1、摘要微積分的創(chuàng)立是數(shù)學史上一個具有劃時代意義的創(chuàng)舉，也是人類文明的一個偉大成果. 定積分概念的發(fā)生過程告訴我們，概念的形成經(jīng)歷了漫長及眾多數(shù)學家的努力，閃現(xiàn)出函數(shù)思想、極限思想、無窮小方法、化歸方法等許多重要的數(shù)學思想方法，同時概念的結(jié)構(gòu)也存在著不同層次，呈現(xiàn)出立體結(jié)構(gòu)本文簡略的論述了定積分的概念、發(fā)展以及它在數(shù)學、物理學、初等數(shù)學等學科的應用做了重點研究。討論了定積分在計算平面圖形面積、立體圖形體積以及物理方面的應用，尤其在初等數(shù)學方面，定積分的應用進一步得到推廣，如求數(shù)列極限、證明不等式、等式等。幷利用一些例題對這些問題做除了詳細解析。關鍵詞：定積分；數(shù)學；物理；初等數(shù)學目錄內(nèi)容摘要關鍵詞

2、第一章 定積分的概念 1.1定積分的定義 1.2定積分的幾何意義 1.3定積分的性質(zhì)第二章 定積分在數(shù)學中的應用2.1計算平面曲線的弧長2.2計算圖形的面積2.3計算立體圖形的體積第三章 定積分在物理學中的應用3.1定積分在力學中的應用3.2定積分在電學中的應用第四章 定積分在初等數(shù)學中的應用4.1利用定積分證明不等式4.2利用定積分證明等式4.3利用定積分證明數(shù)列的極限參考文獻結(jié)束語第一章 定積分的概念1.1定積分的定義定義1 設閉區(qū)間a，b上有n-1個點依次為 a=x0x1<x2<<xn-1<xn=b，它們把a，b分成n個小區(qū)間i=xi-1，xi，i=1,2，n。這

3、些分點或這些閉子空間構(gòu)成對a，b的一個分割，記為T=x0，x1，xn或1，2，n。小區(qū)間i的長度為xi-xi-1，并記T=xi稱為分割T的模.定義2 設f是定義在a,b上的一個函數(shù).對于a,b的一個分割T=1,2,n,任取點iI,i=1,2,n,并作和式。稱此和式為函數(shù)f在a，b上的一個積分和，也稱黎曼和。定義3 設f是定義在a，b上的一個函數(shù)，J是一個確定的實數(shù)。若對任給的實數(shù)，總存在某一個正數(shù)，使得對a，b的任何分割T，以及在其上任意選取的點集，只要T，就有,則稱函數(shù)f在區(qū)間a，b上可積或黎曼可積；數(shù)J稱為f在a，b上的定積分或黎曼積分，記作J=。其中，f稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量，a，

4、b稱為積分區(qū)間，a、b分別稱為這個定積分的下限和上限。說明（1）用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點；求和：；取極限：1.2定積分的幾何意義 如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積去負號 分析：一般的，設被積函數(shù)，若在上可取負值考察和式不妨設于是和式即為陰影的面積陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）1.3定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1 若f在a,b上可積，k為常數(shù)，則kf在a,b上可積，且。 性質(zhì)2 若f,g都在

5、a,b上可積，則f±g在a,b上也可積，且。 性質(zhì)1與性質(zhì)2是定積分的線性性質(zhì)，合起來即為，其中為常數(shù)。 性質(zhì)3 若f,g都在a,b上可積，則fg在a,b上也可積。 在一般情形下。注意，在一般情形下。性質(zhì)4 f在a,b上可積的充要條件是：任給c（a,b），f在a,c和c,b上都可積。且。規(guī)定1 當a=b時，令；規(guī)定2 當a>b時，令。性質(zhì)5 設f為a,b上的可積函數(shù)，若f(x)0,xa,b,則。推論 若f與g為a,b上的可積函數(shù)，且f(x)g(x).xa,b,則有。性質(zhì)6 若f在a,b上可積，則|f|在a,b上也可積，且 |.第二章定積分在數(shù)學中的應用2.1計算平面曲線的弧長 定義1設曲線C有參數(shù)方程給出，若C為一光滑曲線，則C是可求長的，且弧長為。 （1） 若曲線C有直角坐標表示，把它看作參數(shù)方程時，即為. 所以當在上連續(xù)可微時，此曲線即為一光滑曲線，這是弧長公式為. (2)若曲線C