1、2.1.1 正弦定理正弦定理1.在ABC中，三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c：(1)角的關(guān)系為_(kāi)；(2)邊的關(guān)系為_(kāi)；(3)邊角關(guān)系為_(kāi).ABCabc，abc大角對(duì)大邊2.在RtABC中的有關(guān)定理或結(jié)論在RtABC中，若C90，則有：(1)AB ，0A90，0B90；(2)a2b2c2(勾股定理)；90ccc一般三角形是否仍成立？一般三角形是否仍成立？ACBDab在銳角三角形中：作在銳角三角形中：作AB邊上的高邊上的高CDsinCDaB sinCDbA sinsinaBbA 所以所以即即sinsinabAB 同理同理sinsinacAC ACBDab在鈍角三角形中：作在鈍角三角形中：作A

2、B邊上的高邊上的高CDsinCDAb sinsin(B)sinCDBDBCa 即即sinsinabAB sinsinCDaBbA所以所以sinsinsinabcABC外接圓法外接圓法ABCDBD 作作ABC外接圓的直徑外接圓的直徑CDabc2sinsin2bbbRbBDR 同理有同理有2,2sinsinacRRAC 即即2sinsinsinabcRABC 面積法面積法.Oyx解解:如圖建立直角如圖建立直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系.過(guò)過(guò)C點(diǎn)作點(diǎn)作CD AB于于D.D則點(diǎn)則點(diǎn)C的坐標(biāo)的坐標(biāo)(bcosA,bsinA)(bcosA,bsinA)于是于是ABC的面積的面積 S=Abcsin21同樣可得同樣可得S=B

3、acsin21ABCbacCabsin211sin2bcA 1sin2acB 1sin2abC同除以同除以 ， 12abc得得sinsinsinABCabcsinsinsinabcABC即即【例 1】已知在ABC 中，c10，A45，C30，求 a，b 和 B.c10，A45，C30，B180(AC)105.由asinAcsinC，得 acsinAsinC10sin45sin3010 2.由bsinBcsinC，得 bcsinBsinC10sin105sin3020sin75206 245 65 2.解解 已知兩角及一邊解三角形已知兩角及一邊解三角形 正弦定理正弦定理 探究一探究一 正弦定理在

4、解三角形中的應(yīng)用正弦定理在解三角形中的應(yīng)用解析 B 角最小，b 邊為最短邊， 由正弦定理csinCbsinB， 得 bcsinBsinCsin45sin6063， 最短邊長(zhǎng)為63. 已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形【例【例2 2】已知下列各三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角，解】已知下列各三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角，解 三角形三角形. . (1)b10，c5 6，C60；解 b10，c5 6 sinBbsinCc10sin605 622.又bcBC即 B45，A180(BC)75.absinAsinB10sin75sin45106 24225( 31)一個(gè)解一個(gè)解(2)a2 3

5、，b6，A30；解解a2 3， b6 A30 sinBbsinAa6sin302 332.又 ab B60或 120，當(dāng) B60時(shí)，C90，casinCsinA2 3sin90sin304 3，當(dāng) B120時(shí)，C30A.兩個(gè)解兩個(gè)解(3)a10，b20，A80.無(wú)解無(wú)解解a10，b20，A80Sin BbsinAa20sin802sin80110oo本題無(wú)解正弦定理可實(shí)現(xiàn)三角形中邊角的相互轉(zhuǎn)化：正弦定理可實(shí)現(xiàn)三角形中邊角的相互轉(zhuǎn)化：(1)(1)已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角(2)(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和兩角已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一

6、邊和兩角【例 3】在ABC 中，sinAcosA22，AC2，AB3，求ABC 的面積sin Acos A 2cos(A45)22，cos(A45)12又 0A180，A4560，A105.sin Asin105sin(4560)sin45cos60cos45sin602 64.SABC12ACABsin A12232 6434( 2 6)解解111sinsinsin222SabCacBbcA三角形面積公式：三角形面積公式：探究二探究二 用正弦定理求有關(guān)三角形的面積問(wèn)題用正弦定理求有關(guān)三角形的面積問(wèn)題【變式 2】已知三角形面積為14，外接圓面積為，則這個(gè)三角形的三邊之積為()A 1B2C12D

7、4設(shè)三角形外接圓半徑為 R，則由R2，R1，由 S12ab sin Cabc4Rabc414，abc1.解：解：【例 4】在ABC 中，若 sin A2sin B cos C，且 sin2Asin2Bsin2C，試判斷ABC 的形狀在ABC 中，根據(jù)正弦定理：asin Absin Bcsin C2R(R 為ABC 外接圓的半徑)sin2Asin2Bsin2C，(a2R)2(b2R)2(c2R)2，即 a2b2c2. A90，BC90.由 sin A2sin B cos C，得 sin 902sin B cos(90B)，sin2B12.B 是銳角，sin B22，B45，C45. ABC 是等腰直角三角形解解探究三探究三 用正弦定理判斷三角形的形狀用正弦定理判斷三角形的形狀【變式】在ABC中，若acosAbcosBccosC，則ABC為_(kāi)三角形由正弦定理，得 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，ac