1、授課人：劉建平1 1、在區間、在區間 內，如果內，如果 ，那么，那么函數函數 在這個區間內單調遞增；在這個區間內單調遞增；如果如果 ，那么函數，那么函數 在這個區在這個區間內單調遞減。間內單調遞減。),(ba 0 xf 0 xf)(xf)(xf思考：思考：“ ”是函數是函數 在區間在區間（a，b）內單調遞增的充要條件嗎？）內單調遞增的充要條件嗎？ 0 xf)(xf 不是充要條件，函數不是充要條件，函數 在區間（在區間（a，b）內）內單調遞增的充要條件是單調遞增的充要條件是“ ，且在，且在（a，b）的任意子區間內，）的任意子區間內， 不恒成立。不恒成立。” 0 xf)(xf 0 xf 否，否，“

2、 ”只是只是“ 為函數為函數 的極值的極值”的必要條件。的必要條件。0)(0 xf)(0 xf)(xf思考：思考：“ ”是是“ 為函數為函數 的極值的極值”的充要條件嗎？的充要條件嗎？0)(0 xf)(0 xf)(xf2 2、求函數極值的方法：、求函數極值的方法：解方程解方程 ，當，當 時，時，如果在如果在 附近左側附近左側 ，右，右側側 ，那么，那么 是是 的極大值；的極大值；如果在如果在 附近左側附近左側 ，右，右側側 ，那么，那么 是是 的極小值；的極小值；如果在如果在 附近左、右側附近左、右側 的符號相的符號相同，那么同，那么 不是不是 的極值。的極值。0)( xf0)(0 xf0 x

3、x 0 xx 0 xx )(xf )(0 xf)(xf)(0 xf)(0 xf)(xf)(xf 0 xf 0 xf 0 xf 0 xf3 3、求函數、求函數 在閉區間在閉區間 上的最值的步驟：上的最值的步驟：求函數求函數 在在 內的內的 ；將函數將函數 的各極值與的各極值與 進進行比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個行比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值。就是最小值。注意：當注意：當 在在 有且只有一個極值有且只有一個極值（即函數（即函數 的圖象是單峰的）時，的圖象是單峰的）時，若若 是極大值，則必是是極大值，則必是 ；若若 是極小值，則必是是極小值，則必是 。 xfy

4、,ba),(ba xfy xfy xfy ),(ba 0 xf 0 xf 0 xf極值極值兩端點處的函數值兩端點處的函數值最大值最大值最小值最小值 xf1 1、函數、函數 的單調遞減區間的單調遞減區間是是 。 xxxfln2 （0 0，2 2）易錯解：易錯解： )2 ,(忽視定義域忽視定義域原因：原因：2、若函數若函數 在區間在區間 上是增函數，則實數上是增函數，則實數a的取值范圍是的取值范圍是 .xaxxfcos)( 2, 0 ), 1 ), 1( 求參數的取值范圍不能用充分條求參數的取值范圍不能用充分條件，而要用充要條件件，而要用充要條件原因：原因：易錯解：易錯解： 只是只是 為極值的必要

5、條件為極值的必要條件0)(0 xf)(0 xf3 3、已知函數、已知函數 在在x x=1=1時取得極值，則實數時取得極值，則實數a的值為的值為 . .xaxaxxf)2(2131)(223 2 1或或-2原因：原因：易錯解：易錯解： 的解集是的解集是不等式不等式則則，且，且有有時，時，當當上的奇函數和偶函數上的奇函數和偶函數分別是定義在分別是定義在、，其中，其中已知函數已知函數0)(, 0)3(0)()()()(0.)()()()()(. 4 xFFxgxfxgxfxRxgxfxgxfxF ), 3(0 , 3A. )3 , 0(0 , 3.B ), 3(3,.C )3 , 0(3,.D 是奇

6、函數，且在是奇函數，且在 x0 時時是增函數，特殊情況下圖象如右：是增函數，特殊情況下圖象如右：)(xFD D1 1、利用導數研究函數單調性利用導數研究函數單調性例例1 1 已知函數已知函數 ，其中，其中 a 為為正常數，求函數正常數，求函數 的單調區間的單調區間xaxxfln21)(2 xf), 0(),(aa，遞減區間是，遞減區間是答：遞增區間是答：遞增區間是變式互動變式互動1 1：若將條件：若將條件“a為正常數為正常數”改為改為“a為實常為實常數數”，結論還一樣嗎？，結論還一樣嗎？變式互動變式互動2：若函數：若函數 f（x）在區間）在區間1，3上是減函上是減函數，求數，求 a 的最小值。

7、的最小值。2 2、利用導數研究函數極值、最值利用導數研究函數極值、最值例例2 2 已知函數已知函數 . .若若 ， ，試求函數試求函數 的導數；的導數；設設 ，證明不等式，證明不等式xxxfln)( )2(2)()()(xafxfafxg 0 a)(xg0 b0)2(2)()( bafbfaf, 1ln)()1( xxf例例2 2解答解答 )2(xaf)2)(12(ln xaxa)12(ln21 xa2lnln)(xaxxg , 02lnln)()2( xaxxg由由例例2 2解答解答ax 得得,0時時當當ax ,22axxax ; 0)( xg0)(, xgax時時同理，當同理，當,)()(

8、的極小值的極小值是是xgag.也是最小值也是最小值, 0)( ag而而即原不等式得證即原不等式得證. 0)( bg, 0 b又又,2xax ,2lnlnxax 故故3、利用導數解決實際問題利用導數解決實際問題 例例3 某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距相距 m 米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經預測，一個橋墩的工程費用為橋面和橋墩，經預測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為萬元，距離為 x 米的相鄰兩墩之間的橋面工米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為程費用為 萬元。假設橋墩等距離分布，萬元。假設橋墩等

9、距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為工程的費用為 y 萬元。萬元。 試寫出試寫出 y 關于關于 x 的函數關系式；的函數關系式； 當當 m =640米米時，新建幾個橋墩才能使時，新建幾個橋墩才能使y最小？最小？（2009年湖南卷理）年湖南卷理）16)2(xx )0(25682561616)2(256 )1(1,)1(1)1( xmxmmxxxxmxmyxmnmxnnn座橋面。座橋面。個橋墩，則還需建個橋墩，則還需建設還需建設還需建例例3 3參考答案參考答案最最小小。個個橋橋墩墩，使使答答：需需新新建建值值。此此時時，取取得得極極小小值值，也也是是最最小小時時，故故時時時時，得得由由，時時，函函數數式式可可化化為為ynyxyxyxxyxxyxxym9964. 0,64, 064064, 01761625640,176)16256(40640)2(22 例例3 3參考答案參考答案3 3、證明不等式時常先構造函數，再利用導數分析、證明不等式時常先構造函數，再利用導數分析其單調性或求其最值。其單調性或求其最值。 xf2 2、 是函數是函數 在某區間上為在某區間上為增函數（減函數）的增函數（減函數）的充分條件充分條件，充要條件