1、第二周1八年級數學培優班第二周課程2第二周第五節打破沙鍋分式的化簡與求值第六節刨根問底無理數與實數第七節化整為零，化零為整二次根式第八節分母不能無理分母有理化第九節戴著帽子的“兔”含字母系數的方程第十節代數式的變形與求值穿上變形衣的“兔”第五節化簡與求值同學們,加油!【知識要點】化簡的常用方法：因式分解法、公式法、設 K 法、月日換元法、整體代入法等。【課前熱身】115ba1已知： +=，求 +的值。ababa + b2已知 x + y = -2, xy = -1 ，求 y +1 + x +1 的值。x +1y +13【典例例題】【x 2 - 2 y 2 + 3z 2xyz例 1已知 =，求2

2、34的值。xy + 2 yz + 3zxx -1 + (xy - 2)2 = 0 ，例 2已知1111試求+L+的值。xy(x + 1)( y + 1)(x + 2)( y + 2)(x + 2000)( y + 2000)4( x + y )( y + z )( z + x)x + y - zx - y + z-x + y + z=，且 xyz ¹ 0 ，求分式例 3已知的值zyxxyz，求 z + y 的值。例 4如果 1 =23=xy + zz + xz5x2 + x - 3x - 2)( x - 3)ABC=+例 5已知，求 A、B、C 的值(x -1x - 2x - 3ba

3、2 + b2a例 6已知： 3a + ab - 2b = 0(a ¹ 0, b ¹ 0) ，求： -22的值。baab6px + qy + rz 等于多少？x + y + zpqr例 7已知： p + q + r = 9 ，且=，則x2 - yzy2 - zxz2 - xy7課堂練習1已知： a2 + a3 + a4 = a1 + a3 + a4=，求k 。a212已知： a + x2 = 2001， b + x2 = 2002 ， c + x2 = 2003 ，且abc = 24 ，求代數式+- 1 - 1 - 1 的值。bcacababcabc81a + 3a2 - 2

4、a +13已知實數a 滿足a + 2a - 8 = 0 ，求-´2的值。a +1a2 -1a2 + 4a + 32x - 3-AB=+ ，其中 A、B 為常數，求 A+B 的值。4已知：-1x9課后作業成績： p3 + q3s + t1已知 p 與q 互為相反數（ p ¹ 0 ），-s 與t 互為倒數。求的值。p3 - q3s2t + st 2a - b3a2 - 5ab + 2b21=，求2已知：的值。2a2 + 3ab - 5b2b210x2æ1ö3已知 x - 4x +1 = 0 ，求2÷ 的值。øxyz4設a =, b =,

5、c =，且 x + y + z ¹ 0 ，y + zz + xx + yabc+求的值。a +1b +1c +111第六節無理數與實數日期： 【知識要點】1無 理 數定 義:無限不循環小數叫做無理數.如=3.1415926， 2 = 1.414213，1.010010001，都是無理數。注意：既是無限小數，又是不循環小數，這兩點必須同時滿足；無限不循環小數與有限小數、無限循環小數的本質區別是：前者不能化成分數，而后兩者都可以化成分數；凡是整數的開不盡的方根都是無理數，如2 、 3 等。2實數有理數和無理數統稱為實數。正有理數0負有理數有限小數或無限循環小數有理數實數正無理數無理數無限

6、不循環小數負無理數3實數的幾個有關概念相反數：a 與a 互為相反數，0 的相反數是 0。a+b=0 Û a、b 互為相反數。倒數：若a ¹ 0 ，則 1 稱為 a 的倒數，0 沒有倒數。ab = 1 Û a 、b 互為倒數。a絕對值：一個正實數的絕對值是它本身，一個負實數的絕對值是它的相反數，0 的絕對值是 0。ìa(a > 0)= ï( = 0)aí0 a即ï- a(a < 0)î12【典型例題】2× × 3 ， 0.412 ，0.10110111011110， -例 1在實數 3

7、.14， 3.33335哪些是有理數，哪些是無理數？，256中，例 2（1）下列說法中，正確的是（）A帶根號的數是無理數B無理數都是開不盡方的數C無限小數都是無理數D無限不循環小數是無理數（2）下列說法正確的是（）A若 a 為實數，則 a 大于aB實數 m 的倒數一定是 1m=xy，則 x=yC若實數 x、y，有D任何負數的倒數都小于它的相反數13例 3 3 -5 的絕對值與 5 -3 +2 的相反數之和的倒數的平方為。例 4 設 a、b 互為相反數，但不為0， c、d互為倒數， m 的倒數等于它本身， 化簡¸ 1 + æ 1 + 1 ö m - m 的結果是c。

8、ç ab ÷mdèø例 5試比較下列各組數的大小；1， - 1 ， -310（2） -（1） 35 和211p1014例 6（1）實數 a、b、c 在數軸上的位置如下圖，化簡 a - b + b - c - c - acboa（2）當0 < x < 1時， x2 、 x 、 1 的大小順序是（x）2ABCD例 7（1）已知a 、b 為實數，且a2 + b2 - 4a - 2b + 5 = 0 ，求ab -1 的值。15x2 -1 +y +1 = 0 ，求 x2001 + y2002 的值。（2）若例 8 已知 a +1 = 2 ， b + 3

9、 = 1，求 a+b 的最小值。16課堂練習A 組1小數，叫做無理數。2大于- 10 的負整數是。31-2 的相反數是 絕對值是 倒數是 4比較大小：743 （填“”，“”或“”）9 ， p1335在數 144 ， 6 ， (- 2 )2 ，1.23 ，×，0.232232223（兩個 3 之間依次多一個 2）中無理數的個數有（）A3 個B4 個C5 個D6 個6下列命題中，正確的個數是（）兩個有理數的和是有理數；兩個無理數的和是無理數；兩個無理數的積是無理數；無理數乘以有理數是無理數；無理數除以有理數是無理數；有理數除以無理數是無理數。A0 個B2 個C4 個D6 個177（正確的

10、打“”，錯誤的打“×”）帶根號的數是無理數；（） -a 一定沒有意義；絕對值最小的實數是 0；（）（）平方等于 3 的數為 3 ；有理數、無理數統稱為實數；（）（）1 的平方根與 1 的立方根相等；（）無理數與有理數的和為無理數；（）無理數中沒有最小的數，也沒有最大的數。（）x= 2 ，則 x 等于（8已知）A 2C ± 2B1.414D ±1.414= -x ，則（x9已知實數 x 滿足）A x > 0C x < 0B x ³ 0D x £ 010 2 ， 3 ，1 2 的大小關系是（）5A 2 <3 < 125C 2

11、 < 12 <35B12 <2 <5D 3 < 12 <53218B組p12211 ， ，3.1416，0.5， 2 ,中，有理數的個數是（）327A1 個B2 個C3 個D4 個12a 為正的有理數，則a 一定是（）A有理數B正無理數C正實數D正有理數13下列四個命題中，正確的是（）A倒數等于本身的數只有 1B絕對值等于本身的數只有 0C相反數等于本身的數只有 0D算術平方根等于本身的數只有 114下列說法不正確的是（）A有限小數和無限循環小數都能化成分數B整數可以看成是分母為 1 的分數C有理數都可以化為分數D無理數是開方開不盡的數， (a -1)2 中

12、一定是正數的有（B2 個15代數式a2 +1 ，x ，y）A1 個C3 個D4 個16 -m 是有理數時，一定有（A m 是完全平方數）B m 是負有理數19C m 是一個完全平方數的相反數D m 是一個負整數173 的負倒數是（）A3B3C 13D - 13= 2 ，= 3 ，且 xy < 0 ，則 x + y 的值為（18已知xy）A1B±1C5D±519已知 a 為有理數，b 為無理數，則 a+b 為（）A整數B分數C有理數D無理數20一個數是它的倒數的 4 倍，則這個數是（）A4B±4C2D±221已知 2a +1 + b -1 = 0 ，

13、則-a3 + b3 =。22 -22 + (3 - p )0 +3 - 4 =。20C組23一個正數擴大到原來的 9 倍，則它的算術平方根擴大到原來的。24若 a -p=p - a ，則 a - 4 =。25若 a=5，b= -2 6 ，則 a2 + b2 + -a=。26比較下列各組實數的大小：（2） - 22 與-p（1） - 3 +1與- 5 +1；721（4） -與- 11（3） 3 3與2 72p727已知 y =x - 2 +2 - x + 4 ，求 x y28已知 a、b 互為相反數，c、d 互為倒數。a2 - b2 a2 + b2 - cd 的值。求：22課后作業成績： 1化簡

14、 1-+2 - 3+ 2 - 322 - y 互為相反數，求 x y 和( xy )-1 的值。2已知 2x - 6 與3已知 x 、 y 是實數，且( x + y -1)2 與求：實數 yx 的負倒數。2x - y + 4 互為相反數。234已知4x2 + y2 - 4x +10 y + 26 = 0 ，求12x - y 的算術平方根。5若a ¹ b, a, b, a -b 都是有理數，那么 a 和 b （A、都是有理數）B、一個是有理數，另一個是無理數C、都是無理數D、是有理數還是無理數不能確定6已知實數a 滿足 1992 - a +a -1993 = a ，那么a -19922

15、 的值是（）A、1991B、1992C、1993D、19947若(x - 2003)2 + 14 + y= 0 ，則 x -10(2 - y)2 + 3 y=。24第七節二次根式成績： 【知識要點】1二 次 根 式定義：式子 a (a ³ 0) 叫做二次根式。性質： (a )2 = a (a ³ 0),反之a = ( a )2 (a ³ 0)= a (a ³ 0),反之 a =a2 (a ³ 0)a22二次根式的乘、除法運算(a ³ 0,b ³ 0)a × b =ab乘法運算aba (a ³ 0, b &

16、gt; 0)=除法運算b3二次根式的加、減法運算（1）最簡二次根式被開方數的因數是整數，因式是整式即被開方數不含有分母。被開方數中不含有能開得盡方的因式或因數。（2）同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式。同類二次根式時，注意以下三點都是二次根式，即根指數都是 2；必須先化成最簡二次根式；被開方數相同。（3）加減法步驟先把各根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式。合并同類二次根式的方法與合并同類項類似。4分母有理化把分母中的根號化去，叫做分母有理化。由分式的基本性質和二次根式的性質可以得到分母有理化的方法：a = a ×

17、babab (a ³ 0, b > 0)=bb × bb25b2【典型例題】例 1計算化簡下列各題：2æ5 ö（1） (32 )2（2） ç÷5èø27 öæ 1（3） - ç 79 ´144 ´ 8（4）2 ÷èøæ2 ö32（5） 5 6 ´ ç -3´2（6）303 ÷223èø例 2計算化簡下列各題：（2） (ab a2 + b2 )2（1）

18、(ab )2 (b ³ 0)21ab ö2æ a + ba - b öæ（3）ab ç（4） ç a - b÷a + b ÷2èøèø（6） (a2 + b2 )2 - (a2 - b2 )2 (ab ³ 0)（5） 8a3b4c5 (a ³ 0 , c ³ 0)27例 3（1）下列根式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？為什么？（其中 x > 0 ， y > 0 ）。3 ，5xy27x2 y ，4x2 + 3 ，21 ，xx

19、x (x2 + y2 ) ，4 ( x + y )30.5xy ，28（2）下列根式中，哪些是同類二次根式？為什么？75 ， 123 ， 18 ， 32191250 ，12 ， 43 327（3）下列根式中，哪些是同類二次根式？為什么？（題中字母都為正數）329b127x75xy212， x y， 0.09a b ， y3 3ab，2，27x318a29例 4比較大小：（1） 4 -（2） 7 -6 -3與236 ，5例 5計算下列各題：æ（1） 141 ö - æ 12 öæ（2） 2öæ1.25 - 3ö3 -

20、 3212718 - 3+80 - 5ç2 ÷ç 43 ÷ç÷ç12 ÷èøèøèøèø30æ（3）1 ö ¸2 - æ 6ö0.12 ´9 +8245 -3ç3 ÷ç÷èøèøy + x + 2 -xyxy8a + 3a 50a3 - a 18a32-（5） a2（4）yx課堂練習A 組1 49a

21、3 ( x - y )2 = ( x > y, a > 0) 。2 x4 y2 (x2 + 2xy + y2 ) =( x > y ³ 0)3化簡：125 x4 y536（2） 90ab3 (c +1)2（1）32（4） 13a ´æ - 275a ö（3） 4x2 + 64x2 y2ç÷34è5ø4計算：x2x46（1） 0.5 3a b ´ 823´´54bc（2）32121a422ab3（3）（4）81b11a2333bca4 (b + c)（5）（6） 322

22、7c8a´4a4b49ca ´ 32a8a2 ¸ 6（7） 42234課后作業成績： 1下列根式中，與12 是同類二次根式的是（）B 3A2C 5D 72在二次根式45 ，18 ，75 ，32 ， 8 中，與2 是同類根式的個數為（）A1 個B2 個C3 個D4 個323根式 12 、24 、中，與6 是同類二次根式的是（）A只有B有、C有、D不存在4下列各組二次根式，同類二次根式是（）A 136 ， 32B 3 5 ，15C 12132312 ，D8 ，355填空題75 + 2 8 -200 = （1）20 - 3 45 +（2） 280 = 48 +27 +（

23、3） 2243 = （4） 575 - 4 12 - 5 108 = 361 =294 -252 + 48（5）6（6）216 = 2（7）216 = 337第八節分母有理化日期： 【知識要點】1分母有理化定義把分母中的根號化去，叫做分母有理化。2有理化因式兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下：單項二次根式：利用 a × a = a 來確定，如：理化因式。a與 a ， a + b與a + b ， a - b 與a - b 等分別互為有兩項二次根式：利用平方差公式來確定。如a +b 與a - b ， a +b與

24、 a -b ，a x + b y與a x - b y分別互為有理化因式。3分母有理化的方法與步驟先將、分母化成最簡二次根式；將、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后結果必須化成最簡二次根式或有理式。38【典型例題】例 1把下列各式分母有理化（2） -413（1）483 7（3） 11（4） - 1321255039例 2把下列各式分母有理化2x2（1）（2）a - b8x3 ya2b2b5 a58x3（4） -（3） x例 3把下列各式分母有理化：5 +23（1）（2）2 -15 -33 3（3）3 2 - 23已知 x = 2 -3 ， y = 2 +3 ，求下列各式的值：（1

25、） x + y （2） x2 - 3xy + y2 。例 4x - y2 +2 -33例 5把下列各式分母有理化：（1） a - b (a ¹ b)（2） a + 2 -a - 2a + 2 +a - 2a + b42b -a2 + b2（3）b +a2 + b2例 6計算：1 éæ 1+5 ö ù225 öæ 1-ê5 çúúû- ç（1）÷÷êëè22øèø111+（2）1 +2 +

26、99 +2310011例 7（1）已知 x =， y =，求10x2 + xy +10 y2 的值。2 -2 + 33（2）化簡并求值： a +ab - b ，其中a = 2 +ab +3 ， b = 2 -3ab + ba - ab45課堂練習A組1計算（1） - 32 - 112775 + 2 0.5 - 32æ（2） 10öæ 520 -ö2451 + 2534 - 357ç÷ç 4÷èøèø1 + 41275 - 3（3） 385346（4） æ 163 -

27、 127 ö + æ 328 - 348 + 2 147 öç 2÷ç 2÷è3øè47ø2設梯形上底為 a，下底長為 b，高為 h，面積為 s。（1） a =85 ， b =2 ， h =6 ，求 s；（2） a =5 ， b =20 ， h =5 ，求 s；（3） a = 2 3 ， b = 3 12 ， h = 4 3 ，求 s；473 +2 ，求x x - 53已知 x =的值。3 -2bb4已知a =2 ， b =-3 ，求的值。a -ba + b48課后作業成績： 1計算：

28、4332 - 11 +（1） 5 96 + 224 - 512 + 327 + 4（2）12.581 - 1（3） 5 0.2 - 20.5 + 4 0.125（4） 3 2 + 422249x2 - y24x + 4 y4x - y（5） 3 x - y +-a - ba - b+（6）a - ba + b3 + 3aa - a2（7）27a 3108aa3450（8） a+4b - æ1 ö1a2- bçb ÷aèø（9） 81a3 - 5a a + 3a4a5xyy +x + 2（10） xy +-+yxxy51第九節含字母系數

29、的方程日期： 【典型例題】例 1解下列關于 x 的方程：（2） (3m +1)x = m(x - 4) (m ¹ - 3).（1）ax+b=bx+a;(ab);4357x - 31例 2已知關于 x 的方程ax+5=2的解 x 與字母 a 都是正整數，求 a。2例 3已知方程 x =ax+1 有一個負根而沒有正根，求 a 的取值范圍。ì5x + y = 7例 4選擇一組 a,c 值使方程組íîax + 2 y = c有無數多解，無解，有唯一的解53ìx + y = a例 5a 取什么值時，方程組í的解是正數？î5x + 3y

30、 = 31ì2x + my = 4例 6m 取何整數值時，方程組íx + 4 y = 1的解 x 和 y 都是整數？î例 7已知關于 x，y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+52a=0，當 a 每取一個值時就有一個方程，而這些方程有一個公共解，你能求出這個公共解，并證明對任何 a 值它都能使方程成立嗎？55課堂練習一、填空1若 2（3-a）x-4=5 是關于 x 的一元一次方程，則 a。2關于 x 的方程 ax=3 的解是自然數，則整數 a 的值為：。3x=2 是方程 2x-3=m- 1 x 的解，則 m=。24若-2x2-5m+1=0 是關于 x 的一

31、元一次方程，則 m=。565當 m=時，方程 5x -1 - m = 2x -1 - 5 的解為 0。2366已知 a0.則關于 x 的方程 3ab-(a+b)x=(a-b)x 的解為。2 x+2a 31 x+4a 343257若與是同類項，則 x=。8當 a=時，方程3x - a = 5x + a -1的解是 x=0。24579若 a0,且方程 a+3x=10 的解是自然數，則 a=.10若（1-3x）2+ 4 - mx =0,，則 6+m2=.11已知方程 x - a = b - x + 2 是關于 x 的一元一次方程，則 a,b 之間b的關系是.a58二、解 答ìx + ky

32、= k1要使方程組íx - 2 y = 1 的解都是整數，k 應取哪些整數值？îm - 5 x2如果方程2 = m + 5x 與方程 5x - 6 = 3x +10 +1 的解相同，4334求 m 的值.59課后作業成績： 一、選擇1方程 ax=b 的解是（）.A有一個解 x= baB有無數個解D當 a0 時，x= baC沒有解2若關于 x 的方程 3(x-1)+a=b(x+1)是一元一次方程，則（）.Aa,b 為任意有理數Ba0Cb0Db33若關于 x 的方程 10- k(x + 3) = 3x - k(x - 2) 與方程 8-2x=3x-2 的54解相同，則 k 的值為(A.0)B.2C.3D.460二、解答題ìx + 3y = a 2 + a - 11a 取什么值時方程組í的解是正數？î9x - 6 y = 9a - 2a + 22ìx + 2 y = 5 - a2a 取哪些正整數值，方程組í的解 x 和 y 都是正整數？î3x - 4 y = 2