1、1.4?空間圖形的根本關系與公理?教案空間圖形的根本關系與公理一 .教學內容：空間圖形的根本關系與公理二 .學習目標：1、學會觀察長方體模型中點、線、面之間的關系,并能結合長方體模型,掌握空間圖形的有關概念和有關定理；掌握平面的根本性質、公理 4 和等角定理；2、培養和開展自己的空間想象水平、運用圖形語言進行交流的水平、幾何直觀水平、通過典型例子的學習和自主探索活動,理解數學概念和結論,體會蘊涵在其中的數學思想方法；3、培養嚴謹的思維習慣與嚴肅的科學態度；體會推理論證中反映出的辯證思維的價值觀.2三、知識要點一空間位置關系：I、空間點與線的關系空間點與直線的位置關系有兩種：點 P 在直線上：尸

2、七；點 P 在直線,外：?；II、空間點與平面的關系空間點與平面的位置關系有兩種：點 P 在平面比上：尸“點 P 在平面口外：徐口；III、空間直線與直線的位置關系：共面平行:無交點.,天相交:有且只有一個交點今innrF異面：不同在任何一個平面內1既不平行也不相交IV、空間直線與平面的位置關系:V、空間平面與平面的位置關系：平行；相交說明：本模塊中所說的“兩個平面“兩條直線等均指不重合的情形.二異面直線的判定、定義法：采取反證法的思路,否認平行與相交兩種情形即可；直魏在平面外i直線在平面上以J線面平行;La線面相交;inP42、判定定理：P 點在平面上,那么平面上不經過該點的直線與平面外經過

3、該點的直線是異面直線.三平面的根本性質公理1 一、 公理 1 如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線上所有的點都在這個平面內即直線在平面內,或曰平面經過這條直線.2、 公理 2 經過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面即確定一個平面.3、公理 3 如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條通過該點的公共直線4、平面的根本性質公理的三個推論經過直線和直線外一點,有且只有一個平面；經過兩條相交直線,有且只有一個平面；經過兩條平行直線,有且只有一個平面思考：公理是公認為正確而不需要證實的命題,那么推論呢？平面的根本性質公理是如何刻畫平面的性質的？四平行公理公理 4:平行于同一

4、條直線的兩條直線平行.五等角定理：空間中,如果兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.六空間四邊形：順次連接不共面的四點構成的圖形稱為空間四邊形.【典型例題】考點一空間點線面位置關系的判斷：主要判斷依據是平面的根本性質公理及其推論,平行公理、等角定理等相關結論.例 1.以下命題：空間不同的三點可以確定一個平面；有三個公共點的兩個平面必定重合；空間中兩兩相交的三條直線可以確定一個平面；平行四邊形、梯形等所有的四邊形都是平面圖形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一條直線和兩平行線中的一條相交必定和另一條也相交.其中正確的命題是.例 2.空間中三條直線可以確定幾個平面？試畫出示意圖

5、說明.6解：0 個、1 個、2 個或 3 個.分別如圖圖中所畫平面為輔助平面：考點二異面直線的判斷：主要依據是異面直線的定義及判定定理.例 3.如圖是一個正方體的展開圖,如果將它還原為正方體,那么 AB、CD、EF、GH 這四條線段所在的直線是異面直線的有對,分別是解：3 對,分別是 AB、GH;AB、CD;GH、EF考點三“有且只有一個的證實： 一般地,此類題型的證實需要分為兩個步驟,分別證實“有即存在性和“只有一個即唯一性.例 4.求證：過兩條平行直線有且只有一個平面.：直線 a/bo求證：過 a,b 有且只有一個平面.證實：存在性：由平行線的定義可知,過平行直線a,b 有一個平面.唯一性

6、反證法：假設過 a,b 有兩個平面儀尸 c在直線 1 上任取兩點 A、B,在直線 b 上任取一點 C,那么 A、B、C 三點不共線.由于這兩個平面口尸都過直線 a,b,因此由公理 1 可知：1 尸都過點 A、B、Co由平面的根本性質公理2,過不共線三點的平面唯一存在,因此真重合,與假設矛盾.矛盾說明：過平行直線 a,b 只有一個平面.綜上所述：過 a,b 有且只有一個平面.考點四共點的判斷與證實：此類題型主要有三線共點和三面共點.例 5.三個平面兩兩相交有三條交線求證：三條交線或平行或交于一點.： 平面山港團片占片求證： a/b/c 或者 a,b,c交于一點 P.證實：由于刀尸=%值 1故 a

7、,b 共面I、假設 a/b:由于匚故仍,因直線故 a,c 無公共點.又 a,c 都在平面戶內故 a/b;故 a/b/c.8II、假設打人尸,那么尸三殂氏 f 尸己用力=人故知事也E交于一點尸.綜上所述：命題成立.說明：證實三點共線的問題的常用思路是先證兩條直線相交,然后再證該交點在第三條直線上；證實交點在第三條直線上常證實該點是兩個相交平面的公共點,從而在這兩個平面的交線上即在第三條直線上.考點五共線的判斷與證實： 常見題型是三點共線.例6.如圖,Oi是正方體ABCD-AiBiCiDi的面AiBiCiDi的中央,M 是對角線 AiC 和截面 BiDiA 的交點,求證：Oi、M、A 三點共線.證

8、實：連結 AC.由于 AiCinBiDi=Oi,BiDi緊平面BiDiA,AiCi壇 AAiCiC, 所 以 OiG平 面 BiDiA 且OiGAAiCiC.同理可知,MG平面 BiDiA 且 MGAAiCiC；AG平面 BiDiA 且 AGAAiCiCo 所以,Oi、 M、 A 三點在平面 BiDiA 和 AA1C1C的交線上,故 Oi、M、A 三點共線.說明：證實三線共點問題的常見思路是證實第三點在前兩點所確定的直線上；或者證.明三點是兩相交平面的公共點,從而在這兩個平面的交線上.考點六共面問題的判斷與證實：此類題型常見的是四點共面或三線共面,如證實某個圖形是平面圖形.例 7.如圖,在空間

9、四邊形 ABCD 中,E、F 分別是AB、AD 的中點,G、H 分別是 EC、CD 上的點,且CG=BC/3,CH=DC/3.求證：E、F、G、H 四點共面；直線 FH、EG、AC 共點.證實：如圖,連結 HG,EFo 在 4ABD 中,E、F 分別為AB、 AD中點,故EFAABD的中位線,故EFIIBDO在 4CBD 中 ,CG=BC/3,CH=DC/3, 故 GH/BD, 故EFIIGH從而 GH、EF 可確定一個平面,即 G、H、E、F 四點共面由于 E、F、G、H 四點共面,且 FH 與 EG 不平行,故相交,記交點為 M,那么 MGFH,FH?面 ACD,故MG面ACD；MEG,E

10、G反面ABC,故MG面ABC.從而 M 是面 ACD 和面 ABC 的公共點,由公理 3 可知,M 在這兩個平面的交線 AC 上,從而 FH、EG、AC 三線共點.說明：共面問題的常用的處理方法是利用平面的10根本性質公理 2及三個推論,先證實局部元素確定一個平面,再證剩下的元素也在此平面上；有時也可先證局部元素共面,剩下的元素共面,然后證實這兩個平面重合此時也可用反證法.本講涉及的主要數學思想方法1、數學語言是數學表述和數學思維不可缺少的重要工具,必須能將這三種語言即文字語言、符號語言和圖形語言進行準確的互譯和表達,這在空間關系的證實與判斷中顯得十分重要；2、空間觀念和空間想象水平：高考中立

11、體幾何題的題型功能最重要的一點就是考查考生的空間觀念和空間想象水平,由于我們是通過平面圖形直觀圖去研究空間關系,所以同學們在學習過程中一定要多觀察、多思考,動手做一些空間模型或通過電腦動畫模擬一些空間圖形,培養空間概念,提升空間想象水平.【模擬試題】ii1、在空間內,可以確定一個平面的條件是A.兩兩相交的三條直線B.三條直線,其中的一條與另兩條分別相交C.三個點D.三條直線,它們兩兩相交,但不交于同一點2、2021 遼寧卷 在正方體 ABCD-AiBiCiDi中,E、F 分別為棱 AAi、 CCi的中點,那么在空間中與三條直線 AiDi,EF,CD 都相交的直線A.不存在 B.有且只有兩條 C

12、.有且只有三條 D.有無數條*3、平面外一點 P 和平面內不共線的三點 A、B、C.A,、 、 C,分別在 PA、 PB、 PC 上,假設延長 A,C,、A7C7與平面分別交于 D、E、F 三點,那么 D、E、F三點A.成鈍角三角形 B.成銳角三角形 C.成直角三角形 D.在一條直線上4、 空間中有三條線段 AB、 BC、 CD,且/ABC=/BCD,那么直線 AB 與 CD 的位置關系是A.平行 B.異面 C.相交 D.平行或異面或相交均有可能5、以下表達中正確的選項是A.由于 PGa,QGa,所以 PQGa.12B.由于 PGa,QG0,所以 aA0=PQ.C.由于觸量CGAB,DGAB,

13、因此 CDGD.由于他號屋二尸,所以AG(an0)且 B6、 異面直線 a,b 分別在平面 a,B 內且 aCB=C,那么C()A.至少與 a,b 中的一條相交；B.至多與 a,b 中的一條相交；C.至少與 a,b 中的一條平行；D.與 a,b 中的一條平行,與另一條相交7、空間四邊形 ABCD 中,M、N分別為那么以下判斷正確的選項是(DMNACA-BD)二、填空題8、在空間四邊形 ABCD 中,M、N 分別是 BC、AD的中點,那么？MN 與 AB+CD 的大小關系9、對于空間中的三條直線,有以下四個條件：三條直線兩兩相交且不共點；三條直線兩兩平行；三條直線共點；有兩條直線平行,第三條直線和這兩條直線都相交.其中,能推出三條直線共面的有AB、CD 的中點,A聞.之;(月C480)C.顧三；(上0430)i3三、解做題10、正方體 ABCD-AiBiCiDi中,E、F 分別是 AB、AAi的中點.求證：CE、Di