n)n 1n 2(i1,n)ri 1x

20、ri 1nnnn 11x 2xxxi12ni 10100010000n1x 20ii 11n 12. 9 拆項法由行列式拆項性質知，將已知行列式拆成若干個行列式之積，計算其值， 再得原行列式值，此法稱為拆行（列）法。由行列式的性質知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個數之和，則該行列式可拆成兩個行列式的和，這兩個行列式的某行（列）分別以這兩數之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對應行（列） 相同，利用行列式的這一性質，有時較容易求得行列式的值。例 11 、 計算下列行列式的值： 設 n 階行列式：aa1112aa2122aan1n 2a1na2n1ann且滿足aija

21、,i,j 1,2, ,n,對任意數 b，求 n 階行列式jiaba1112aba2122bab1nbab2n?abababn1n 2nn分析該行列式的每個元素都是由兩個數的和組成，且其中有一個數是b，顯然用拆行（列）法。解：abababa11121n11abababa D21222n21nabababan1n 2nnn1aba121naba222na ban 2nnb babab121nbbabab222nbbababn 2nnaa1112aa2122aba1n11aba2n21bab1aa1n121nbab1aa2nb222naan1n2ababannn1nnb1aan 2nnaa1112a

22、a2122aa1n11aa2nb211a1aa1n121n1a1aa2nb222naan1n 2a a1annn1nn1aan 2nnnnn1bA2ib A1bA1iiji 1i 1i,j 1aa1112aa又令A 2122a1na2n且aija , i,j 1,2, ,njiaaan1n 2nn有: A1, 且A'AAA由A1得：AA1A即AAEAA1又（A）'(A 1)'(A ') 1(A) 1AA* 也為反對稱矩陣又A (i,j 1,2, ,n)為 A *的元素ijn有A0iji 1,j 1從而知： Dnn1bA1iji 1,j 12.10 拉普拉斯法拉普拉斯定理的四種特殊情形：A01） nnABA2） nnCnmABCBnn mnmmmm0Bmmnnmm0A3） nn( 1)mnABC4） nmAnn( 1)mnABBCmm