1、12余弦定理余弦定理情情 景景 導導 入入 上一節我們學習正弦定理上一節我們學習正弦定理，可以解決三角形中的可以解決三角形中的兩類問題：已知兩角及一邊兩類問題：已知兩角及一邊，求其余邊角；已知兩邊求其余邊角；已知兩邊和其中一邊的對角和其中一邊的對角，求其余邊角。那么在三角形中其求其余邊角。那么在三角形中其他情況下和由三邊能否求其余邊角？由兩邊和夾角呢？他情況下和由三邊能否求其余邊角？由兩邊和夾角呢？課課 標標 點點 擊擊1掌握余弦定理掌握余弦定理，了解余弦定理的證明方法；了解余弦定理的證明方法；2能利用余弦定理解三角形及測量等有關幾何問題。能利用余弦定理解三角形及測量等有關幾何問題。要要 點點

2、 導導 航航知識點知識點1余弦定理證明余弦定理證明 教材中利用幾何法通過構造直角三角形，利用勾股定理教材中利用幾何法通過構造直角三角形，利用勾股定理證明了余弦定理。對定理的證明還可通過向量法、解析法證明了余弦定理。對定理的證明還可通過向量法、解析法等。等。知識點知識點2余弦定理及其應用余弦定理及其應用內容內容三角形任何一邊的平方等于其他兩邊三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和，減去這兩邊與它們夾角的平方的和，減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍余弦的積的兩倍數學表達式數學表達式第一種形式：第一種形式：a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C第

3、二種形式第二種形式(變式變式)：cosA，cosB，cosC用途用途1.解決兩類解三角形問題：解決兩類解三角形問題：(1)已知三已知三邊，求三角邊，求三角(2)已知兩邊及其夾角，已知兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩角求第三邊和其他兩角. 2.判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀知識點知識點3在解三角形問題時，需掌握的三角關系式在解三角形問題時，需掌握的三角關系式典典 例例 解解 析析題型題型1利用余弦定理解三角形利用余弦定理解三角形例例1在在ABC中，已知中，已知a2，b62，c4，求，求A，B，C.分析分析：已知三邊已知三邊，可用余弦定理直接求角可用余弦定理直接求角，先求出兩個先求出兩個角后角后，

4、再用內角和求第三個角。使用余弦定理求角時再用內角和求第三個角。使用余弦定理求角時，一般在判斷三條邊的大小后一般在判斷三條邊的大小后，可先求最大角可先求最大角，也可先求也可先求最小角最小角，如果最大角小于如果最大角小于60，最小角大于最小角大于60，可知可知三角形無解。三角形無解。bc，C為銳角為銳角，C45.于是于是A180(BC)30.A30，B105，C45.名師點評名師點評：(1)已知三角形三邊求角時已知三角形三邊求角時，可先利用余弦定理求可先利用余弦定理求角角，再用正弦定理求解再用正弦定理求解，在用正弦定理求解時在用正弦定理求解時，要根據邊的要根據邊的大小確定角的大小大小確定角的大小，

5、防止產生增解或漏解防止產生增解或漏解(2)若已知三角形三邊的比例關系若已知三角形三邊的比例關系，常根據比例的性質引入常根據比例的性質引入k，從而轉化為已知三邊解三角形從而轉化為已知三邊解三角形名師點評名師點評：已知兩邊及一角解三角形有以下兩種情況：已知兩邊及一角解三角形有以下兩種情況：(1)若已知角是其中一邊的對角若已知角是其中一邊的對角，有兩種解法：一種方法是有兩種解法：一種方法是利用正弦定理先求角利用正弦定理先求角，再求邊；另一種方法是用余弦定理再求邊；另一種方法是用余弦定理列出關于另一邊的一元二次方程求解列出關于另一邊的一元二次方程求解(2)若已知角是兩邊的夾角若已知角是兩邊的夾角，則直

6、接運用余弦定理求出另外則直接運用余弦定理求出另外一邊一邊，然后根據邊角關系利用正弦定理求解或者直接利用然后根據邊角關系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角余弦定理求角題型題型2利用余弦定理判斷三角形形狀利用余弦定理判斷三角形形狀名師點評名師點評：已知三角形中的邊角關系式已知三角形中的邊角關系式，判判斷三角形的形狀斷三角形的形狀，有兩種思路：其一化邊為有兩種思路：其一化邊為角角，再進行三角恒等變換再進行三角恒等變換，求出三個角之間求出三個角之間的關系式；其二化角為邊的關系式；其二化角為邊，再進行代數恒等再進行代數恒等變換變換，求出三條邊之間的關系式兩種轉化求出三條邊之間的關系式兩種轉化主要應用正弦定理和余弦定理主要應用正弦定理和余弦定理 變式遷移變式遷移3(2013陜西卷陜西卷)設設ABC的內角的內角A，B，C所對的邊分別所對的邊分別為為a，b，c，若若bcosCccosBasinA，則則ABC的形狀的形狀為為(B)A銳角三角形銳角三角形B直角三角形直角三角形C鈍角三角形鈍角三角形 D不確定不確定題型題型3方程思想的應用方程思想的應用分析分析：由已知設由已知