1、定義 云 南 大 學學 報 （自 然科 學 版 ），（）：擬序下混合單調算子的廣義耦合不動點定理?姜鑫，薛西鋒（西北大學 數學學院 ，陜西 西安）摘要：提出了擬序下混合單調算子及其廣義耦合不動點的概念利用序方法證明了擬序下非連續混合單調算子的最小廣義耦合不動點和最大廣義耦合不動點的存在性，進而推廣了已知結論 ，使其適用范圍更廣 關鍵詞 ：擬序關系 ；擬序拓撲空間 ；混合單調算子 ；廣義耦合不動點中圖分類號 ：文獻標志碼 ：文章編號 ：（）自 年和在文獻中提出混合單調算子及其耦合不動點的概念以來，混合單調算子及其耦合不動點理論被廣泛地應用于求解微分方程 、積分方程等領域現有混合單調算子的耦合不動

2、點定理中的序集都是半序集，然而，在某些領域中 ，特別是在經濟均衡理論中的序關系并不滿足半序關系中的反對稱性，這種序關系在文獻中被稱為擬序關系，而在文獻 中被稱為不完全偏好關系 ，為方便起見 ，本文將這種序關系統稱為擬序關系為使非線性泛函分析中半序下的混合單調算子的耦合不動點定理應用于更廣泛的領域，本文對半序下的混合單調算子的耦合不動點定理進行了推廣 ，得到了擬序下非連續混合單調算子的最小廣義耦合不動點和最大廣義耦合不動點的存在性定理定義 設 為非空集合 ，若在 中的某些元素對，之間可以定義一種二元關系，記為 ?，具有下列性質 ：（）對任給 ，都有 ?；（）如果 ?，?，則 ?，則稱 ?為擬序關

3、系 ，稱 為擬序集 稱 ?為 偏好于 顯然，半序關系一定是擬序關系，擬序關系未必是半序關系設 是擬序集 ，若 ?與 ?同時成立 ，則稱 無差別于 ，記作 ；若 ?，且 ?，則稱 嚴格偏好于，記作 ?，其中 ?是指不是無差別關系；設 ?，若對任給 ， ，關系 ? 與 ? 至少有一個成立 ，則稱 為 中的全擬序子集 設 是擬序集 ，是 的非空子集 ，根據定義 容易證明 中的無差別關系 滿足反身性 、對稱性和傳遞性 ，因 而關 系 是 、也 是 中 的等 價 關系令 ，顯 然，是 中的 等 價類，為相對于等價關系 的商集 在 中定義序關系如下 ：， ，若存在 ， 滿足 ? ，則記 ? 定義 設，則由

4、 ，的定義知 ，對任意 ， 都有 ? 事實上 ，對 ， ，若 ?引理 由 中擬序關系 ?在商集 中誘導出的序關系 ? 是一個半序 ，即 在序關系 ?下是半序集 引理 （）是 中的全擬序子集 設 ： 為自然映射 ，是 中的全序子集，則 ?收稿日期 ：基金項目 ：陜西省自然科學專項基金（）作者簡介 ：姜鑫（），男，陜西人 ，碩士生 ，主要從事非線性泛函分析方面的研究：通信作者 ：薛西鋒 （），男，陜西人 ，博士 ，教授 ，碩士生導師 ，主要從事非線性分析方面的研究：第 期姜鑫等：擬序下混合單調算子的廣義耦合不動點定理和 ，只要定義 ?設 為擬序集 ，又是 空間，若對 中任意 個序列 ，就有 ，則稱

5、 是序列相容的擬序拓撲空間 （，），?，? ?定義 設 為擬序集 ，?，： 是一個算子 ，若存在 ，使 ，則稱 為 的廣義不動點 顯然，在半序意義下的不動點與廣義不動點是等價的主要結果設 是擬序空間 ，其擬序用 ? 表示 ，×表示乘積空間 定義 設 ? ，： × （）如果 ， ， ?，?蘊含著 （，）?（，），則稱 是混合單調算子；（）如果（? ，?） ×滿足 ?（? ，?），?（? ，? ），則稱（?，?）是 的廣義耦合不動點 定義 設 是序列相容的擬序拓撲空間，是 的一個子集 （）如果對 的每一個可數全擬序子集，都存在的子列 及 ?，則稱?是 中的按擬序擬列緊

6、集 ，使得 （）如果對 的每一個全擬序子集，都存在的至多可數子集 在中稠密 （即對任給 ，都存在 ?，使得 ），則稱 是 中按擬序擬可分集引理 設 是序列相容的擬序拓撲空間，其擬序用 ?表示 ，在乘積空間 ×中定義序關系如下：如果 （，），（，） ×，則記 （，）?（，）則 ×下也是序列相容，?在 ?的擬序拓撲空間 證明因為 是序列相容的擬序拓撲空間，所以 ×是 空間，其拓撲是 和 的乘積拓撲，下證 ×在 ?下是擬序空間 ，?，故（，）?對任意 （，） ×（，）；對任意 （，），（，），（，有 ， ，則 ?（，），（，）?） 

7、5;（，），有 ，則 ，（，）? ，故（，）?（，）因此 ， ×在 ?下是擬序空間 ，下證 ×滿足序列相容性 ? ×任取序列 ，）， ，），滿足 ，（?， ，其中 （，），（，）則有 ，由拓撲關系可知? ?，再由 的序列相容性可得 ? ，? ， ， ， ，故 （，）?（，），故 ×在 ?下是序列相容的擬序拓撲空間證畢 在不致引起混淆的情況下，本文一律用 ?來記 和 ×中的擬序關系 引理 設 是序列相容的擬序拓撲空間，是 中的按擬序擬可分的擬列緊集，則 ×是 ×中的按擬序擬可分的擬列緊集證明先證 ×是按擬序擬可分的任

8、取 ×中的全擬序子集 ×?×，對任意的 （，）或者 （，）?，），（，） ×（，），即 ，則有 （，）? ， ，有（?或者 ?，從而 ，是 中的全擬序子集 ，由定義 即得，存在 ，的至多可數子集? ，分別在，中稠密 下證 ×在 ×中稠密 任取 （，） ×，有 ， ，使得， ） （，），故×在 ×中則存在 ? ， ，則（×顯然是可數的，則 ×是 ×中按擬序擬可分的 稠密 ，且下證 ×是 ×中的按擬序擬列緊的任取 ×中的可數全擬序子集×，同

9、理有，是中的全擬序子集 ，則由定義 即得，存在 ?，? 及， ，使得 ，×× ，）（，），故 是 中的按擬序擬列緊的證畢 ，則（，是 中的序列閉集 ，： × 是一個混合單調算子定理 設 是序列相容的擬序拓撲空間，設：云南大學學報 （自然科學版 ） ：第 卷（）是按擬序擬可分的擬列緊集；（）存在 ， ，使得 ?，），（，）? （則 在 ×中必有廣義耦合不動點證明××令算子 ： 為：（，） （，），（，）其，中 ， 顯然 ，由 的混合單調性可知 是增算子 對 ，?（， ），（ ， ）? （ ，）（ ， ），即 在?× ，

10、5;中的廣義耦合不動點與×，下證 在 中存在廣義不動點 在 中的廣義不動點是等價的令 ×，）?（，），（，）（，） （，）?（，）則，由條件 （）可知 ，（? 由引理 可知 （，），從而 ××是序列相容的擬序拓撲空間，再由引理 可知 ，由 中的擬? 是半序關系 ，從而 在 ?序關系 ?在商集 中誘導出的序關系下是半序集 設 是 中任意給定的全序子集，下證 在 中有上界 因為 是 中的全序子集 ，則由引理 可知 （）是 中的全擬序子集 ，再由條件 （）和引理 ××可知 ，且 （）?是按擬序擬可分的，則存在 （）的可數子集 （，）在 （）

11、中稠密 令 ，ì?，（）í? ， ，?，?由于 （），并且（）是全擬序子集 ，故諸 都有定義 ，? ? ? ? ? （）由條件 （）和引理 可知 ， ×是按擬序擬列緊的 ，則必然存在 ? 及 ? （? ，? ） ×，使得?（）任取 的任意性可得時，有 ，再由 ，當 ，再令 ? ，由定義 知 ?，（）? ? ×因為 是閉集 ，從而 也是閉集 ，故 ×? （）?，則 由（）式可得? 又? ，再由 （）及定義 可得 ? ，故 ?（），存在 ? ? 任取 （，） ，使，再由 （）式和定義 以及 的任意性可得又?（）?，? （）?下證 ，有 （

12、），由（）式可知 ? ，再由定義 即為 在 中的上界 任取?，故?為 在 中的上界 根據 引理可知 必有極大元 可得設 是 的極大元 ，任取 若?（ ， ） ，有 ?，即 ），即 ， ?，由 是增算子可得 ，這與是? （ ，從而?極大元矛盾 ，故 ，即（ ， ）（ ， ），（， ）是 的廣義不動點，故（ ， ）是 的廣?義耦合不動點 證畢定理 設 是序列相容的擬序拓撲空間是 中的序區間 ，：， ， ? ? × 是一個混合單調算子，設：（）是按擬序擬可分的擬列緊集；（）?，），（，）? （則在×（ ， ）和最大廣義耦合不動點（ ， ），即對 的任意廣義耦中必有最小廣義耦合不動

13、點?合不動點 （，），必有（ ，）?（，）? （ ，）?××證明由定理 證明可知 ，在 在 中的最小廣義耦合不動點和最大廣義耦合不動點與中的最小廣義不動點和最大廣義不動點是等價的又 ×（，） ×， （，） ×，×（，）?（，） （，）?（，） （，），（，），? 第 期姜鑫等：擬序下混合單調算子的廣義耦合不動點定理記 × ××中存在最小廣義不動點和最（，），（，），故 ，?下證 在 大廣義不動點 ××任取序列由引理 和引理 知， 是序列相容的擬序拓撲空間， 是按擬序擬可分的擬列緊集?，

14、有 ?，再由 的序列相容性可得?，即 ，故 是 中的閉集 ， ?從而 ××中的閉集 ，故由定理 可知 在 ×中必有廣義不動點，令 ，是 ，則 ? ，再令，?，?，?，?由條件 （）可知 ，（，）?（，），（，），（，），（，）?（，），即 ，? ，故 ? 把 中的包含關系定義為序關系，即若 ，則記 ， ，且 ?，不難證明 在 ?下是半序空間 又 等價于 ，? ，且，? ，即 ，? ，即 ， ，故 ， 下證 在 ?下有極小元 ?等價于 任取 全序子集 ， （ 是指標集 ），令 ， ，顯然 ，是 ×，又，是按擬序擬可分的，則存中的全擬序子集 ，再由 的定義可

15、知 ，?，分別在 ，中稠密 ，令在?，ì? ，í ， ? ，?，? ，ì ，?í，?，? ，?，?（）（）由，的按擬序擬列緊性知，存在子列 ? ，?利用定理 同樣的證明方法可得 是 的上界 ， ?，? ， ?且由 的定義有以及 ? ，?是 的下界 ，即 ? ， ×，使得 （）?，?（）? ? ，?，則 ，從而任取 ，由 的定義知 ，又?由 ×的序列相容性可得? ，即? ?再?（）? ，? ? 由（）和（）式可得 ? ，? ，再由 （）式可得 ? ，? 是， 的下界 由 引理知 ，有極小元 設? ，? （? （ ，），? （? ，? ）是 的極小元 ，下證 ? ?，? ? 由 的定義? ?知?，?，? ， （）?假設 ?，?，由（）式和 的增性可得?），（）? （）? ? （，且 ，再由 的增性可得任取 ，有 ? （）?即 ? ? ? ? ? ?