1、第六章 多元函數積分學一重積分例1：將用兩種積分次序表為二次積分。（1）：由曲線所圍；（2）例2：交換二次積分的順序。例3：計算二次積分例4：計算二次積分例5：計算二重積分，其中是由直線以及曲線所圍成的平面區域。（答案：）例6：計算二重積分，其中是由直線和軸所圍成的平面區域。（答案：）例7：設在上連續，且求 （答案：）例8：設閉區域：為上的連續函數，且求 （答案：）例9：計算二重積分，其中由圓所圍成的平面區域。（答案：）例10：設是平面上以為頂點的三角形區域，是在第一象限部分，則等于例11：計算其中。（答案：）例12：計算二重積分，其中由所圍成的平面區域，是上的連續函數。（答案：）例13：證明

2、例14：設在上連續，證明例14：設為上的單調增加的連續函數，證明例15：計算三重積分，其中是由所圍成。例16：計算三重積分，其中是由曲線繞軸旋轉一周而成的曲面與平面所圍的立體。（答案：）例17：計算三重積分，其中是由及所圍成的區域。（答案：）例18：計算三重積分，其中是以平面及錐面為邊界的區域。（答案：）例19：計算三重積分，其中（答案：）例20：設有一半徑為的球體，是此球的表面上的一個定點，球體上任一點的密度與該點到距離的平方成正比（比例系數），求球體的重心位置。（答案：）例21：設函數連續且恒大于，其中，（1） 討論在區間內的單調性；（2） 證明當時，二曲線積分例1：計算，由圓周，直線及軸

3、在第一象限中所圍圖形的邊界。（答案：）例2：計算，其中為曲線（答案：）例3：計算，其中為由點沿曲線到點，再沿直線到點的路徑。（答案：）例4：計算下列曲線積分其中為連接點與點的線段之下方的任意路線，且該路線與線段所圍圖形面積為.（答案：）例5：計算，其中是以點為中心，為半徑的圓周（），方向為逆時針方向。（答案：）例6：計算曲線積分 ，其中為正方形邊界 的正向。（答案：）例7：計算，其中積分路徑為過三點的圓。（答案：）例8：設函數在平面上具有一階連續偏導數，曲線積分與路徑無關，并且對任意恒有求（答案：）例9： 計算曲線積分 ，其中是沿由的曲線段。（答案：）例10：設函數具有連續導數，在圍繞原點的任

4、意分段光滑簡單閉曲線上，曲線積分 的值恒為同一常數。（1） 證明：對右半平面內的任意分段光滑簡單閉曲線，有；（2） 求函數的表達式。（答案：）例11：計算曲線積分，其中是曲線，從軸正向往軸負向看的方向是順時針的。（答案：）三曲面積分例1：計算，其中為平面被柱面所截下的部分。例2：設為橢球面的上半部分，點為在點處的切平面，為點到平面的距離，求（答案：）例3：設有一高度為（為時間）的雪堆在融化過程中，其側面滿足方程（設長度單位為厘米，時間單位為小時），已知體積減少的速率與側面積成正比（比例系數），問高度為（厘米）的雪堆全部融化需多少小時？（答案：小時）例4：計算曲面積分，其中是由曲面及兩平面所圍的立體表面的外側。（答案：）例5：計算曲面積分其中是曲面的上側。（答案：）例6：計算曲面積分 ，其中為下半球面的上側，為大于零的常數。（答案：）例7：設向量，曲面為上半球面被錐面所截得部