1、分段函數(shù)在分段點(diǎn)處求導(dǎo)方法初探摘要：本文利用微分中值定理對(duì)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了討論，并給出了一種求導(dǎo)方法。關(guān)鍵詞：分段函數(shù)，分段點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)，微分中值定理。一、問(wèn)題的提出在微積分教材及很多高等數(shù)學(xué)參考書(shū)中，分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般按下面方法來(lái)求：（1）在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)用導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則求導(dǎo)。（2） 在分段點(diǎn)處按導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)，即求分段點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù)。而分段點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等。但是，我在教學(xué)過(guò)程中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)：一些學(xué)生在 求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，不按導(dǎo)數(shù)定義去求左、右導(dǎo)數(shù)，而是利用導(dǎo)函數(shù)在分段點(diǎn)處的左、右極限得出左、右導(dǎo)數(shù)。例如：設(shè)函數(shù)： 討論在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性時(shí)，

2、一些學(xué)生這樣來(lái)求左、右導(dǎo)數(shù)：而這樣做得結(jié)果與按導(dǎo)數(shù)定義求左、右導(dǎo)數(shù)所得結(jié)果相同，那么這樣做對(duì)不對(duì)呢？下面我們來(lái)討論這一問(wèn)題。二、問(wèn)題探討定理：設(shè)分段函數(shù)其中，均為初等函數(shù)，在a點(diǎn)右鄰域可導(dǎo)，在點(diǎn)左鄰域可導(dǎo)，在處連續(xù)，若極限 ，存在，則有：, 證：因?yàn)樵谔庍B續(xù)，則當(dāng)時(shí)，因在點(diǎn)右鄰域可導(dǎo)，故在內(nèi)可導(dǎo)，又為初等函數(shù)，故在上連續(xù)，從而在上滿足微分中值定理的條件，由微分中值定理有：故由導(dǎo)數(shù)定義有：又因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，有從而可得：當(dāng)時(shí)，雖然在處無(wú)定義，但因?yàn)樵谔庍B續(xù)，則可以補(bǔ)充定義，令：又為初等函數(shù)，故在上連續(xù)，又在點(diǎn)的左鄰域可導(dǎo)，故在上可導(dǎo)，從而由微分中值定理可得： 完全類(lèi)似地可推得： 綜上所述，我們有：

3、關(guān)于該定理，我們進(jìn)一步說(shuō)明以下幾點(diǎn)：1、在滿足該定理?xiàng)l件之下，可利用該定理結(jié)論求出與，然后比較與是否相等，從而得出在處是否可導(dǎo)的結(jié)論。這樣，就避免了用導(dǎo)數(shù)定義求左、右導(dǎo)數(shù)的麻煩。2、該定理要求在處連續(xù)。事實(shí)上，若在處不連續(xù)，由連續(xù)與可導(dǎo)關(guān)系知，不連續(xù)一定不可導(dǎo)，由此可得出在處不可導(dǎo)的結(jié)論。因此應(yīng)用該定理結(jié)論時(shí)，應(yīng)判斷在處是否連續(xù)。否則，即使有，也不一定在處可導(dǎo)。例： 雖然有，但在處不可導(dǎo)，因?yàn)樵谔幉贿B續(xù)。3、若與極限至少有一個(gè)不存在時(shí)，在處可能可導(dǎo)，也可能不可導(dǎo)，需用導(dǎo)數(shù)定義判斷。例如函數(shù)： 討論在處的可導(dǎo)性時(shí)，由連續(xù)性定義可知在處連續(xù)，而極限不存在，并不意味著不存在，此時(shí)用導(dǎo)數(shù)定義求：則在處可導(dǎo)。4、該定理給出了分段函數(shù)只有一個(gè)分段點(diǎn)的情況，對(duì)于分段函數(shù)有多個(gè)分段點(diǎn)的情況，可完全類(lèi)似得出相應(yīng)的結(jié)論。三、應(yīng)用舉例例1、討論函數(shù) 在處的可導(dǎo)性。解： 故 從而在處連續(xù)由定理可知： 從而有：所以在處可導(dǎo)。例2：討論函數(shù) 在處的可導(dǎo)性。解：由于 則，故在處連續(xù)，由定理可知：故在處可導(dǎo)。例函數(shù)，確定的值，使在處可導(dǎo)。解：因?yàn)樵谔幙蓪?dǎo)，則在處連續(xù)，故有： 從而有：，即