1、第六講直線型計算中的倍數關系迄今為止,同學們已經學會了很多圖形計算面積的方法.在計算這些面積的時候,只要知道相應線段的長度,然后利用公式即可以計算.例如計算長方形的面積,只需知道長方形的長和寬即可利用長方形的面積長寬進行計算？但很多時候,題目中并不給出長和寬,8、那怎么來求面積呢？我們來看下面這個例題.Frz例題1.如圖,有9個小長方形,其中的5個小長方形的面積分別為4、12、16、20平方米.其余4個長方形的面積分別是多少平方米？分析如果兩個長方形的一條邊相等,我們可以比擬它們的另一條邊來求它們的面積關系,看看下列圖,能利用左上角的三塊面積求出的面積嗎？對于長方形,我們總結出：如果兩個長方形

2、的長寬相等,那么它們的面積的比等于它們寬長之比.例如：如下圖的長方形ABCD與長方形BEFC寬BC相同,那么長方形ABCD的面積:長方形BEFC的面積AB:BE.如圖,有7個小長方形,其中的5個小長方形的面積分別為20,4,6,8,10平方厘米.求陰影長方形的面積是多少平方厘米？2046810從上面的例題可以看出,求一個圖形的面積不一定要通過公式,有些時候我們也可以利用圖形各局部之間的面積關系進行計算.實際問題中,各圖形的形狀各異.我們很難直接看出面積間的關系,更容易發現的是長度之間的倍數關系.本章重點就是長度的倍數關系與面積倍數關系的轉化.過三角形一個頂點的直線將三角形分為兩個小三角形那么這

3、兩個小三角形面積之比等于該直線分對邊所得的兩條線段長度之比,這是由兩個小三角形有共同的高決定的F為BE中點,如果三角形三角形ABD的面積：三角形ADC的面積BD:DC例題2.下列圖中三角形ABC的面積是180平方厘米,D是BC的中點,AD的長是AE長的3倍.那么三角形ABE的面積是多少平方厘米？分析你能從圖中發現前面講過的根本圖形嗎？如何利用其中的比例關系解題呢？如圖,三角形ABC中,D為AB的中點,E為BC的中點,ABC的面積是120平方厘米,那么三角形DEF的面積是多少？比方知道兩條線段的在實際問題中,給出的圖形結構往往只能滿足上述形式的一局部長度關系,卻找不到適宜的圖形引出面積關系.此時

4、,我們可以添加適當的輔助線,使得兩個圖形之間可以找到一個過渡的量,這個量和兩個圖形都有比擬緊密的聯系.角形ABC,例題3.如圖,把三角形DEF的各邊分別向外延長1倍后得到三三角形DEF的面積為1,那么三角形ABC的面積是多少？分析容易看出,此題也需要通過邊長的倍數關系去求三角形面積之間的關系？但是我們所求的是三角形DEF的面積,而沒有.那么我們的是三角形ABC的面積,這兩個三角形之間一條直接相連的邊也該怎么辦呢？如圖,把三角形DEF的各邊分別向外延長1倍、2倍、3倍后得到三角形ABC,三角形DEF的面積為1,那么三角形ABC的面積是多少？A除了利用圖形間的長度關系尋找面積關系外,我們有時候也利

5、用面積的倍數關系反推出長度的倍數關系.例題4.如圖,E是AB上靠近A點的三等分點,梯形ABCD的面積是三角積的倍數關系.需要求的那么是長度的倍數關系,所以我們考慮如形AEC面積的4倍,那么梯形的下底長是上底長的幾倍?分析此題中我們并不知道圖形的具體面積,而只知道面何利用面積的關系求出長度關系.我們不妨假設三角形AEC的面積是“1份,那么梯形ABCD的面積就是“5份？接著可以看看“E是AB上的三等分點這個條件能得出什么結論,看看怎么利用求出的面積來比擬梯形的上下底？如圖,將一個長為18的長方形,分成一個三角形和一個梯形,且梯形的面積是三角形的5倍,那么三角形底邊BE的長是多少？除了利用長度間的倍

6、數關系外,積的倍數關系.我們有時候也能從公式入手,尋找圖形面例題5.把一個正方形的相鄰兩邊分別增加2厘米和4厘米,結果面積增加了50平方厘米,那么原正方形的面積為多少平方厘米？分析由于陰影局部是一個不規那么圖形,我們需要把它轉化為規那么形狀,可以將它分割成幾塊.如下圖,我們將陰影局部分割為、三個長方形？其中,的長和寬分別為4、2,可以求出它的面積？那么和的面積能求出來嗎？關鍵是找出它們面積的關系.例題6.如圖,直角三角形ABC套住了一個正方形CDEF,E點恰好在AB邊上.又已知直角邊AC長20厘米,BC長12厘米,那么正方形的邊長為多少厘米？分析注意到EF垂直于AC,ED垂直于BC.我們可以連

7、接CE,將三角形ABC分成兩個三角形,這兩個三角形的底都給出了長度,而它們的高相等.我4們的目標就是求這個高.歐拉的故事歐拉是數學史上著名的數學家,他在數論、幾何學、天文數學、微積分等好幾個數學的分支領域中都取得了出色的成就.歐拉小時候幫助爸爸放羊,他一面放羊,一面讀書.他讀的書中,有不少數學書.爸爸的羊群漸漸增多了,到達了100只.原來的羊圈有點小了,爸爸決定建造一個新的羊圈.他用尺量出了一塊長方形的土地,長40米,寬15米,他一算,面積正好是600平方米,平均每一頭羊占地6平方米.正打算開工的時候,他發現他的材料只夠圍100米的籬笆,不夠用.假設要圍成長40米,寬15米的羊圈,其周長將是1

8、10米(15+15+40+40=110)父親感到很為難,假設要按原方案建造,就要再添10米長的材料；要是縮小面積,每頭羊的面積就會小于6平方米.小歐拉卻向父親說,不用縮小羊圈,也不用擔憂每頭羊的領地會小于原來的方案.他有方法.父親不相信小歐拉會有方法,沒有理會他.小歐拉急了,大聲說：只要稍稍移動一下羊圈的樁子就行了.父親聽了直搖頭,心想：世界上哪有這樣廉價的事情？但是,小歐拉卻堅信,他一定有兩全齊美的方法.父親終于同意讓兒子試試看.小歐拉見父親同意了,站起身來,跑到準備開工的羊圈旁.他以一個木樁為中央,將原來的40米邊長截短,縮短到25米.父親著急了,說：那怎么成呢？那怎么成呢？這個羊圈太小了

9、,太小了.小歐拉也不答復,跑到另一條邊上,將原來15米的邊長延長,又增加了10米,變成了25米.經這樣一改,原來方案中的羊圈變成了一個25米邊長的正方形.然后,小歐拉很自信地對爸爸說：現在,籬笆也夠了,面積也夠了.父親照著小歐拉設計的羊圈扎上了籬笆,100米長的籬笆真的夠了,不多不少,全部用光.面積也足夠了,而且還稍稍大了一些.父親心里感到非常快樂!作業1.如圖,一個長方形被分成了四個小長方形,長方形A的面積是45平方米,長方形B的面積是15平方米,長方形C的面積為15平方米,那么長方形D的面積是多少？作業2.如圖,D為AB邊上的三等分點,三角形ACD面積為12,那么三角形BCD面積是多少？作

10、業3.如圖,D、E分別為AB、BC邊上的三等分點,三角形ABC面積為72,那么三角形CDE面積是多少？作業4.如圖,把三角形DEF的各邊向外延長2倍后得到三角形ABC,三角形DEF的面積為1,那么三角形ABC的面積是多少？作業5.點B是正方形一條邊上的四等分點.連接AB、BC,點D、E又是AB、BC的四等分點,連接CD、DE.如果正方形邊長為24厘米,那么：1三角形ABC的面積是多少？2三角形CDE的面積是多少?24厘米第六講直線型計算中的倍數關系例題1.答案：如下圖詳解：長方形一邊確定,面積的倍數關系與另一鄰邊的倍數關系相同1612241230平方厘米.7個小三角形面積相等.20例題2.答案

11、：30詳解：ABD與AADC的面積比是1:1,可求出ABD的面積是90平方厘米.ABE與ABDE的面積比是1:2,那么ABE的面積是90例題3.答案：7詳解：連結AE、BF、CD,由等高三角形可以推出圖中的例題4.答案：3倍詳解：設AAEC的面積是1份,那么有梯形的面積是4份,ABC的面積是3份.所以AACD的面積是1份.而ADC與AABC的高相同,所以底的比等于面積的比,即AD:BC=1:3.例題5.答案：49詳解：設正方形邊長為a,那么有2a4a2450,a=7.a厘米.可列例題6.答案：7.5詳解：連結CE,將三角形切成兩個小三角,設正方形邊長為方程2012220a12a2,a=7.5.

12、84612平方厘米？再求陰影局部的面積,20102,46812215練習1.答案：15簡答：先求出面積為6的長方形下面長方形的面積,應該是練習2.答案：15平方厘米簡答：由于D是AB的中點,可知BDC的面積是AABC面積的一半,120260?E點是BC的中點,F是BE的中點,那么DEF的面積是ABCD的四分之一,60415?練習3.答案：18簡答：如下圖,連結AF、BD和CE?根據等高三角形的性質可以求出其他三角形的面積.練習4.答案：6CDFE的面積是長簡答：如下圖,連結EF,使得ABEF是一個長方形？那么長方形方形ABEF的兩倍,所以EC是BE的兩倍,BE長為6.作業1.答案：5簡答：長方形A的面積是長方形B的面積的3倍,因此長方形C的面積也是長方形D的面積的3倍,因此長方形D的面積為5.作業2.答案：24簡答：BD長度是AD長度的2倍,因此三角形BCD面積也是三角形ACD面積的2倍,因此三角形BCD面積為24.作業3.答案：16簡答：由D、E分別為AB、BC邊上的三等分點,可求得三角形BCD面積為48,三角作業4.答案：19簡答：如下圖,連接AE、BF、CD.由AD2DF,BE2ED,