1、12.1全等三角形（劉翔）一、教學目標（一）學習目標1 .認識全等形、全等三角形的概念和全等三角形的對應元素；2 .理解尋找全等三角形中對應元素的方法；3 .掌握三角形全等變換方式和性質，利用全等三角形的性質解決簡單的問題.（二）學習重點全等三角形的概念、性質.（三）學習難點掌握兩個全等三角形的對應邊、對應角的尋找規律，能迅速正確地指出兩個三角形的對應元素.二、教學設計（一）課前設計1 .預習任務能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形；完全重合的兩個三角形叫做全等三角1;一個圖形經過平移、翻折、旋轉后位置變化了,但形狀大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等；把兩個全等三角形重合在一起，重合

2、的頂點叫做對應頂點,重合的邊叫做對應邊,重合的角叫做對應角;全等三角形的對應邊相等，對應角相等.2 .預習自測（1）下列各圖形中，不是全等圖形的是（）【知識點】全等圖形【解題過程】解：A兩個圖形不能重合，不是全等圖形；B、C、D兩個圖形都能重合，是全等圖形.故選A.【思路點撥】能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，由此可判斷各選項.【答案】A.（2）下列四個汽車標志圖案中，不存在全等圖形的標志圖案是（）【知識點】全等圖形【解題過程】解：A、B、D存在全等圖形、C不存在全等圖形.故選C.【思路點撥】能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，由此可判斷各選項.C(3)如圖，ABCzXDEF,/B=60

3、6;,則/E的度數為(A30°B45°C60°D90°【知識點】全等三角形的性質【解題過程】解：:ABCADEF,./B=/E=60°故選：C【思路點撥】全等三角形對應角相等【答案】C(4)如圖，ABCzXDEF,BE=4,AE=1,貝UDE的長是()A5B4C3D2【知識點】全等三角形的性質【解題過程】解：:ABCADEF, .AB=DE;.BE=4,AE=1 .AB=DE=4+1=5故選：A【思路點撥】全等三角形對應邊相等【答案】A(二)課堂設計1知識回顧(1)三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形(2)一個圖形經過平移

4、、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變2問題探究探究一：全等形、全等三角形的概念.舌動回顧舊知，回憶構成三角形的元素學生活動：(1)三個頂點；(2)三條邊；(3)三個內角【設計意圖】通過對舊知識的復習，為新知識的學習作鋪墊.舌動整合舊知，探究全等形、全等三角形的概念.問題1：一位哲人曾經說過：“世界上沒有兩片完全相同的葉子”，但是在我們的周圍卻有著好多形狀、大小完全相同的圖案。你能舉出這樣的例子嗎？學生活動：(1)舉手搶答.(2)學生自己裁剪、粘貼出形狀大小、且能完全重合的三角形、四邊形、正五邊形、等任意圖形自己觀察？問題3:判斷兩個圖形的形狀和大小是否完全相同，可以通過運動把兩個

5、圖形疊在一起，看它們是否重合嗎？AiC追問：這里運動黑個些：DE總結：能夠完全泡白冰整形叫做全等薦WB重合的兩Nq吵標等三角形;一個圖形經過平移B1翻於轉師位置變化了：，形狀、大小都沒少即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等；.D.：【設計意圖】鼓枷學生獨立也解決問題，讓考生初步感受色過動手操作上掌握幾何知識的相關概念，引導學生由觀察得到的感性認識，思考滿足全等圖形條件，尋求解決問題的方法。探究二：全等三角形的對應元素以及尋找全等三角形中對應元素的方法.國舌動大膽猜想，探究新知識觀察這兩個三角板，小組討論，有何發現？記作:ABCzXDEF讀彳:AABC全等于DEF把兩個全等三角形重合在一起，重合的頂

6、點，叫做對應頂點，重合的邊，叫做對應邊，重合的角叫做對應角.老師通過多媒體展示兩圖形的動態重合過程，以及對應點、對應角的位置.【設計意圖】老師綜合學生的疑惑，把有意義的問題歸納，并展示出來.舌動集思廣益，尋找對應元素的方法如圖，已知ABC與4EBD全等，請指出其中的對應角和對應邊.讓學生找出對應角和對應邊.教師活動：你是怎樣想的？總結：找對應元素的常用方法有兩種：（一）從運動角度看1 .翻折法：找到中心線，沿中心線翻折后能相互重合，從而發現對應元素.2 .旋轉法：三角形繞某一點旋轉一定角度能與另一個三角形重合，從而發現對應元素.3 .平移法：沿某一方向平移使兩個三角形重合來找對應元素.（二）根

7、據位置元素來推理1 .全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊.2 .全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角.3 .還可用如下規律確定常見全等三角形的對應邊和對應角：圖例說明有公共邊DCA二公共邊是對應邊，如圖，ABCABAD,AB是公共邊，AB與BA是對應邊有公共角A公共角是對應角，如圖，ABCAADE,/A是公共角，則/BAC與/DAE是對應角對頂角對頂角是對應角，如圖，ABCAADE,/CAB與/EAD是對頂角，故它們是對應角取k（短）（短）邊，最大（小）角與最大（小）角BaZca/C'兩個全等二角形中，一對最長（短）邊是對應邊，一對最大

8、（小）角是對應角，如圖，ABCA'B'C'AC與A'C»最長邊，AB與A'明最短邊，它們分別是對應邊；/8與/8'是最大角，/C與/C是最小角，它們分別是對應角【設計意圖】快速準確找全等三角形對應邊、對應角的方法是精華探究三：全等三角形的性質，利用全等三角形的性質解決簡單的問題.舌動全等三角形的性質問題1:通過前面的探究，我們知道全等三角形有哪些性質？全等三角形的對應邊相等，對應角相等.問題2:利用全等三角形的性質可以解決一些怎樣的問題？1 .根據三角形全等，可以證明線段相等，角相等；2 .根據三角形全等，求邊長或角度例1用同樣粗細，同

9、樣材料的金屬粗線構制兩個全等三角形，如圖所示，ABC和ADEF,已知/B=/E,AC的質量為25千克，求DF的質量.【知識點】全等三角形的性質【解題過程】因為ABCADEF,/B=/E,所以/B與/E是對應角.所以AC與DF為對應邊.故有AC=DF.又因為AC的質量為25千克，所以DF的質量為25千克.【思路點撥】因為構成三角形的金屬線是同樣粗細，同種材料，又長度相等，故質量相等.【答案】DF的質量為25千克練習：如圖所示，ABCADCB,則觀察圖形一定有下列關系成立：(1)AB=,AC=;(2)/A=,ZABC=,/ACB=.【知識點】全等三角形的性質【解題過程】ABCADCB.AB=DC,

10、AC=DB;/A=/D,/ABC=/DCB,/ACB=/DBC.【思路點撥】全等三角形的對應邊相等，對應角相等.【答案】(1)DC,DB(2)/D,DDCB,DDBC【設計意圖】通過練習，掌握全等三角形的性質舌動2例2如圖，ABCzXDEF,AB=DE,AC=DF,且點B,E,C,F在同一條直線上.(1)求證：BE=CF,AC/DF;若/D+/F=90°,試判斷AB與BC的位置關系.【知識點】全等三角形的性質、等式性質、平行線的性質、垂線的性質【解題過程】(1)證明：.ABCDEF, .BC=EF,/ACB=/DFE, .BCEC=EFEC,AC/DF .BE=CF.(2)解：結論：

11、AB±BC.證明：abcadef,./A=/D,/ACB=/FvZD+ZF=90°./A+/ACB=90° ./B=90°.-.AB±BC.【思路點撥】利用全等三角形的對應邊相等，對應角相等.【答案】(2)結論：ABXBC.練習：如圖，AM平分/CAD,CN平分/ACB,AACBACAD,請你判斷AM和CN的位置關系，并說明理由.【知識點】全等三角形的性質【解題過程】解：AM/CN.理由：acbacad, ./ACB=/CAD.AM和CN分別平分/CAD和/ACB,-1-一1ZACN=-ZACB,/CAM=22CAD./ACN=/CAM.AM/

12、CN.【思路點撥】利用全等三角形的對應角相等，角平分線的定義可知兩小角相等，再由平行線的判定得平行.【答案】AM/CN.【設計意圖】考查運用三角形全等的性質進行簡單推理的能力，體會證明過程的規范性.舌動3例3在4ABC中，點A的坐標為（-1,1）,點C的坐標為（-2,2）,點B的坐標為（-5,1）,如果AABD與4ABC全等，求點D的坐標.【知識點】全等三角形性質的應用【解題過程】解：當ABCzXABD時，D坐標為（-2,0）;當ABCzXBAD時，D坐標為（-4,0）;當ABCzXBAD時，D坐標為（-4,2）;故點D坐標是（-2,0）或（-4,0）或（-4,2）.【思路點撥】利用全等三角形

13、的對應邊相等，對應角相等.解此題的關鍵是能根據題意化成符合條件的所有圖形.【答案】點D坐標是（-2,0）或（-4,0）或（-4,2）.練習：如圖，4ABC的頂點A,B,C都在小正方形的頂點上，像這樣的三角形叫做格點三角形，試在下面5X5的方格紙上按下列要求畫出格點三角形.所畫的三角形與ABC全等且有1個公共頂點；所畫的三角形與ABC全等且有1條公共邊；（3）探索與ABC全等且有公共邊AB的格點三角形共有多少個.【知識點】全等三角形性質的應用【解題過程】（1）如圖；（2）如圖；（3）根據C點的不同方向可以有三個以AB為邊的格點三角形與ABC全等，如圖，圖，圖：【思路點撥】（1）所畫的三角形與AB

14、C全等且有1個公共頂點，也就是說畫出的三角形可以分別與A、B或C三點為頂點作一個與ABC全等的三角形即可；（2）所畫的三角形與ABC全等且有1個公共邊，也就是說所作出的與ABC全等的三角形只要與AC、AB或BC重合便可；（3）可以C點不同的方向分析得出答案，當C點在線段AB的左上方時，左下方時，右下方時，右上方時進行分析.【答案】解：（1）如圖；（2）如圖；（3）3個.【設計意圖】通過畫圖，訓練學生思維的多樣性，有利于提高學生綜合運用條件推理、考慮問題全面的能力.3.課堂總結知識梳理（1）能夠完全重合的兩個圖形是全等形，能夠完合重合的兩個三角形是全等三角形（2）全等三角形的表示方法：全等用符號

15、叁”表示，讀作全等于”（3）全等三角形的有關概念：對應頂點、對應邊、對應角.（4）全等三角形的對應邊相等，對應角相等重難點歸納（1）能夠完合重合的兩個三角形是全等三角形（2）全等三角形的對應邊相等，對應角相等（3）找對應元素的常用方法有兩種：（一）從運動角度看，（二）根據位置元素來推理（三）課后作業基礎型自主突破1一個圖形經過平移后，發生變化的是（）A.形狀B.大小C.位置D.以上都變化了【知識點】平移、全等圖形【解題過程】全等圖形的形狀、大小一樣，只是位置不同，故選C【思路點撥】平移后的圖形和原來的圖形是全等的【答案】C2下列說法中正確的是（）A兩個面積相等的圖形是全等圖形B兩個等邊三角形一

16、定是全等圖形C半徑相等的兩個圓是全等圖形D兩個含30°角的三角形是全等圖形【知識點】全等圖形【解題過程】解：A兩個面積相等的圖形是全等圖形，說法錯誤；B兩個等邊三角形一定是全等圖形，說法錯誤；C半徑相等的兩個圓是全等圖形，說法正確；D兩個含30°角的三角形是全等圖形，說法錯誤；故選：C【思路點撥】根據全等形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形分別進行分析【答案】C3全等三角形是（）A三個角對應相等的兩個三角形B周長相等的兩個三角形C面積相等的兩個三角形D能夠完全重合的兩個三角形【知識點】全等三角形【解題過程】解：A全等三角形是三個角對應相等的兩個三角形，說法錯誤；B全等

17、三角形是周長相等的兩個三角形，說法錯誤；C全等三角形是面積相等的兩個三角形，說法錯誤；D全等三角形是能夠完全重合的兩個三角形，說法正確；故選：D【思路點撥】根據全等三角形的概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形分別進行分析【答案】D4 .如圖所示，沿直線AC對折，4ABC與4ADC重合，則ABC,AB的對應邊是,AC的對應邊是,BBCA的對應角是.【知識點】全等三角形及對應元素【解題過程】ABC與4ADC重合，則ABCADC,AB的對應邊是AD,AC的對應邊是AC,/BCA的對應角是/DCA.【思路點撥】根據全等三角形的有關概念，能夠完全重合的頂點叫對應頂點，能夠完全重合的邊叫對應邊，能

18、夠完全重合的角叫對應角的【答案】ADCADAC/DCA.5 .如圖，ABCzXCDA,AB=5,BC=7,AC=6,則AD邊的長為（）A4B5C6D7【知識點】全等三角形的性質【解題過程】ABCACDA,aBC=AD=7.故選D.【思路點撥】利用全等三角形對應邊相等【答案】D6 .如圖，ABC中，/BAC=60°,將ABC繞著點A順時針旋轉40°,則/BAC的度數為（）A60°B40°C100°D90°【知識點】全等三角形的性質【解題過程】由題意可知ABCAAB，C；/BAC=/B'AC=60,./BAB=40°,；

19、/BAC=60°+40°=10敬選C.【思路點撥】利用全等三角形對應角相等.【答案】C.能力型師生共研7 .已知ABC和DEF全等，/A=40°,/B=50°,則/D的度數為（）A.400B.500C.900D.40°或50°或90°【知識點】全等三角形的性質.【解題過程】解：:/A=40°,/B=50°,/C=180-40-50=90°vABC和DEF全等，對應角相等； 當/D與/A是對應角時，/D=/A=40° 當/D與/B是對應角時，/D=/B=50° 當/D與/C是對

20、應角時，/D=/C=90;綜上所述：/D的度數為40°或50°或90°故選：D.【思路點撥】先由三角形內角和定理求出/C,再由全等三角形的性質得出對應角相等，分三種情況討論，即可得出結果.【答案】D.8 .一個三角形的三邊為2、5、x,另一個三角形的三邊為y、2、6,若這兩個三角形全等,貝Ux+y=.【知識點】全等三角形的性質【解題過程】由題意得x=6,y=5,x+y=5+6=11【思路點撥】全等三角形對應邊相等.【答案】11.探究型多維突破9 .大家經常折紙，取一張長方形紙片，用A,B,C,D表示它的四個頂點，將其折疊，使點B與點D重合，折痕為E,F,如圖所示.

21、觀察圖形并填空：（1）4BEFDEF;第10頁（2）若/AEB=70°,則/EDF=,/EFB=.【知識點】翻折的性質、平行線的性質、全等三角形的性質【解題過程】解：（1）由翻折可知：BEFADEF.（2） .AD/BC,且/AEB=70°（已知）， ./EBF=/AEB=70°（兩直線平行，內錯角相等）.又.BEFDEF（已證）， ./EDF=/EBF=70°（全等三角形的對應角相等）.=/AEB=70°（已知），且/AEB+/BED=180°（平角的定義），丁./BED=180°/AEB=180°70°

22、;=110°（等式的性質）.又:/BEF=/DEF（翻折的性質），1丁./BEF=/DEF=22BED=55（等式的性質）.又AD/BC（已知）, ./EFB=/DEF=55°（兩直線平行，內錯角相等）.【思路點撥】翻折、平移或旋轉的問題，常常利用全等圖形的性質來解決問題.【答案】（1）4BEF04DEF.（2）/EDF=70°,/EFB=55°.10.如圖所示，在正方形ABCD中，E是正方形邊AD上一點，F是BA延長線上一點，并且AF=AE.已知ABEADF;（1）在圖中，可以通過平移、翻折、旋轉中的哪一種方法，使ABE與4ADF完全重合?（2）指出圖

23、中線段BE與線段DF之間的關系，并說明理由.【知識點】全等三角形的性質【解題過程】解：（1）ABE繞點A逆時針旋轉90°后可得到ADF.（2）BE=DF且BEXDF.理由如下：延長BE交DF于點G,.ADFAABE,.BE=DF,/FBG=/ADF,vZDFA+/ADF=90丁./DFA+/FBG=90./BGF=90,.BGXDF,即BEXDF.【思路點撥】（1）觀察圖形分析條件，可得F點和E點是對應點，D和B點是對應點，A和A點是對應點，可得F由E點繞點A旋轉得到，D由B點繞點A旋轉得到，不難求解；（2）由（1）可知ABE和4ADF能完全重合，根據旋轉的性質進行求解.【答案】（1

24、）AABE繞點A逆時針旋轉90°后可得到ADF.（2） BEXDF.自助餐1 .下列說法不成立的是（）A.兩個全等三角形能重合B.兩個全等三角形沿某一直線折疊能重合C.兩個全等三角形的面積相等D.兩個全等三角形的周長相等【知識點】全等三角形的定義和性質【思路點撥】能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形，由此可判斷各選項.【解題過程】解：A兩個全等三角形能重合，成立；B兩個全等三角形沿某一直線折疊能重合，不一定成立.C兩個全等三角形的面積相等，成立；D兩個全等三角形的周長相等，成立；故選B.【答案】B.2 .已知圖中的兩個三角形全等，則/a度數是（）A.720B.600C.58

25、6;D.50°【知識點】全等三角形的性質【解題過程】觀察圖形可知/a的對應角是50°,故選D.【知識點】全等三角形的性質【思路點撥】全等三角形對應角相等.【答案】D.3 .已知：如圖，OADzXOBC,且/O=70°,ZC=25,貝口/AEB=度.【知識點】全等三角形的性質、三角形的外角【解題過程】VAOAD叁匕OBC,./D=/C=25,ZO+ZD=ZDAC./DAC=70°+25=95°/DAC+/C=/AEB,./AEB=95°+25=120°.【思路點撥】由全等三角形的對應角可知/D=/C=25,再由三角形的一個外角

26、等于不相鄰的兩個內角的和，求出/DAC、/AEB即可.【答案】120°.4 .如圖，三角形紙片ABC,AB=10cm,BC=7cm,AC=6cm,沿過點B的直線折疊這個三角形，使頂點C落在AB邊上的點E處，折痕為BD,則4AED的周長為cm【知識點】全等三角形的性質、翻折的性質【解題過程】BDC與4BDE關于BD折疊，.-.BDCABDE, .DC=DE,BC=BE.又AE=AB-BE, .AE=AB-BC.;AB=10cm,BC=7cm, .AE=AB-BC=3cm.ADE的周長=AD+AE+DE, .ADE的周長=AE+AD+DC=AE+AC.,AC=6cm,.ADE的周長=6+3=9cm.【思路點撥】由翻折的性質可以得出DC=DE,BC=BE,就可以求出AE,由4ADE的周長=AD+AE+DE=AE+AD+DC=AE+AC就可以求出結論.【答案