1、函數(shù)對稱性、周期性和奇偶性 關嶺民中數(shù)學組(一)、同一函數(shù)的函數(shù)的奇偶性與對稱性：（奇偶性是一種特殊的對稱性）1、奇偶性:（1） 奇函數(shù)關于（0，0）對稱，奇函數(shù)有關系式（2）偶函數(shù)關于y（即x=0）軸對稱，偶函數(shù)有關系式 2、奇偶性的拓展 : 同一函數(shù)的對稱性 （1）函數(shù)的軸對稱：函數(shù)關于對稱也可以寫成 或 若寫成：，則函數(shù)關于直線 對稱 證明：設點在上，通過可知，即點上，而點與點關于x=a對稱。得證。說明：關于對稱要求橫坐標之和為，縱坐標相等。 關于對稱，函數(shù)關于對稱 關于對稱，函數(shù)關于對稱 關于對稱，函數(shù)關于對稱（2）函數(shù)的點對稱：函數(shù)關于點對稱 或 若寫成：，函數(shù)關于點 對稱 證明：設

2、點在上，即，通過可知，所以，所以點也在上，而點與關于對稱得證。 說明: 關于點對稱要求橫坐標之和為,縱坐標之和為,如 之和為 。（3）函數(shù)關于點對稱:假設函數(shù)關于對稱，即關于任一個值，都有兩個y值與其對應，顯然這不符合函數(shù)的定義，故函數(shù)自身不可能關于對稱。但在曲線c(x,y)=0，則有可能會出現(xiàn)關于對稱，比如圓它會關于y=0對稱。（4）復合函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)定理：性質(zhì)1、復數(shù)函數(shù)yfg(x)為偶函數(shù)，則fg(x)fg(x)。復合函數(shù)yfg(x)為奇函數(shù)，則fg(x)fg(x)。性質(zhì)2、復合函數(shù)yf(xa)為偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；復合函數(shù)yf(xa)為奇函數(shù)，則f(xa)f(ax)。性

3、質(zhì)3、復合函數(shù)yf(xa)為偶函數(shù)，則yf(x)關于直線xa軸對稱。復合函數(shù)yf(xa)為奇函數(shù)，則yf(x)關于點(a,0)中心對稱?？偨Y(jié)：x的系數(shù)一個為1，一個為-1，相加除以2，可得對稱軸方程總結(jié)：x的系數(shù)一個為1，一個為-1，f(x)整理成兩邊，其中一個的系數(shù)是為1，另一個為-1，存在對稱中心?？偨Y(jié)：x的系數(shù)同為為1，具有周期性。(二)、兩個函數(shù)的圖象對稱性1、與關于X軸對稱。證明：設上任一點為 則，所以經(jīng)過點與關于X軸對稱，與關于X軸對稱.注：換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。2、與關于Y軸對稱。證明：設上任一點為則，所以經(jīng)過點 與關于Y軸對稱，與關于Y軸對稱。注：因為代入得所以經(jīng)

4、過點換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。 3、與關于直線 對稱。證明：設上任一點為則，所以經(jīng)過點與關于軸對稱，與關于直線 對稱。注：換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。4、與關于直線對稱。證明：設上任一點為則，所以經(jīng)過點與關于軸對稱，與關于直線對稱.注：換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。5、關于點(a,b)對稱。證明：設上任一點為則，所以經(jīng)過點與關于點(a,b)對稱，關于點(a,b)對稱.注：換種說法：與若滿足，即它們關于點(a,b)對稱。6、與關于直線對稱。證明：設上任一點為則，所以經(jīng)過點,經(jīng)過點,與關于直線對稱，與關于直線對稱。三、總規(guī)律：定義在上的函數(shù)，在對稱性、周期性和奇偶性這三條性

5、質(zhì)中，只要有兩條存在，則第三條一定存在。一、 同一函數(shù)的周期性、對稱性問題(即函數(shù)自身)(一)、函數(shù)的周期性：對于函數(shù)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期。1、 周期性： （1）函數(shù)滿足如下關系式，則 A、 B、 C、或（等式右邊加負號亦成立） D、其他情形 （2）函數(shù)滿足且，則可推出即可以得到的周期為2(b-a)，即可以得到“如果函數(shù)在定義域內(nèi)關于垂直于x軸兩條直線對稱，則函數(shù)一定是周期函數(shù)” （3）如果奇函數(shù)滿足則可以推出其

6、周期是2T，且可以推出對稱軸為，根據(jù)可以找出其對稱中心為（以上） 如果偶函數(shù)滿足則亦可以推出周期是2T，且可以推出對稱中心為，根據(jù)可以推出對稱軸為 （以上）（4）如果奇函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以4T為周期的周期性函數(shù)。如果偶函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以2T為周期的周期性函數(shù)。定理1：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期. 定理2：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期.定理3：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期.定理4：若函數(shù)f(x)的圖像關于直線x=a和x=b都對稱，則f(x)是周期函數(shù)，2（b-a）是它的一個周期（未必是最小正周期）。定理5：若函數(shù)f(x)的圖像關于點（a,c）和(b,c)都成中心對稱，則f(x)是周期函數(shù)，2（b-a）是它的一個周期（未必是最小正周期）。定理6：若函數(shù)f(x)關于點（a,c）和x=b都對稱，則f(x)是周期，4（b-a）是它的一個周期（未必是最小正周期）。定理7：若函數(shù)f(x)滿足f(x-a)=f(x+a)(a0),則f(x)是周期函數(shù)，2a是它的一個周期。定理8：若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=-