1、 8.3 Runge-Kutta法法第八章第八章 常微分方程數值解常微分方程數值解 8.3 Runge-Kutta法法1(,)kkkkyyhf xy111 (,)(,)2kkkkkkhyyf xyf xy考慮改進Euler法如果將其改成1(,)kkKf xy211(,)kkKf xyhK112()2kkhyyKK-(1)改進Euler法是由梯形公式和Euler公式復合而成梯形公式具有2階精度形如(1)式的求解公式稱為二階二階Runge-Kutta法法同樣可以證明,改進Euler法也具有2階精度011( , ),( )kkkkyf x yaxby ayyyxxh 對于微分方程初值問題如已知需要求

2、，1101()()(),()(), ()kkkkkkky xy xy xhhy xy xhf xh y xh則由微分中值定理 可得1, (),(,)kkkkkkkkfxh y xhxxf xxxyyyy其中為在區間上的平均斜率。為在 點上的斜率的近似( )基本思路基本思路0121( )(,)(,)(,),()kkkkkkkkkkkyy ayyhf xyxyyf xyxxO h 在歐拉公式中僅用一個點處的斜率來近似代替區間上的平均斜率，局部截斷誤差為。1211112(,)(,)()2kkkkkkKf xyKf xyhKhyyKK改進的歐拉公式 在 中1111131(,)(,)(,)(,),()k

3、kkkkkkkkkkkxyyf xyxyhKyf xyhKxxO h 則是用點處的斜率和由此點處信息預估的點處的斜率的算術平均值來近似代替區間上的平均斜率，局部截斷誤差為。 所以如果在區間上多預估幾個點的斜率值，再將它們的線性組合作為平均斜率的近似值，則就有可能構造出精度更高的計算格式。推廣1(, )kkkkyyhxy h( , )f x y其中 是用在一些點上值的線性組合來構成這種單步法稱為Runge-Kutta方法,簡記為簡記為R-K公式公式.,Runge-Kutta.RRf若 是由 個 值線性組合構成 則稱線性方法級以2級二階Runge-Kutta方法（8.3.2）為例加以說明二階二階R

4、unge-Kutta公式公式12111122(,)(+,)()kkkkkkKf xyKf xph yphKyyhKK二元Taylor展開-P5使用工具：Taylor展開三階三階Runge-KuttaRunge-Kutta公式公式14,()kkhxxO若在區間上再增加一個新點，即用三個點上的斜率進行加權平均作為平均斜率，則可望得到截斷誤差為的計算公式，1123123121321112233,(,)(,)(,)()1,1kkkkkkkkkkkkkxxph xqhxxKKKKf xyKf xph yphKKf xqh yqhKyyhKKKpq 預估預估其中為區間上的三個點；00； 是三個斜率的線性組

5、合系數。即三階龍格三階龍格- -庫塔公式庫塔公式4112-()pqhO如果取中點和終點的斜率，則可得到一三階種局部截斷誤差為龍格的庫塔公式121321123123(,)(,)22(,)(4)6141,666kkkkkkkkKf xyhhKf xyKKf xh yhKhyyKKK即三階龍格三階龍格- -庫塔公式庫塔公式12132113123(,)(,)3322(,)33(3)413,0,44kkkkkkkkKf xyhhKf xyKKf xh yhKhyyKK即4-1233()pqO h如果取任意兩點，如和終點的斜率，則可得到另一種局部截斷誤差為的三階龍格 庫塔公式四階龍格四階龍格- -庫塔公式

6、庫塔公式151,12-()kkpOqhxx:若在區間上仍取三個點 （，），但在中點處又校正，則可望得到局部截斷四階經典龍格 庫塔公誤差為的計式算公式，121324311234/(,)(,)22(,)22(,)(22)6kkkkkkkkkkKf xyhhKf xyKhhKf xyKKf xh yhKhyyKKKK即(RK4)多校正一次構造一般的R級Runge-Kutta方法12221111,1111122(,)(,)()(,)()kkkkRkRkRR RRkkRRKf xyKf xp h yq hKRKKf xp h yq hKqhKyyhKKK,Tayloriiisp q其中等均為待定的參數,

7、 根據展開并由期望的階數確定, 且一般不唯一.Runge-kutta方法的階與級的關系方法的階與級的關系 在Runge-kutta計算格式(RK)中.計算函數值 f 的次數 R 稱為級級, 級數與階數是不同的, 可以證明R級Runge-kutta公式的最高階數是 R . 通常所說的 R 級 m 階Runge-kutta公式指要計算 R個f(x,y)的函數值, 且對應的計算公式是 m 階的.Butcher得出如下Runge-kutta方法的級數級數R與階數階數m的對應關系:因此, 通常使用4級4階Runge-kutta公式(RK4).()fR每步計算 的個數級數 2 3 4 5 6 7 R8 2 3 4 4 5 6 R-2 可達到的最高精度階數 應當注意，高階應當注意，高階R-K公式的推導是基于初公式的推導是基于初值問題的解值問題的解y(x)的的Taylor展開，因而要求展開，因而要求y(x)具具有較好的光滑性。有較好的