1、平面向量全章復習【教學目標】復習平面向量的概念，向量的加法、減法、數乘、向量共線定理、平面向量基本定理，平面向量坐標表示.向量的數量積、數量積的坐標表示，向量的應用。本章知識框架相等向相反向1. 一.基本知識點回顧向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.2. 向量的表示：用有向線段表示；用有向線段的長度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.用字母a、b（黑體，印刷用）等表示；用有向線段的起點與終點字母：AB；向量的長度：向量的大小稱為向量的長度（或稱為模），記作AB.說明：（1）不能說向量就是有向線段；向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同

2、的向量；有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.（2）向量不同于數量.數量之間可以比較大小，向量由模、方向來確定，由于方向不能比較大小，因此“大于”、“小于”對向量來說是沒有意義的.向量的模（是正數或零）可以比較大小.'.幾組特殊的向量：零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0或0.說明：零向量的方向不確定，是任意的，有無窮多個.規定所有的零向量都相等. 單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量. 平行向量（即共線向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.記作a/b.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區別于兩平行線的位置關

3、系；（2）共線向量可以相互平行，要區別于在同一直線上的線段的位置關系.（3）規定：零向量與任意向量平行.相等呻：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.若a與b相等，記作a=b.相反向量:長度相等且方向相反的向量叫做相反向量.向量a的相反向量記為-a.t向|量加法的概專:弓知四量a和b,專面內傳取廠O.作寧=a,AB=b，則向量OB叫做a與b的和，記作a+b，即a+b=OA+aB=OB.求兩個向量和可料算售向蘆的力日法.TT4規定：0+a=a,a十（-a）=（-a）+a=0,即AB+BA=0;向量加法的三角形法則：在使用三角形法則求和時，必須要求向量首位而連，和向量是由第一個向量的起點指向最后一

4、個向量終點的有向線段所表示的向量；向量加法的平行四邊形法則：說明：（1）求和向量必須共起點.（2）向量加法的平行四邊形法則，只適合于對兩個不共線向量相加，兩個共營可想加，仍用三角.5. 向量加法的運算律：交換律：a+b=b+a;結合律：（a+b）+c=a+（b+c）.6. 向量減法的有關概念：若b+x=a,貝U向量X叫做a與b的差，記作a-b,求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.%切邱型勺您可石法.：4平面內任取二點O,作OA=*,雖直，則BA=BOOA-OBOAb即a-b表示從向量b的終點指向被減向量言的終點的向量.9. 向量的數乘的定義：一般的，實數兀與向量a的積是一個向量，記作指，它的長

5、度和方向規定如下：，（1）|斜啊a；（2）當舄>0時，房與a方向相同，當&<0時，值與a,方向相反，普=o時，擋=0.實數人與向量a相乘，叫做向量的數乘.10. 向量數乘的運算律：（1）從福=（心冒（結合律）；（2）（九十篇=措十房（分配律）；（3）九（*點=擋+思（分配律）.ii.向量共線定理：一般地，對于，兩個向量a（a#0）,b,如果有一個實數兀，使得；=指（：#0）,那么b與a是共線向量，反之，如果b與a（&0）是共線向量，那么有且只有一個實數舄，使得b=擋.12. 平面向量基本定理：如果e,言是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向M四有且

6、只有一對實數幺，,使&言秘?2.我們把不共線的向量e,：叫做表示這個平面內所有向量的一組基底.13. 向量的坐標表示：在直角坐標系內，分另U取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，任取一個向量a,有且只有一對實數x、y,使得，則把（x,y）叫做向量的直角坐標，記作：（x,y）其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，式為向量的坐標表示.向量坐標運算:已知a=（x,yi）,b=（x2,y2）,a+b=（x+治,y+y2）,ab=（xx2,y一y?）,房=（儀，切1）兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差），實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向

7、量的相應坐標.共線向量坐標表示的一般性結論：設3=（x1,）,b=（x2,y2）（a乒0）,如果allb,那么xyx2y=0;反過來,如果xy乂2火=0,那么allb.結論（簡單表7K）:向量a與b共線b尹0ua=，buxy2-x2y=。.向量的夾角：對于兩個非零向量a和b，作OA=a,OB=b，則4B=e（0wew180°）叫做向量a和b的夾角.特別地，當。=0°時，a與b同向；當e=180°時，a與b反向；當e=90°時，則稱向量a與b垂直，記作a±b.14. 平面向量數量積：已知兩個非零向量a和b,它們的夾角是9,我們把數量0叫做向量a和

8、b的數量積（或內積）（），記作ab,即:a。.我們規定：零向量與任一向量的數量積為0.向量數量積模的性質：當a與b同向時，a；當a與b反向時，a特別地，a-2或.向量數量積的運算律：設向量a,b,c和實數入，則向量的數量積滿足下列運算律：（1）a-a；（交換律）；（2）（入a）（入b）=入（ab）=入ab；（結合律）;（3）（）c.（分配律）。15. 平面向量數量積的坐標表示：若兩個向量為（xii）,（X22），則aiX2iy2.即兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和.推論及公式：設（x,y）,則a222，即.兩點A（X1,yi）,B（X2,y2）間的距離公式為=J（X1X2）2+（yi

9、-y2）2.（Xii）,（X22），它們的夾角為e，則有cosH=常=/2*、：2abX12y12.X2y2a_b=al_b=0=x*yy2=0.請寫出向量有關運算（加、減、數乘、數量積等）的幾何意義與物理學原型：向量運算/定理/定義幾何意義物理學原型相反向量：作用力與反作用力加法：a+b三角形法則(平行四邊形法則)位移的合成、力的合成減法：a-b一角形法則(減法是加法的逆運算)數乘：入a共線向量(b=入a(a，0)u)位移=速度X時間平面向量基本定理力的分解數量積：a-b=9功二.典型例題分析例1.在四邊形中,已知林=盡+屈，試判斷四邊形是什么樣的四邊形？例2.化簡：/八T_TT/八、TTT

10、T(1)AB+BCCD=；(2)AB-AD-DC=；(3)(AB-CD)-(AC-BD)=.例3.若Ab=36iCd5ei,且AdBc,判斷四邊形的形狀.例4.若2(X_1a)_1(b+c3x)+b=0則1=.32,例5.已知向量a、b不共線，實數x、y滿足向量等式3(10-y)2(44)a,則.例6.向量；=(1,1),且與£+2b的方向相同，貝Uab的取值范圍是_(-1E.例7.已知OA=(-1,2),OB=(3,m),若oA上oB,貝Um的值為.例8.已知|OA|=1,|OB|=M,OAOB=0,點C在ZAOB內，且MOCmg,設OC=mOTrO,其中m,KR,則m等于.n例9

11、.已知向量a=(3,1),b=(1,2)，貝U-3a2b的坐標是.例10.已知平面內三點A(2,2),B(1,3),C(7,x)滿足BA_LAC，則X的值為.例11.設向量OA=(3,1),OB=(-1,2)，向量OC垂直于向量OB,向量BC平行于OA,試求OD+OA=OC時,OD的坐標.例12.已知a=(1,2),s=(3,2),心+3有一茹垂直，求實數k的值.例13.已知22,3,p、q的夾角為45°,求以52q,-3q為鄰邊的平行四邊形過a、b起點的對角線長.例14.設平面上有四個互異的點A、B、C、D,已知(DB十DC-2DA)(AB-AC)=0，試判斷的形狀.例15.已知a

12、3,b4,(且a與b不共線)，當且僅當k為何值時，向量ab與akb互相垂直？例16.已知向量a：b滿足a=3,a+b|=5,ab|=5求b.例17.若向量a,b滿足E|=1b=2且a與b的夾角為二則：十b=.例18.已知A,B,C為平面上不共線的三點，若向量Ab=(1,1),n=(1,一1),且n-Ac=2，則nBC等于.例19.中，|AB|=3,|AC|=4,|BC|=5,則AB，BC=(答：9)例20.已知點A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+兀AC(成R)，則當乳=時，點P在第一、三象限的角平分線上(答：1)；2例21.已知；=(1,1),：=(4次),，=：+2?

13、,v=2a+b，且u/v,貝UX=(答:4)；例22.已知中，A(2,1),B(3,2),C(3,1),邊上的高為,求點D和向量的坐標.例23.已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a2b垂直，求a與b的夾角.例24.把一個函數圖像按向量a=u,一2）平移后，得到的圖象的表達式為3y=sin（x+當2，則原函數的解析式為.（y=cosx）6例25.設向量a與b的夾角為8,a=（3,，2ba=（_1,1）,則海日=.（m°）10例26.設向量度=（3,i），浸=（i,2），向量oc,垂直于向量oB,向量bC平行于一、TTOA，試求OD+OA=OC時,OD的坐標.例27.已知；=（也_1）,；=（1，也），若存在不為零的實數k和角口，使得22c=a+（sin3p,：=-ka+sinb,且C_Ld,試求實數k的取值范圍.例28.已知岬（12x,1）,N=（1,<32）（x,aR,a是常數），且om，on（O是坐標原點）求y關于x的函數關系式（x）;若x0,