1、1第一節第一節 定積分的元素法定積分的元素法 第二節第二節 平面圖形的面積平面圖形的面積 內容提要：重點：難點：定積分的元素法定積分的元素法, , 平面圖形的面積的求法平面圖形的面積的求法. .定積分的元素法定積分的元素法, , 平面圖形的面積的求法平面圖形的面積的求法. .定積分的元素法定積分的元素法, ,第六章第六章 定積分的應用定積分的應用2xoyab)(xfy 和和我們知道求由我們知道求由0, ybxax)(xfy 所圍成的曲邊梯形所圍成的曲邊梯形的面積的面積 A 須經過以下四個步驟：須經過以下四個步驟： （2）近似計算：）近似計算：iiixfA )( );(1iiixx ;)()(1

2、0lim baniiidxxfxfA （4）取極限：）取極限： （3）求和：）求和： niiixfA1)( iA niiAA1,ba分成分成n個小區間，個小區間，（1）分割）分割: 把把設第設第 i 個小曲邊梯形的面積為個小曲邊梯形的面積為則：則：第一節第一節 定積分的元素法定積分的元素法ix1ix3（2）A對于區間對于區間a,b具有可加性，即整個曲邊梯形的面積等于具有可加性，即整個曲邊梯形的面積等于 所有小曲邊梯形面積的和。所有小曲邊梯形面積的和。在上面的問題中，所求的量面積在上面的問題中，所求的量面積A有如下性質：有如下性質：（1）A是一個與變量是一個與變量x的區間的區間a,b有關的量；有

3、關的量；;)( badxxfA即：即：A的精確值，的精確值，iixf )( 近似代替部分量近似代替部分量iA 時，它們只相差一比時，它們只相差一比ix高階的無窮小，因此和式高階的無窮小，因此和式 niiixf1)( 的極限就是的極限就是（3）以）以4A （3）寫出）寫出A的積分表達式，即：的積分表達式，即：dxxfAba)( 求求A的積分表達式的步驟可簡化如下：的積分表達式的步驟可簡化如下：（1）確定積分變量）確定積分變量x及積分區間及積分區間a，b；A以以dxxf)(作為作為的近似值。的近似值。,dxxx （2）在）在a,b上任取小區間上任取小區間即：即：dxxfdA)(dxxf)(叫做面積

4、元素叫做面積元素,記為記為dxxfA)(xyo)(xfy badxx xdxdA5具體步驟是具體步驟是： 那么這個量就可以用積分來表示。那么這個量就可以用積分來表示。叫做叫做積分元素積分元素 badxxfU)(（3）寫出）寫出 U 的積分表達式，即：的積分表達式，即： （1）根據具體問題，選取一個變量例如）根據具體問題，選取一個變量例如 x 為積分變量，并確定為積分變量，并確定 它的變化區間它的變化區間a,b；dxxfdUU)(（2）在）在a,b上任取小區間上任取小區間 x, x+ dx，求出，求出 U 在這個小區間上在這個小區間上的近似表達式的近似表達式這種方法叫做這種方法叫做 定積分的元素

5、法。定積分的元素法。一般地，如果某一實際問題中的所求量一般地，如果某一實際問題中的所求量 U符合下列條件：符合下列條件：（1）U是與一個變量是與一個變量x的變化區間的變化區間a，b有關的量；有關的量；（2）U對于區間對于區間a，b具有可加性；具有可加性；iU 的近似值可表示為的近似值可表示為iixf )( （3）部分量）部分量6一、直角坐標情形一、直角坐標情形例例計算由計算由22,xyxy所圍成的圖形的面積。所圍成的圖形的面積。 這兩條拋物線所圍成的圖形如圖所示這兩條拋物線所圍成的圖形如圖所示 22xyxy和和得拋物線的兩個交點得拋物線的兩個交點)0 , 0() 1 , 1 (取取x為積分變量

6、，積分區間為為積分變量，積分區間為1 , 0在在上任取小區間上任取小區間,dxxx 面積元素為面積元素為.)(2dxxxdA 故所求面積為故所求面積為 .01)(31332210323 xxdxxxAyox) 1 , 1 (11dxx x第二節平面圖形的面積第二節平面圖形的面積解解解方程組解方程組1 , 0，7注：注：當然所求的面積可以看作是兩個曲邊梯形面積的差，即當然所求的面積可以看作是兩個曲邊梯形面積的差，即3110210 dxxdxxAyox) 1 , 1 (11xyodxxx)(x )(x ba所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積一一般般地地，由由)(),(,xyxybxax dxxx

7、Aba )()( 8xyo例計算拋物線例計算拋物線xy22 與直線與直線4 xy所圍成的圖形的面積。所圍成的圖形的面積。注注：當然這個題也可以用元素法來解。：當然這個題也可以用元素法來解。這個圖形如右圖所示，這個圖形如右圖所示，以以y為積分變量，所求的面積為為積分變量，所求的面積為 1824244 )4(62422214232 yyydyydyyA 解解得交點得交點 422xyxy)2, 2( )4 , 8(解方程組解方程組)2, 2( )4 , 8(9例例3 求橢圓求橢圓12222 byax所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積利用橢圓的參數方程利用橢圓的參數方程 tbytaxsincos 應

8、用定積分換元法，令應用定積分換元法，令taxcos則：則：tdtadxtbysin,sin 當當 x 由由 0 變到變到 a 時，時，t 由由2變到變到0，所以：，所以：1A設橢圓在第一象限部分的面積為設橢圓在第一象限部分的面積為 aydxAA0144ababtdtabtdtabdttatbA 221020204sin4sin4)sin(sin42221A解解則橢圓的面積為則橢圓的面積為。橢橢圓圓變變為為圓圓，時時，當當2aAba 10一般地，當曲邊梯形的曲邊一般地，當曲邊梯形的曲邊:), 0)( ,baxxf )(xfy 由參數方程由參數方程 )()(tytx 給出時，給出時， 則由曲邊梯形

9、的面積公式及定積分的換元公式可知，則由曲邊梯形的面積公式及定積分的換元公式可知， 曲邊梯形的面積為曲邊梯形的面積為 dtttdxxfAba)( )()(在在, （或（或）上具有連續導數，）上具有連續導數，)(tx 適合：適合：)(,)(,)(tba 如果如果)(ty 連續連續11二、極坐標情形二、極坐標情形 下面我們求下面我們求這個曲邊扇形的面積。這個曲邊扇形的面積。所以曲邊扇形的面積為：所以曲邊扇形的面積為： dA221)( 設由曲線設由曲線)( r及射線及射線 ,圍成一圖形（稱為圍成一圖形（稱為曲邊扇形）。曲邊扇形）。 ddA221)( 面積元素為：面積元素為： 為為,d取極角取極角積分變

10、量，積分區間為積分變量，積分區間為任取小區間任取小區間，。)(在在,上連續，且上連續，且0)(假設假設。 221RA圓扇形面積公式為圓扇形面積公式為 ddxo)( r12例例4 計算阿基米德螺線計算阿基米德螺線 ar )0( a上相應于上相應于 從從0 變到變到2的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積。的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積。在此區間上任取小區在此區間上任取小區間間 ，, d dadA221)(于是所求面積為于是所求面積為 322032202234322aadaA d xoa 2面積元素為面積元素為 解解積分變量為積分變量為2 , 0積分區間為積分區間為13 例例5 計算心形線計算心形線)cos1 ( ar)0(a所圍成的圖形面積。所圍成的圖形面積。因此所求圖形的面積因此所求圖形的面積 A 是極軸以上部分圖形面積是極軸以上部分圖形面積 的兩倍，的