1、 目錄 上頁 下頁 返回 結束考慮非齊次線性微分方程組考慮非齊次線性微分方程組 ( )( )xA t xF t(1) (1) 解的結構問題解的結構問題. .( )xA t x(2) (2) 3.3 3.3 線性微分方程組的基本理論線性微分方程組的基本理論先考慮先考慮(1) 對應的齊次線性微分方程組對應的齊次線性微分方程組解的結構問題解的結構問題. . 目錄 上頁 下頁 返回 結束一、線性齊次方程組解的結構一、線性齊次方程組解的結構 ThTh 1 1 設設 是齊次線性方程組是齊次線性方程組 12( ),( ),( )mx tx txt(2)的的 m m 個解個解, ,則它們的線性組合則它們的線性

2、組合1( )miiic x t也是也是(2)(2)的解。的解。證明證明: 因因), 2 , 1)(mitxi是方程是方程(2) 的解的解, 則有則有)., 2 , 1()()(mitxtAdtdxii 目錄 上頁 下頁 返回 結束所以所以2211mmxcxcxcdtddtdxcdtdxcdtdxcmm2211)()()()()()(2211txtActxtActxtAcmm)()()()(2211txctxctxctAmm),)(1miiixctA說明說明miiixc1是方程組是方程組(2)的解的解. 目錄 上頁 下頁 返回 結束線性相關及線性無關的定義線性相關及線性無關的定義 設設 為為 上

3、的上的函數函數向量向量, , 12( ),( ),( )nx txtxtI若有一組不全為若有一組不全為0 0的數的數 , ,12,nccctI 有有1 122( )( )( )0nnc x tc x tc x t成立，則稱此組函數向量在成立，則稱此組函數向量在 上線性相關上線性相關, ,I否則稱為線性無關否則稱為線性無關. 目錄 上頁 下頁 返回 結束例例1 證明證明tttxtttx11sin)(,1cos)(2221在任何區間在任何區間I上都是線性相關的上都是線性相關的.證明證明:取取1,121cc則則Itttcttc00011sin1cos2221故故)(),(21txtx在在I上是線性相

4、關的上是線性相關的. 目錄 上頁 下頁 返回 結束例例2 證明證明 1( )0ttex te320( )1tx te233( )0ttex te在在 上線性無關上線性無關. .(,) 證明證明: :要使要使Rteececeectxctxctxcttttt00100)()()(323321332211 目錄 上頁 下頁 返回 結束成立成立,顯然只需下面方程成立顯然只需下面方程成立tccceeeeettttt0000100321323因為因為0201004323tttttteeeeee所以所以 1230ccc所以有所以有 線性無關線性無關. . 123,x xx 目錄 上頁 下頁 返回 結束朗斯基

5、判別準則朗斯基判別準則: : 設有設有n n個函數向量個函數向量為這些函數向量組的為這些函數向量組的朗斯基行列式朗斯基行列式. .稱稱 ,)()()()()()()()()()(212222111211txtxtxtxtxtxtxtxtxtWnnnnnn)()()()(,)()()()(,)()()()(21222122121111txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxnnnnnnn 目錄 上頁 下頁 返回 結束Th2 Th2 方程組方程組(2)的解組的解組 12( ), ( ),( )nx t x tx t在在 , a b線性相關的充要條件是它們的朗斯基行列式線性相關的充要條件是它

6、們的朗斯基行列式 證明證明: :必要性必要性. .設設 12( ),( ),( )nx t x tx t在在 , a b, 0)(battW由由 的任意性有的任意性有 . .0t, 0)(battW均線性相關均線性相關. .所以所以0)(0tW上線性相關上線性相關, ,則則 )()(),(,002010txtxtxbatn 目錄 上頁 下頁 返回 結束則則 線性相關，即存在線性相關，即存在不全為零不全為零)(,),(),(00201txtxtxn0( )0 x t, ,由解的存在唯一性定理知由解的存在唯一性定理知, , ,即有即有 ( )0 x t故解組線性相關故解組線性相關. . 的數的數

7、, ,使得使得12,nc cc0)()()(0022011txctxctxcnn., 0)()()(2211battxctxctxcnn充分性充分性. .若若 , ,取取 , ,有有,0bat 0)(tW0)(0tW考慮到考慮到 )()()()(2211txctxctxctxnn,由解的疊加原理由解的疊加原理 知知 是是(2)的解的解, ,且由且由(3)知知 滿足滿足 ( )x t)(tx 目錄 上頁 下頁 返回 結束可以表示為可以表示為Th3Th3 設設 是方程組是方程組（2) ),)()(),(21battxtxtxn的任意的任意n n個解個解, ,則它們的朗斯基行列式則它們的朗斯基行列式

8、 )(tW,),)(exp()()(0100batdssatWtWttniii 其中其中)(saii為方程組為方程組(2)對應的系數矩陣對應的系數矩陣A(t)的對角線元素的對角線元素,稱上式為劉維爾公式稱上式為劉維爾公式 目錄 上頁 下頁 返回 結束.)()()()()()()()()()(1212111211ninnnniniintxtxtxdttdxdttdxdttdxtxtxtxdttdW證明證明 : :由行列式的求導法則可得由行列式的求導法則可得 因為因為 是解是解, ,故有故有 )()(),(21txtxtxn 目錄 上頁 下頁 返回 結束所以所以 niiitWtadtdW1).()

9、(這里這里表示矩陣表示矩陣)(tA的跡的跡.niiitattrA1)()(解得解得 )(exp()()(00ttdsstrAtWtW.)()()()()()()(1211121111211ninnnnnjjnijnjjijnjjijntxtxtxxaxaxatxtxtxdttdW 目錄 上頁 下頁 返回 結束在在 上線性無關上線性無關 在在 上某點上某點 處，處， , a b0t , a b推論推論1 1 方程組方程組（2）的任一解組的任一解組 )()(),(21txtxtxn的的 在在 上或恒不為零，或恒為零上或恒不為零，或恒為零. . , a b)(tW推論推論2 2 方程組方程組（2）的

10、解組的解組 )()(),(21txtxtxn有有 . .0)(0tW 目錄 上頁 下頁 返回 結束Th4Th4 線性齊次微分方程組線性齊次微分方程組（2）一定存在一定存在 個線性無關解個線性無關解. .n證明證明: 由解的存在惟一性定理由解的存在惟一性定理, 方程組方程組(2)(2)一定存在滿足初始條件一定存在滿足初始條件.100)(,010)(,001)(00201txtxtxn 目錄 上頁 下頁 返回 結束的解的解.,),(,),(),(21battxtxtxn且以該組作出的且以該組作出的Wronsky 行列式在行列式在 0t處有處有在在,bat上線性無關上線性無關., 因此因此)(,),

11、(),(21txtxtxn01)(0tW 目錄 上頁 下頁 返回 結束（2）的的n n個線性無關解，則個線性無關解，則（1 1） 是方程組是方程組（2）的的1( )( )niiix tc x t通解，其通解，其中中 是任意常數是任意常數. . 12,nc cc（2 2）方程組）方程組（2）的任一解的任一解 均可表示為均可表示為 ()xt的線性組合的線性組合. . ), 1)(nitxiTh5Th5（通解結構定理）（通解結構定理）設設 是方程組是方程組 )()(),(21txtxtxn 目錄 上頁 下頁 返回 結束證明：（證明：（1 1）由解的疊加原理知）由解的疊加原理知1( )( )ni ii

12、x tcx t是方程組是方程組（2）的解，又因為的解，又因為 111111( )( )( ,)( ) 0( ,)( )( )nnnnnnx tx tD xxwtDccx tx t故故 彼此獨立，所以彼此獨立，所以 是通解是通解. . 1,ncc1( )( )ni iix tcx t 目錄 上頁 下頁 返回 結束（2 2）設）設 是方程組是方程組（2）任一解，并滿足任一解，并滿足 ( )x t00( )x tx因為因為 是是n n個線性無關解，個線性無關解， 構成構成n n維線性空間的基，故對向量維線性空間的基，故對向量 0( )x t一定一定 存在唯一確定的一組常數存在唯一確定的一組常數 滿足

13、滿足 12,nc cc可知可知 線性無關，即它們線性無關，即它們)(,),(),(00201txtxtxn)()(),(21txtxtxn)()()()(00220110txctxctxctxnn 目錄 上頁 下頁 返回 結束00( )x tx, ,因此由解的唯一性，有因此由解的唯一性，有 ( )x tx考慮考慮)()()()(2211txctxctxctxnn由解的疊加原理知它為方程組的解，并滿足由解的疊加原理知它為方程組的解，并滿足)()()()(2211txctxctxctxnn即即推論推論3 方程組方程組(2)的線性無關解的最大個數為的線性無關解的最大個數為n. 目錄 上頁 下頁 返回

14、 結束基本解組基本解組: : 稱方程組稱方程組(2)(2)的的n n個線性無關解個線性無關解 12( ),( ),( )nx tx tx t為一個基本解組為一個基本解組. .基解矩陣基解矩陣: : 由基本解組組成的矩陣為基解矩陣由基本解組組成的矩陣為基解矩陣. . Th6 Th6 方程組方程組(2)(2)一定存在一個基解矩陣一定存在一個基解矩陣 ( ) t并若并若 為其任一解為其任一解, ,則則 . .( ) t( )( )tt c解矩陣解矩陣: 如果如果n n矩陣的每一列都是矩陣的每一列都是(2) 的解的解, 稱這個矩陣為稱這個矩陣為 (2) 的解矩陣的解矩陣.其中其中c是確定的是確定的n維

15、常數向量維常數向量. 目錄 上頁 下頁 返回 結束Th7 Th7 方程組方程組(2)(2)的一個解矩陣為的一個解矩陣為( ) t基解基解矩陣矩陣 在在 上某點上某點 有有 , ab0t證明證明: 若若)(,),(),()(121tttt是是 (2) 的基解矩陣的基解矩陣, 則有則有.,12,),()()(nibatttAtii故有故有0)()(det00tWt 目錄 上頁 下頁 返回 結束).(,),(),()()(,),(),(2121ttttAtttnn).()()(ttAt即即又因為又因為)(t是基解矩陣是基解矩陣, 所以所以.,),(det00batt反之反之, 設設)(t滿足滿足(8

16、), 且存在且存在,0bat 使使, 0)(det0t則則滿足滿足(9), 于是于是)(t)(t的的 n 個列向量個列向量)(,),(),(21tttn均滿足方程組均滿足方程組 (2), 即即)(t是是(2) 的解矩陣的解矩陣, 又又, 0)(det0t 目錄 上頁 下頁 返回 結束)(t故故是方程組是方程組(2) 的基解矩陣的基解矩陣.由定理由定理 6 和定理和定理 7可以得到下面的推論可以得到下面的推論.推論推論4 4 若若 是是( (2)在在 上的基解矩陣上的基解矩陣, , ( ) t , a b方程組方程組(2)在區間在區間 上的基解矩陣上的基解矩陣. . , a b證明證明: 由上面

17、的討論知由上面的討論知, 方程組方程組(2) 的基解矩陣的基解矩陣)(t滿足矩陣方程滿足矩陣方程,),()()(batttAtC C是非奇異是非奇異 常數矩陣常數矩陣, ,則則 也是也是 n nCt)( 目錄 上頁 下頁 返回 結束推論推論5 5 若若 是是(2)兩個基解矩陣兩個基解矩陣, ,則存則存( ),( )tt現令現令,)()(batCtt兩邊關于兩邊關于t 求導得求導得).()()()()()(ttACttACtt即即)(t是是(2) 的解矩陣的解矩陣, 又由于又由于C 的非奇異性的非奇異性, 故有故有, 0det)(det)(detbatCtt因此因此, )(t也是方程組也是方程組

18、(2) 的基解矩陣的基解矩陣.在在非奇異常數矩陣非奇異常數矩陣C,C,使得使得 .,)()(batCtt 目錄 上頁 下頁 返回 結束證明證明: 因為因為)(t是基解矩陣是基解矩陣, 故其逆矩陣故其逆矩陣)(1t存在存在, 令令.,),()()(1battXtt則易知則易知)(tX是是nn可微矩陣可微矩陣, 且且., 0)(detbattX于是有于是有)()()()()()()(tXttXttttA)()()()()(tXttXttA.,),()()()(battXtttA由此可得由此可得, 0)()( tXt即即., 0)(battX 目錄 上頁 下頁 返回 結束故故)(tX是是nn常數矩陣

19、常數矩陣, 且為非奇異的且為非奇異的,記為記為,C即有即有.,)()(batCtt例例3 驗證驗證tttteeeet33)(是方程組是方程組xx2112的基本解矩陣的基本解矩陣, 并寫出其通解并寫出其通解. 目錄 上頁 下頁 返回 結束解解: 首先驗證首先驗證)(t是是(10)的解矩陣的解矩陣, 令令)(1t表示表示)(t的第一列的第一列, 因為因為,)(1tteettttteeee2112故故).(2112)(11tt因此因此,)(1t是方程是方程(10) 的一個解的一個解. 同理同理, 令令)(2t表示表示)(t的第二列的第二列, 可知可知)(2t也是也是(10) 的解的解, 因此因此).

20、(),()(21ttt是方程組是方程組 目錄 上頁 下頁 返回 結束試證明以試證明以n,21為基本解組的齊次線性微分為基本解組的齊次線性微分(10) 的解矩陣的解矩陣, 另外因另外因, 02)(det4tet故故)(t是是(10) 的基本解組的基本解組. 所以其通解為所以其通解為:.)(3213212133ttttttttececececcceeeectx例例 4 設設n,21在在),(上線性無關上線性無關,方程組具有下列形式方程組具有下列形式 目錄 上頁 下頁 返回 結束其中其中,), 2 , 1(nixi是所求的一階微分方程組的是所求的一階微分方程組的., 2 , 1, 0)()()()(

21、)()(111111nittxttxdttddttdxnnnnninii未知函數未知函數,ij是是i的第的第j個元素個元素.證明證明: 設所求的微分方程組設所求的微分方程組為為.)( xtAx 即即 目錄 上頁 下頁 返回 結束.)()()(,)()()(,)()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxtaxtaxtaxxtaxtaxtaxxtaxtaxtax因為因為i是上面的微分方程組的解是上面的微分方程組的解, 且它構成方程且它構成方程組的基解矩陣組的基解矩陣).,()(21nt因此因此, 有有).()()(ttAt從而從而),()()(1tttA把此式代入微分

22、方程組把此式代入微分方程組xtAx)(得得 目錄 上頁 下頁 返回 結束.)()(1xttx(11)另一方面另一方面, 因為因為)()()()()()(111111ttxttxdttddttdxnnnnninii)()()()()()()()(det(2222211211ttxttxttxttxnnnnnnii 目錄 上頁 下頁 返回 結束)()()()()()()() 1(1112212111111ttxttxttxtnnnnnninnnjnjjjijjiixxtx112211)()()(det( njijnjinntxx1)(det()() 1( 目錄 上頁 下頁 返回 結束Tnnnnnn

23、niniixxx),(),(2121222121211121這里這里ij是是)(det(t中元素中元素ij的代數余子式的代數余子式, 且且(12).()(det(1212221212111ttnnnnnn(13) 目錄 上頁 下頁 返回 結束把把(13) 代入代入 (12) 得得.)(),()(det()()()()()()(121111111xtxtttxttxdttddttdxiniiinnnnninii再由再由 (11) 即可以得到上式右端為零即可以得到上式右端為零. 目錄 上頁 下頁 返回 結束例例5 已知線性齊次微分方程組的兩組解為已知線性齊次微分方程組的兩組解為3123( ),(

24、)tttteex tx tee試求該微分方程組試求該微分方程組 解解: : 顯然顯然 線性無關線性無關, ,由例由例412( ),( )x tx t知所求微分方程為知所求微分方程為 目錄 上頁 下頁 返回 結束31322211123232240tttttttttxeexeee xe xe xxee及及 31322212123232420tttttttttxeexeee xe xe xxee 目錄 上頁 下頁 返回 結束所以所以, ,所求方程組為所求方程組為 11221222xxxxxx 目錄 上頁 下頁 返回 結束二、非齊次線性微分方程組解的結構二、非齊次線性微分方程組解的結構( )( )xA

25、 t xF t（1）( )xA t x（2）解的一些簡單性質解的一些簡單性質:性質性質1 如果如果)(t是是 (1) 的解的解, )(t是是 (1) 是是 (1) 的解的解. 對應的齊次線性方程組對應的齊次線性方程組 (2) 的解的解, 則則)()(tt 目錄 上頁 下頁 返回 結束性質性質2 如果如果)(1t是是 (1) 的兩個解的兩個解, )(2t和和是是 (2) 的解的解. )()(21tt則則)(txj性質性質3 設設),()()()(21tFtFtFtFm且且 是是 (1) 的解的解. 的解的解, 則則mjjtxx1)(是方程組是方程組)()(tFxtAxj 目錄 上頁 下頁 返回

26、結束Th4.11Th4.11 ( (通解結構定理通解結構定理) )(1)的某個解的某個解, ,則非齊次線性方程組的任則非齊次線性方程組的任一解一解( ) t證明證明: 由性質由性質2知知,)()(0tt是方程組是方程組(2) 的解的解,再由定理再由定理6得到得到.)()()(0cttt( ) t0( ) t設設 是方程組是方程組(2)的一個基解矩陣的一個基解矩陣,是方程組是方程組可表示為可表示為 0( )( )( )tt ct其中其中c為確定的常數為確定的常數列向量列向量. 目錄 上頁 下頁 返回 結束由此得由此得.)()()(0cttt因此因此,在求在求(1)的通解的通解,只需求出對應的齊次只需求出對應的齊次線性微分方程組線性微分方程組(2)的基本解組和的基本解組和(1)的任的任一解即可一解即可. 下面介紹用常數變易法求解方程組下面介紹用常數變易法求解方程組(1)的特解的特解. . ( ) t設設 是方程組是方程組(2)的一個基解矩陣的一個基解矩陣,于是于是方程組方程組(2)的通解為的通解為 目錄 上頁 下頁 返回 結束待定的函數列向量待定的函數列向量c(t),c(t),試圖尋找試圖尋找(1)的形如的形如cttx)()(3）其中其中c為確定的常數列向量為確定的常數列向量,若將若將c看成是關于看成是關于t的的)()()(tctt的解的解,把（把（3)代入代入