1、第一章TT1-1有一個(gè)連續(xù)信號(hào) Xa(t) =cos(2;ift十中)，式中f =20Hz,中=：,(1) 求出xa(t)的周期；(2) 用采樣間隔T = 0.02s對(duì)Xa(t)進(jìn)行采樣，寫出采樣信號(hào) 尺(t)的表達(dá)式；(3 ) 畫出對(duì)應(yīng)？a(t)的時(shí)域離散信號(hào)(序列)x(n)的波形，并求出x(n)的周期。解：(1) xa的周期是1 C CLTa = = 0.05sfQO xa(t) = Z cos(2nfnT +W)3(t -nT) n 二二二oO=、:cos(40 二nT)、(t - nT)n ：(3) x(n)的數(shù)字頻率為x(n)0.95周期N =5。0.59313561*.，4 ,t-

2、0.59 *-0.95x(n) =cosQ8兀n +兀/2),畫出其波形如題1-1圖所示。題1-1圖1-2 設(shè) xa(t) =sin(E) , x(n) = xa(nTs) = sin(n nT；),其中 Ts 為采樣周期。(1) xa信號(hào)的模擬頻率 C為多少?(2) C和切的關(guān)系是什么?(3)當(dāng)Ts =0.5s時(shí)，x(n)的數(shù)字頻率0為多少?解：(1) xa(t)的模擬頻率 C =mad / s。(3) C和切的關(guān)系是：a=C Ts。(3)當(dāng) Ts =0.5s時(shí)，o=0.5nrad。1-3判斷下面的序列是否是周期的，若是周期的，確定其周期。1-6解:(1)(2)，、，3x(n) = Acos

3、(- n1j(8n-二) x(n) =e 8。A為常數(shù);(1) s=3式，生=14,這是有理數(shù)，因此是周期序列，周期是 7.312-(2) =16n，這是無(wú)理數(shù)，因此是非周期序列。8T=14；1-4研究一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)為指數(shù)序列h(n)=anu(n), 0<a<1。對(duì)于矩陣輸入序列,1 ,0 < n < N -1 Rn(n):10,其他求出輸出序列，并用 MATLAB計(jì)算，比較其結(jié)果。分析：輸入x(n) =Rn (n),線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列與單位脈沖響應(yīng)的卷00積，用公式表示為 y(n) = x(n) h(n) = " x(k)

4、h(n-k)k =-二為了計(jì)算輸出序列的第 n個(gè)值，必須計(jì)算出乘積x(k) h(n-k),并將所得到的序列值相加。00解：輸出序列y(n) =x(n)*h(n)= £ x(k)，h(nk)可以分成三種情況來(lái)求解：k -：:(1 ) 當(dāng)n <0時(shí)，由于h(n -k)和x(k)的非零取樣互不重疊，因此 y(n) =0。(2) 當(dāng)0 Wn WN -1時(shí)，從k =0至iJ k =n , h(n k)和x(k)的非零取樣值有重疊,因此y(n) = ' x(k) h(n - k) - & ank -：kdD/- n-1/ nFn1 - a 1-a=a -r =1 -a 1-

5、a(3) 當(dāng)n之N1時(shí)，h(n k)和x(k)重疊的非零取樣值從 k = 0至U k = N 1 ,因此N 1N 1y(n) = " x(k) h(n -k)=" an*k =0k=0彳 N1 a 一1 .an1 _ an _N 1(-)a1 - a0, n <01-an4所以y(n) =, 0 < n < N -11 -an nn_N +/1 - a、K. da (), N -1 < nL.1 a利用MATLAB求其響應(yīng)，程序如下：a=1N=20;n=0:N-1;c=1；d=1 -a；x=ones(1,N);y=filter(c,d,x);stem

6、(n,y);ylabel('y(n)');題1-4圖輸出相應(yīng)序列y(n)1-5 設(shè) x(n) =anu(n) , h(n) =bnu(n)abn'u(n-1),求 y(n) = x(n) wh(n)。解：X (z) = z , z >|az -aH(Taz -bz -az _ b '所以，Y(z) = X(z)H(z) =z- , z >bz -b其Z反變換為y(n) =x(n) h(n)=/Y(z) = bnu(n)顯然，在z =a處，X(z)的極點(diǎn)被H(z)的零點(diǎn)所抵消，如果 b < a ,則Y(z)的收斂域比X (z)與H (z)收斂域的

7、重疊部分要大。1-6求下列序列的Z變換及其收斂域，并用 MATLAB畫出零極點(diǎn)示意圖。(1)雙邊指數(shù)序列 x(n)=an, 0<|a <1；(2 )正弦調(diào)制序列 x(n) = Arn cos®0n+4)u(n), 0<r<1。解：(1)雙邊指數(shù)序列可寫為,n ： 0,n _0-n，、ax(n) = na其Z變換為二1 二X(z)。anz、a?、anznn =0n ：1 - az n T11 - az，士1n- n n一二 a z -1 二jn =01 - az匕-1z(1-a2)(1- az)(z - a)x(n) =an , 0 < a <1是一

8、個(gè)雙邊序列，其收斂域?yàn)?a <|z < 1/a表示極點(diǎn)，極點(diǎn)為z=a, 1/a,零點(diǎn)為z=0。其極點(diǎn)、零點(diǎn)圖如圖所示，圖中 父表示極點(diǎn)，。表示零點(diǎn)。利用MATLAB畫出其零極點(diǎn)，如題 1-6圖(a)所示:a=3;y=1-a*a;b=0 y 0;a=-a y -a;zplane(b,a);-1-1.500.51-1 -OSReal Part1,5O 6S o 題1-6圖(a)零極點(diǎn)圖e(2) x(n) = Arn cos(co0n+4)u(n) = Arnj。on-二).e-j(- on-) u(n),0 <r <12我們將其分解為標(biāo)準(zhǔn)的指數(shù)序列形式，然后根據(jù)Z變換的求和

9、定義式求得其對(duì)應(yīng)的Z變換、收斂域并畫出零極點(diǎn)圖。其Z變換為QOX(z)八 Arn cos( 0n)z“n=012(0n ,), o-j(' on ')nee-n=A ' r zn -：2ejr Ae2(1-rejoz ) 2j：1(1-re-j 0Acos : Arz，cos( 0 一)_1_ _12-2z )1 -2rz cos 0 r z收斂區(qū)域?yàn)閦 > r ,極點(diǎn)為z = re4,re -jC ,零點(diǎn)為 z = 0, r cos(®og/cos4。其對(duì)應(yīng)的零極點(diǎn)圖如題 1-6圖所示。利用MATLAB畫出其零極點(diǎn)，如題1-6圖(b)所示:A=1;r=

10、1;w0=4*pi;w=2*pi;x=2*r*cos(w0);y=A*r*cos(w0-w); b=A*cos(w) -y ; a=1 -x r*r; zplane(b,a);題1-6圖(b)零極點(diǎn)圖討論通常將正弦序列信號(hào)展開為兩個(gè)基本復(fù)指數(shù)序列和或差的形式，然后按照Z(yǔ)變換定義式求起對(duì)應(yīng)的 Z變換和收斂域。對(duì)于Z變換表達(dá)式可表示為等比級(jí)數(shù)和的形式的序列，其Z變換的收斂域是保證等比小于得收斂域?yàn)閦 > r °1,如本例中要保證 q = z,rejo)<1 ,可題1-6圖零極點(diǎn)示意圖an,n -04、1-7已知x(n)=，求其Z變換及其收斂域。并用-bn ,n<-1MA

11、TLAB 求解。1-8解：這是一個(gè)雙邊序列，其 Z變換為1-651-8qQX(z) - ' x(n)zn =-：二二 n . nn . n-% az -%bzn =0n =9111 _az,1 -bzJ z(2z - a - b) (z -a)(z -b)'z z=+z-az-ba <lz<bMATLAB求解程序如下：F=ztrans(sym( 'aAk+bAk')結(jié)果為：F =- z/(a - z) - z/(b - z)5z求X(z)=；72 cz <3的逆Z變換，并用 MATLAB求解。1 z -6z解：由部分分式展開可得X(z)=1 -

12、2zJ11 3zn -0n : 02n因?yàn)? < z <3。所以得x(n) = 1(-3)MATLAB 求解：程序如下：syms k z;Fz=5*z/(zA2+z-6);fk=iztrans(Fz,k)運(yùn)行結(jié)果：fk =2Ak - (-3)Ak nMA TLAB1-9判斷系統(tǒng)(1) y(n) = E x(m) , (2) y(n) =nx(n)是否為時(shí)不變系統(tǒng)，并利用m =0驗(yàn)證。n解：(1)令輸入為 x(n -n0),輸出為 Y(n) =Tx(n -n0) =Z x(m -n0)m =0n /而y(n n0) = £ x(m) =Y(n),所以系統(tǒng)是時(shí)變的。m =0M

13、ATLAB 驗(yàn)證:令 x(n) =5(n+1) + 25(n)+5(n 1) , n =1程序如下：x=1 2 1;n0=1;n=-1:1;x0=2 1;%x0為x橫坐標(biāo)非負(fù)的值y=cumsum(x0);Y=cumsum(x);subplot(3,2,1);stem(n,x);xlabel('n');ylabel( 'x(n)');title('輸入');axis(-130,4);subplot(3,2,2);n=0:1;stem(n,y);xlabel('n');ylabel( 'y(n)');title(

14、9;輸出');axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,x);xlabel( 'n');ylabel( 'x(n-nO)' );title('輸入');axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,5);n=0:2;stem(n,Y);xlabel('n');ylabel('Y(n)');title('輸出);axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,4);n=1:2;stem(n,y);xlabel( 'n');yla

15、bel( 'y(n-nO)' );title('輸出');axis(-1,3,0,4);2n-10n421n0-10-1n4420-10123n輸出4 -2 ''0 E-10123n題1-9圖(a)時(shí)變性驗(yàn)證(2)令輸入 x(n -no),輸出 Y(n) =Tx(n n0) = nx(n n0)而 y(n - no) =(n nO)x(n -no) #Y(n),所以系統(tǒng)為時(shí)變的。MATLAB 驗(yàn)證：令 x(n) =6(n -1)+2d(n-2) +每(n -3) , n0 =1程序如下：x=1 2 1;n0=1;for i=1:length(x)

16、y(1,i)=i*x(1,i);endfor i=1+n0:length(x)X(1,i+n0)=x(1,i);endfor i=1+n0:length(x)+n0y_(1,i)=(i-n0)*x(1,i-n0);endfor j=1:length(x)Y(1,j)=j*X(1,j);endsubplot(3,2,1);n=1:3;stem(n,x);xlabel('n');ylabel( 'x(n)');title('輸入');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,2);stem(n,y);xlabel('n');

17、ylabel( 'y(n)');title('輸出');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,3);n=1:4;stem(n,x_);xlabel('n');ylabel( 'x(n-n0)' );title('輸入');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,5);stem(n,Y);xlabel('n');ylabel('Y(n)');title('輸出');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,4);n=1:4;stem(

18、n,y_);xlabel('n');ylabel( 'y(n-n0)' );title('輸出');axis(0,4,0,6);輸入)npxkuM-n(x輸出)u,/題1-9圖(b)時(shí)變性驗(yàn)證1-10利用MATLAB驗(yàn)證例題1-27 (1)中的系統(tǒng)是否為線性時(shí)不變系統(tǒng)。解：令輸入為 x(nn0),則輸出為 Y(n) =Tx(n-n0) = ax(n-n0)+ b ,而y(n 比)=ax(n 比)+b ,所以y(n ，)= Y(n),系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。又因?yàn)?Y (n) =T pK(n) qx2(n) =a px1(n) qx2(n) b而，Yz(

19、n) = py1(n) qy2(n)= pa(n) b qaxz(n) b = Yn)所以系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。MATLAB 驗(yàn)證：a:時(shí)變性驗(yàn)證：令 x(n) =Wn)+26(n T)+36(n 2) , a=1 , b = 2, no = k = 1程序如下:a=1;b=2;p=2;q=3;n0=1;x=1 2 3;y=a*x+b;for i=1:size(x,2)x_(1,i+n0)=x(1,i);y_2(1,i+n0)=y(1,i);endx_=zeros(1:n0),x_(n0+1:end);y_1=a*x_+b;y_1=zeros(1:n0),y_1(n0+1:end);subplot

20、(3,2,1);n=0:2;stem(n,x);xlabel('n');ylabel( 'x(n)');title( '輸入 ');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,2);n=0:3;stem(n,x_);xlabel( 'n');ylabel( 'x(n-n0)' );title( '輸入');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,y);xlabel('n');ylabel( 'y(n)');title

21、( '輸出 ');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,4);n=0:3;stem(n,y_1);xlabel('n');ylabel( 'Y(n)');title( '輸出');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,5);n=0:3;stem(n,y_2);xlabel('n');ylabel( 'y(n-nO)' );title('輸出');axis(0,4,0,6);輸入110 L00 0n輸出n題1-10圖(a)時(shí)變性驗(yàn)證b :線性驗(yàn)證：令 x(n

22、) =6(n)+26(n1)+ 36(n2)+2$(n3), x2(n)=36(n)+2$ (n -1) +(n -2) +8(n -3) , a=1 ,b = 2, p = 2,q=1程序如下：x1=1 2 3 2;x2=3 2 1 1;a=1;b=2;p=2;q=1;n=0:3;y1=a*x1+b;y2=a*x2+b;Y1=a*(x1*p+q*x2)+b;Y2=p*y1+q*y2;subplot(1,2,1);stem(n,Y1);xlabel('n');ylabel( 'Y1(n)');axis(0,3,0,14);subplot(1,2,2);stem(

23、n,Y2);xlabel('n');ylabel( 'Y2(n)');題 1-10 圖(b)線性性驗(yàn)證1-11已知系統(tǒng)函數(shù)H(Z)=1 Z"N ,試用MATLAB畫出該系統(tǒng)的幅頻特性。解：禾1J用MATLAB中的freqz()函數(shù)可以畫出該系統(tǒng)的幅頻特性曲線，如題1-11圖所示。N取10。MATLAB程序如下:N=10;b=1 zeros(1,N-1) 1;a=1 zeros(1,N);OMEGA=0:pi/150:2*pi;H=freqz(b,a,OMEGA); plot(OMEGA,abs(H);題1-11圖幅頻響應(yīng)特性1-12 一般的滑動(dòng)平均由下

24、列方程定義M2y(n)=M1 M2 1" x(n 一 k)=kJM1M1M2 1x(n - M1) x(n M1 -1)x(n) x(n 1) - x(n M 2)該系統(tǒng)計(jì)算輸出序列的第n個(gè)樣本時(shí)是將其作為輸入序列第n個(gè)樣本前后的M2 +1)個(gè)樣本的平均。(Mi求：(1)該系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(n);(2)求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)；(3)對(duì) M1=0, M2 =4,求 H(ejeo)和 argH(ejeo),并用 MATLAB形。畫出其圖-1M2斛： (1) h(n) = £ 6(nk)M1 M2 1k=叫，-M1 < n < M 2，其他(2)因?yàn)?h(n)二二M1M

25、 2 10，-M1M n 三 M2，其他因此頻率響應(yīng)就是1M2 一H(ej )=1e-j nM1 M2 1丑N2N1 N2 1利用等比級(jí)數(shù)求和公式'、ak=an =N11 - a可以得到:H(ej )M1 M2 1ejM1j.,(M2De - e1 -e_j ,e(M-1"2 sin，(M1M 2 1)/2M1M 2 1sin( /2)(3)當(dāng) M1 =0, M2 =4時(shí),argH(ej ) = -2 .H j與 J sin(較/2)-5 sin(o/2)利用MATLAB畫出其頻率響應(yīng)圖:H(ej )=M1M2 1J- M1口j(m2 1)e - e1 -e-j ,H(z)=

26、Mi4M2 1)z - zM1M2 11-z所以MATLAB程序如下：M1=0;M2=4;X=1/(M1+M2+1);b=X zeros(1,M2) -X;a=1 -1;OMEG=-pi:pi/100:pi;H=freqz(b,a,OMEG);subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H);subplot(2,1,2),plot(OMEG,180/pi*unwrap(angle(H);運(yùn)行結(jié)果如題1-12圖所示：題1-12圖頻率響應(yīng)曲線圖10.1-13設(shè)某線性時(shí)不變離故系統(tǒng)的差分方程為y(n -1) -一 y(n) + y(n+1) =x(n),試求匕的3單位脈沖響應(yīng)。并討論其

27、因果性和穩(wěn)定性，并用 MATLAB計(jì)算，與理論值進(jìn)行比較-10斛：y(n -1) y(n) - y(n 1)=x(n) 3對(duì)上式兩邊取Z變換，得到:1 iozY(z)§Y(z) zY(z)=X(z)H(z) =z一留zz二 1z 1(z-)(z-3)311¥1-極點(diǎn)：zp1 =3 , zp2 =33當(dāng)ROC： z>3時(shí)，系統(tǒng)因果不穩(wěn)定，h(n)=父3n3fu(n)；8當(dāng)ROC: l<z|<3時(shí)，系統(tǒng)非因果穩(wěn)定, 33 n5h(n)=8 -一1)«3)u(n)；,1 . . .3當(dāng)ROC： z<時(shí)，系統(tǒng)非因果不穩(wěn)定，h(n)=父33nu(n1

28、)。3 81-14給定下述系統(tǒng)的差分方程，試判定系統(tǒng)是否是因果、穩(wěn)定系統(tǒng)，并說(shuō)明理由，如果是穩(wěn)定系統(tǒng)，通過(guò) MATLAB畫出其零極點(diǎn)圖。4 N(1)y(n) =£ x(n -k) N5 2) y(n) = x(n) + x(n +1)6 3) y(n)=x(n + n0)解：(1)只要N之1 ,該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因?yàn)檩敵鲋慌cn時(shí)刻的和n時(shí)刻以前的輸入有關(guān)。如果x(n) < M , y(n)| < M ,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。MATLAB 畫出零極點(diǎn)，如題1-14圖(a)所示：N0=100;X=N0-1;b=1 zeros(1,X-1) -X;a=1 -1;zplane(b

29、,a);10.8.2 o.-0 6-0.8-1-Q.50口,51Real Part題1-14圖(a)零極點(diǎn)示意圖(2)該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，因?yàn)?n時(shí)刻的輸出還和 n時(shí)刻以后的輸入有關(guān)。如果x(n) £ M ,則 y(n) £x(n)十|x(n+1) <2M ,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。MATLAB畫出零極點(diǎn)圖如下:b=1 1;a=1 0； zplane(b,a);EE?«DE6aEl_-1oReal Part題1-14圖(b)零極點(diǎn)示意圖(3)系統(tǒng)是非因果系統(tǒng),因?yàn)閚時(shí)刻輸出和n時(shí)刻以后的輸入有關(guān)。 如果x(n) < M ,y(n) <M ,因此系統(tǒng)是

30、穩(wěn)定的。1-15求下列單位脈沖響應(yīng)的 Z變換及收斂域，用 MATLAB畫出零極點(diǎn)分布圖。(1)、0() nu n (2)、ejnu(n)(3)、o )()0nun解：(1)由Z變換的公式可得其 Z變換為： -J=，z>0.2o1 -0.2z z -0.2利用MATLAB畫出其零極點(diǎn)，程序及運(yùn)行結(jié)果如題1-15圖(a)所示：b=1 0;a=1 -0.2;zplane(b,a);題1-15圖（a）零極點(diǎn)示意圖1（2）利用z變換公式可得：其z變換為 旌，z >e31 -ej 0zMATLAB畫出零極點(diǎn)如下題 1-15圖（b）所示： w0=2*pi;x=exp(j*w0);b=1;a=1

31、-x;zplane(b,a);ebcl-D.6-1-0.500.51Real Part題1-15圖（b）零極點(diǎn)示意圖ej 0n - e-j 0n.1(3) 因?yàn)?cos(4n)=,由(2)知 emnu(n)的 Z 變換為 j21 -ej 0ze j®nu(n)的Z變換為111 -z cos C所以得出 cos0n)u(n)的變換經(jīng)化間得： 2,z >11 -2z cos 0 z利用MATLAB畫出其零極點(diǎn)如下題 1-15圖(c)所示:w0=pi/4;b=1 -cos(w0);a=1 -2*cos(w0) 1;zplane(b,a);題1-15圖(c)零極點(diǎn)示意圖1-16已知系統(tǒng)

32、函數(shù)如下:用MATLAB編程判斷(z 8)(z-2)2z4 -2.9z3 0.1z2 2.3z -1.5系統(tǒng)是否穩(wěn)定 解： MATLAB 程序如下：A=2 -2.9 0.1 2.3 -1.5P=roots(A);M=max(abs(P);if(M<1) disp('系統(tǒng)穩(wěn)定')else disp('系統(tǒng)不穩(wěn)定')end運(yùn)行結(jié)果如下：2.0000-2.90000.10002.3000-1.5000系統(tǒng)穩(wěn)定1-17設(shè)一因果LTI系統(tǒng)的差分方程為y(n) -2y(n -1) 3y(n -2) =x(n) 4x(n -1) 5x(n -2) -6x(n -3)并且

33、已知初始條件為y(q)=_1, y(2) =1 ,輸入x(n) =0.2nu(n),利用MATLAB 求系統(tǒng)的輸出y(n)。解：用迭代法求取10點(diǎn)數(shù)據(jù)y=zeros(1,10);i=1:10;y(1)=-2-3+1;y(2)=2*y(1)+3+1+4;y(3)=2*y(2)-3*y(1)+1+5+4*0.2;y(4)=2*y(3)-3*y(2)+4*0.2A2;for n=5:10y(n)=2*y(n-1)-3*y(n-2)+4*0.2A(n-2);endstem(i-1,y);xlabel('n');ylabel('y(n)');結(jié)果如題1-17圖所示：芟40

34、0題1-17圖輸出響應(yīng)y(n)1-18 一系統(tǒng)的差分方程描述如下:y(n) 0.81y(n-2) = x(n) - x(n-2)試確定該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，并求出輸入序列為x(n) = 10+ 10cos(吧)+ 10cos(nn )2的穩(wěn)態(tài)輸出。z2 1；1 ej' '解：由差分方程可得出 H(z)=, H(ej) =許z2 0.811 0.81ej ,其特征根為4、2 = W.9j ,所以該系統(tǒng)為一穩(wěn)定系統(tǒng)。當(dāng)輸入序列為x(n) =10+10cos(處)+10cos(nn)時(shí)，由穩(wěn)態(tài)輸出的定義，我們可以 2Cj 二計(jì)算出：H(ej0)=0, H(e 2)=10.53, H (e

35、jJI) = 0。所以其穩(wěn)態(tài)輸出為n 二、y(n) =10.53cos()2用MATLAB 畫出其頻率響應(yīng)：程序如下：b=1 0 -1;a=1 0 0.81;OMEG=-pi:pi/100:pi;H=freqz(b,a,OMEG);subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H);subplot(2,1,2),plot(OMEG,180/pi*unwrap(angle(H);運(yùn)行結(jié)果：15題1-18圖頻率響應(yīng)曲線1-19考慮一個(gè)三階系統(tǒng)y(n) -0.4y(n -1)-0.2y(n -2) 0.8y(n -3) =5x(n)輸入x(n) =u(n),初始狀態(tài) y(1) = 2,

36、y(2) =4和y(3) =5 ,利用狀態(tài)方程方 法求出y(n)。解：定義 q(n) = y(n 3) , q2(n) = y(n 2) , q3(n) = y(n 1),差分方程可以寫為如下狀態(tài)方程的形式：一 0101-01q(n+1)=001q(n)+ 0 x(n) -0.8 0.2 0.4 _j 上y(n) - 1-0.8 0.2 0.4q(n) 5x(n)可計(jì)算出 4(0) =5, q2(0)=4, q3(0)=2。其MATLAB程序如下：%狀態(tài)方程求解系統(tǒng)響應(yīng)演示程序A=0 1 0;0 0 1;-0.8 0.2 0.4;B=0；0；5;C=-0.8 0.2 0.4;D=5；q0=5；

37、4;2;n=0:1:25;X=ones(size(n)'Y, s=dlsim(A,B,C,D,X,q0);stem(n,y);xlabel( 'n');ylabel('y(n)');grid;題1-19圖輸出響應(yīng)y(n)第二章1試求如下序列的傅里葉變換：(1) % (n) = &(n - n°)11(2) x2(n) =-$(n+1)+$(n)-6(n-1)22(3) x3(n) = anu(n+2),0<a<1(4) x4(n) =u(n +3) -u(n -4)(5 )oOX5 (n)=.二k -0n -3k)(6 )c

38、os 二 n 3 , -1 _ n _ 4x6寸0, 其他解：(1)X1(ej ) = "，、：(nn0)e,n =e'n°(2 )X2(ej )= 二 x2(n)e-j n =1ej， 1n)2-1e-j"2=1 j si n(3 )X3(ej ) = " anu(n 2)enn 二二二=zn -2anejnX，0 1 1-aej(5 )(6)2-2設(shè)信號(hào)odX4(ejE) = E L(n+3)-u(n -4)=n 二二二3z ,n -33、enn=03 ej nn 11 T . 1 -ejej _ 1 e jej3' 1-e"

39、;1-ej''_ 1 -e-j 1二二 1X5(ejW) = £ Z I 1 n=D0k=0 14 /(n -3k)e-jn ,y1、3k=£ Lk=014，-ho=£k =03k14叫一X6(e ) =、cos n i 34. jn - - yne =、n -4、92n =01j4(二一 e2JTjq-)n3j 一 )9e 3TTj(3)e 3.KJ'.ji、+ e%.7 sin 一 展 .2.1 sin 伽 2e-j e1j4(-) 9 j(- - )ne 3 e 32n =01 j4(詞)1 + e 3 一x(n) =1,2，二321

40、，它的傅里葉變換為j(- ' )9 | e 3J +eX(em),試計(jì)算 X(ej0) (2) X X(ej?ds (3) J X(ej*ds。n 二二解：(1) X(ej0) = Z x(n) = -1n1 二 i.二 _ . . 一 _(2) x(0)=X(e0°)d8=3, f X(e°)dco = 6n2 二,一二-二TT j 212(3) J X (e"°) dco=2n£ x(n) =38n-二n -22 -3已知X(j)=,1|s |HSog ©0 <|o |<H求X(ej/的逆傅里葉變換x( n)。

41、解:x(n)=e2二一oi n sin ondf 二2 4設(shè)X(e號(hào)和Y(ej°)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換。(1) x(n - no)* ,、 x (n)(3) x( -n)(4) nx(n)oCi解：(1) DTFT x(nn0) = Z x(n -n0)e-iC'J ,令 n =n n0,n = n +n0,則:n 二二二DTFTx(nn0) = " x(n je(n n0)e-j n0X(ej )(2)DTFT x*(n)=_x*(n)e nn =.：二=x(n)ej n =X (eT )_nh。JoO(3) DTFT【x

42、(n)=£ x(n5，令 n = n ,貝U ： n 二二二二DTFT(x)卜工(x n，ne附 e)n .l-nx(n) 1由 X(ej&)=£ x(n)ej",得 "X,e 5 = _ j £ nx(n)e-j01 = - jFTn 二:'n所以 DTFT Inx( n)- j：X(ej')2 5已知序列x(n) =2nu(n),求其傅里葉變換 dtft。解：X(ej )= _2nu(-n)eJ n = _2nej n二 11&j )n;：7 21-ej '22 6設(shè)x(n) = R(n),試求x(n

43、)的共軻對(duì)稱序列xe(n)和共軻反對(duì)稱序列 xo(n)；并分別用圖表不。解:1Xe n :|_R4 nR4 -n ,1 _xo n 2 |_R4 n - R4：n圖形如下題2-6圖所示:Xo (n)1237(h)題2-6圖xe(n)與xo(n)序列圖2 -7設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) h(n) = 2anu(n) , 0 < a < 1,輸入序列為x(n) = 2 (n) (n -1)完成下面各題:(1) 求出系統(tǒng)輸出序列y(n);(2) 分別求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里葉變換。解：(1) y(n) =h(n)*x(n) =2anu(n)中 匕&(n)+6(n-1)】

44、= 2anu(n)+ 2an"u(n-1)00(3) X(ej®) = £ 126(n)+6(n-1)13 = 2+eT6nH(ej ) = " 2anu(n)e,nn -=32anen n=02- 1 -ae-j ,Y(ej )=H(ej ) X(ej )=牛 e.)1 -ae 12 8若序列h(n)是因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式:HR(ej ) = 1 cos求序列h(n)及其傅里葉變換 H(ej°)oi.1 i. 1 i.解：H R(e )=1 cos -1 e e22od= DTFT Ihe( n) ,1 - 9 he(n)e,n

45、1口-1he(n)=11,n =0=120,n ：二 0h(n) =< he(n), n =0k2he(n),n >00,n ： 0, n 1=<1,n = 01,n = 1H(ej )八 h(n)ejn =1 e1=2e-j '/2cosn -.：22 9試用定義計(jì)算周期為 5,且一個(gè)周期內(nèi)x(n) =21,3,0,4的序列X(n)的DFS。4解：X(k)=£ X(n)eT鏟=2+eT干+3eTg+4e-j呼 n=02 -10 求出周期序列 X(n) = 110,1,2,3, 0,1,2,3,0,1 ,2,3, 11卜的 DFS。解：由題知X(n)周期為4

46、3-3一一X(k) X(n)e+4八X(n)eT2'=eH'2-2ejk3e+2n =0n =0= 2(-1)k Ze/ ejk(ej2" e-j2k)211證明：已知周期為N的信號(hào)x(n),其DFS為X(k),證明DFS的調(diào)制特性DFSW；X(n)= X(k+l)。, NDFSW；x(n)- WNn1*(n)evn=0N 1 , ,2 -k-n2 -nl八x(n)e八士n 0N 12 -(k l)n=、x(n)ej.Ln 0= X(k 1)命題得證。2-12x(n) = .1, n = 0,10,其他將x(n)以4為周期進(jìn)行周期延拓，形成周期序列(n),畫出x(n)

47、和(n)的波形, 一求出x(n)的離散傅里葉級(jí)數(shù) X(k)和傅里葉變換。3解：或k) = DFS x(n) I -% x(n)e2：-.-j 一k 二n =01en =0_jk=1 e 2. e-j；k.JI.j4k e 4.ji.-j, k- e 4= 2cos 三 k 4x(k)以4為周期。X(ej ) =DTFTlx(n) 1 =oOz k 二二二x(k) ( 31冗k) = % x(k) ( - k)2k2jioO二二“ cos(k)ek -：4寸 二、( 一k)2x(n4D(n)波形圖如下題2-12圖所示:*X(?7)A012 3-21(b)題2-12圖*“)和”)波形圖213如果X

48、(n)是一個(gè)周期為N的周期序列，其 DFS為X1(k),將X(n)看作周期為2N周期序列,其DFS為X2(k)。試?yán)肵1(k)確定X2(k)。解：按照題意,可以寫出:NdNX1(k) = v (n)WNkn = " (n)en=0n q0N 1X2(k)=，X(n)W2Nknn =02 J一knNN產(chǎn)n=£ (n)e N 2 n z02N 1二 X(n)en小N 1X2(k)二.二n =0X(n)eN 1+ 乙 x(n'+N)en'd02kT (n'"N)N2N 4二(1 e-jkn)v' X(n)en=0二(1 ekn)Xi k

49、2所以2X1 k ,k=evenXz(k)=2 J0, k=odd214根據(jù)下列離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換，確定各對(duì)應(yīng)的信號(hào)x(n)。(2)解：(1)因此X(ej')=16e，1X(ej) = " (1)k、：(.X(ej )=1 6eeJ"-6e-j ,(eJ -3)(e_j , - 2)x(n) = 5臼-5皿)(2)因?yàn)閄(ej°)含有沖激函數(shù)，因此，對(duì)應(yīng)的信號(hào)為周期信號(hào)，設(shè)為，X(n),其周期為 N , DFS 為 X(k) =ak,則有:1 NX(n)= IDFSX(k) % X(k)eNX(n)的 DTFT X(e號(hào),有X(ej )=oO“ X(

50、k)、( ,k)工ake Njk(-2-)n N oO'、：ak ( -k 二二k)2 jk( )n i N 2二 V ak、-k 二二二k)而已知X(ej ) =、 (-1)k、(， -可見N =4,2a=(-1)kak(-1)k所以1 3jk 二 nx(n)=4je 234kz0(-1)k jk2nej(1 _e 2j匕+ ejW-e 2 , n = 0, 1, 2, 3得X(n)是以0,0,0為周期的周期函數(shù)。215計(jì)算以下諸序列的 N點(diǎn)DFT ,在變換區(qū)間0 M n M N -1內(nèi)，序列定義為x(n) = 1(2) x(n) = Rm(n) , 0 <m< N(3)j 2mnx(n)=e N ,0 ； m 二 N(4)x(n) =“n n0),其中 0<n0 < N(5)x(n) =u(n)u(nn0),其中 OWn。<N解：(1)X(k)6 1 WNkn 八 e_j=：kN 1 -e Nj 1 -e NN,k = 00,k = 1,2，N -1J(2)mkmX(k) =、' W；n =Vnm 1-W；(n- sin I mk4*、 N(n )sin - kN(3)N 1